课程思政融入高等数学教学实践——以“曲面的面积”为例

谭晓玉，李同兴

（泰山学院，山东 泰安 271000）

0 引言

2016年12月8日，习近平主席在全国高校政治思想工作会议上指出：“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人”“要用好课堂教学这个主渠道，思想政治理论课要坚持在改进中加强，提升思想政治教育亲和力和针对性，满足学生成长发展需求和期待，其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。”“教育强则国家强。高等教育发展水平是一个国家发展水平和发展潜力的重要标志，实现中华民族伟大复兴，就是要提高我国高等教育发展水平，增强国家核心竞争力。”

高校的本质职能是人才培养，立身之本是立德树人。高等数学是高校理工科本科生的一门非常重要的必修课。特点是课时多、时间跨度长、重要性强，内容具有高度的抽象性、严密的逻辑性和复杂的计算性，学生学习的兴趣不强。因此将课程思政元素融入高等数学的课堂教学中，可以在提高学生学习的兴趣、提升教学效果的同时，做到德育和知识教学自然地融于一体，使德育达到更理想的效果，从而帮助大学生树立正确人生观、价值观和世界观。

高等数学承载着培养大学生科学与人文素质的双重重任，在教学中，不仅要“教书”还要“育人”，把知识教学和德育结合起来。本文在课程思政的大背景下，总结和结合自身“教书育人”的实际教学经验和对学情的分析，以高等数学中“曲面的面积”为例，对课程思政融入高等数学课程进行了教学实践。

1 教学分析

1.1 学情分析

（1）学生数学能力分析：该课程面对的是我校理工科本科学生，学生的数学基础良莠不齐，相对较差。学生数学学习能力不强，抽象知识的理解力较弱，逻辑思维能力较弱，但是形式运演能力普遍不足。

（2）学生学习方法分析：进入大学之后，没有了老师全方位的带领、监督和督促，学生没有很好地适应和总结出系统、科学、适合自身的学习方法。课前不预习，学到的知识课后不及时复习和应用，作业存在着敷衍和抄袭的情况。在后续的专业课学习中学生不会将数学知识储备作为解决专业应用的方法，缺乏数学的思维和眼界。

（3）学生思想和情感分析：相较于其他一些课程，数学知识的学习相对枯燥，尤其是在手机和网络发达的今天，抖音、快手等APP中短视频的短思维很大程度上影响了学生，学生更加倾向于喜欢简单、直观的东西，而对学校学习的知识和内容提不起兴趣，甚至排斥。另外学生学习时有实用性学习的心理，大部分学生认为数学对未来的生活、工作和学习没有助益，因此对数学的学习只停留在应付期末考试上，不重视。

1.2 教学内容

“曲面的面积”这一部分内容在第十章重积分的第四节，属于二重积分的一个应用。在这之前，通过“二重积分的概念和性质”“二重积分的计算法”，学生已经初步掌握了二重积分的定义和计算。从以往的教学经验来看，高等数学下册尤其是积分这部分对于部分学生来说是有一定难度的，学生普遍存在着难理解和不理解重积分是什么、怎么计算的情况。

1.3 教学重点和教学难点

教学重点：掌握元素法及其计算曲面面积，掌握重积分在曲面面积等问题的应用。

教学难点：本节“曲面的面积”作为二重积分的应用，难点有如下几点：一是运用元素法和二重积分将曲面面积公式推导出来，二是将此公式应用到实际案例中，需要将实际问题转化为数学问题的建模思想。

1.4 教学目标

（1）知识目标：掌握重积分元素法的使用和重积分在曲面面积等问题的应用。

（2）能力目标：培养学生逻辑推理能力、自主学习能力和严谨的数学表达能力。

（3）素质目标：培养学生优良的抽象思维能力、逻辑推理能力、自学能力，具备自我反思能力、运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力，体会科学价值、应用价值。

（4）价值目标：使学生体会数学大有用武之地，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力、创新能力和大国工匠精神。增强学生的民族自豪感，厚植学学生的民族责任感和使命感，弘扬爱国奋斗精神。培养学生勇攀科学高峰的学习和科研精神。

2 教学设计

2.1 第一步（2分钟）

主要任务：通过知识复习和回顾、天通一号03星成功发射的案例，导入新授内容。

教师活动：提问和知识回顾──元素法和二重积分的计算，同时导入天通一号03星发射升空的案例，提出问题──天通一号卫星为什么是3颗，即为什么3颗卫星就能覆盖全地球，每颗卫星能覆盖多大面积？引导学生思考。

学生活动：回顾知识点，仔细观看案例视频，思考教师提出的问题。

目的意图：知识回顾一方面为了衔接新课内容，另一方面为新授知识做预备工作。案例导入可以吸引学生的注意力，调动学习兴趣，通过提出问题的形式引导学生思考，引出学习内容，同时达到思政目标。

2.2 第二步（14分钟）

主要任务：讲授新课──重积分的应用之曲面的面积。

教师活动：采用板书和多媒体结合的教学方式，通过“温故+学新”的教学方式和自主合作探究的方式讲授新课知识点，同时传授数学建模、归纳类比等数学思想。

学生活动：“温故+学新”，掌握新授内容的重点和难点，通过自主合作探究的方式推导曲面面积的计算公式，归纳类比写出其他两个计算公式。

目的意图：提出问题，引导学生思考；讲授新课的同时，利用自主合作探究的方式培养学生的团队合作意识、数学建模思想和解决实际问题的能力。

2.3 第三步（3分钟）

主要任务：解决第一步引入案例时提出的问题，通过数学建模方法，利用新授知识点解决。

教师活动：提示和引导学生建立数学模型，利用新授知识解决问题。

学生活动：结合教师的提示和引导，思考解决问题的方法。

目的意图：巩固知识点的同时培养学生思维能力和利用重积分解决实际问题的应用能力。

2.4 第四步（1分钟）

主要任务：知识总结。

教师活动：结合板书和PPT课件总结本次课程的主要内容和重难点，介绍涉及的参考文献资料。

学生活动：随教师总结，再次快速消化与理解，把握重难点。

目的意图：全面总结复习，为下次课做准备；参考文献资料的介绍方便学生更深层次的、进一步的学习。

3 教学过程

3.1 复习导入和案例导入

首先，正式开始新课讲授之前，带领学生将前面的内容复习一遍。一方面作为衔接引入新课的内容，如上节课我们学习了二重积分的计算及其在曲顶柱体体积和平面薄片质量上的应用，那二重积分还可以应用在哪些方面呢？另一方面可以回顾上节课所讲的知识点，同时为接下来新课使用这些知识点做预备工作。

然后，观看天通一号03星发射升空的视频。2021年1月20日零时25分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将天通一号03星发射升空。天通一号卫星移动通信系统是我国自主研制建设的卫星移动通信系统，由空间段、地面段和用户终端组成。天通一号03星发射入轨后将与地面移动通信系统共同构成天地一体化移动通信网络，为中国及周边、中东、非洲等相关地区，以及太平洋、印度洋大部分海域用户，提供全天候、全天时、稳定可靠的话音、短消息和数据等移动通信服务。

思政元素：通过此案例激发学生的民族自豪感，厚植学学生的民族责任感和使命感，弘扬爱国奋斗精神。培养学生勇攀科学高峰的学习和科研精神，分享“心存大志、潜心钻研、科技强国”的道理。

3.2 提出问题，引出学习内容

引导学生思考天通一号卫星为什么是3颗，即为什么3颗卫星就能覆盖全地球，每颗卫星能覆盖多大面积？由于地球是球体的形态，因此问题转化成求曲面的面积，引出本节的内容：曲面的面积。

3.3 知识学习

3.3.1 数学建模，提高学生解决实际问题的建模能力

通过对卫星覆盖面积问题的分析，将问题转化为数学描述。问题一般化为曲面的面积的求解，建立数学模型：

思政元素：这一过程可示范数学方法解决实际应用问题时的建模过程，可提高学生解决实际问题的建模能力。

3.3.2 提示和引导，感受“以平代曲”和“化大为小”思想

如何计算曲面的面积呢？给学生展示国家大剧院和泰安龙曦大酒店的图片，请学生仔细观察图片，会发现所看到的曲面实际是由若干平面拼接而成，提示和引导学生思考，在小的范围内可以用平面近似曲面，此过程可以感受分割思想、“以平代曲”和“化大为小”思想。

思政元素：利用我国标志性建筑和身边的实例建筑引入课程教学内容，巧妙传达数学思想的同时，渗透美学教育。

3.3.3 “温故+学新”的教学方式和自主合作探究的方式推导计算公式

对于学过的知识点，由于时间较久或者学生掌握不牢、不及时，因此学习新知──曲面面积公式时可以简单回顾旧知──元素法，可以更好地进行新课的讲授和理解。

思政元素：学习就像建房子，基础很关键，生活也是如此。

推导面积公式时，可以将学生分组进行自主合作探究实验，从身边取材：准备两张相同的A4纸，其中一张弯曲成一曲面，另一张作为其在某点的切平面，此切平面与桌面成一定角度，切平面的面积记为，切平面在桌面上的投影面积记为，两者的关系为

此部分采用自主合作探究的方式让学生自主探索面积公式，可以提升学生的团队合作意识以及动手能力，然后教师采用传统的板书形式，演示推导公式的严谨过程，可以融入思政点：严谨的治学态度。

3.3.4 归纳类比，写出另外两个公式

3.4 数学建模，解决问题

问题：为什么3颗卫星就能覆盖全地球，每颗卫星能覆盖多大面积？

建模：天通一号03星覆盖地球的一个曲面，假设其距离地面高度为36000千米，运行的角速度与地球自转的角速度相同，地球是半径为6400千米的球体，那么该卫星覆盖地球的面积是多少。

求解：取地心为坐标原点，地心到通信卫星中心的连线为z轴，建立坐标系。

此时卫星覆盖的地球曲面的方程

求解出来此卫星覆盖面积与地球表面积之比约为42.5%，即每颗卫星覆盖了全球超过三分之一的面积，因此使用天通一号使用三颗卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。

思政元素：通过此案例使学生体会数学大有用武之地，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力、创新能力和大国工匠精神。

3.5 思考

（1）太空中飞船运行至距离地球45000km时从此飞船上可以看到的地球表面积是多少？

（2）人类可以观察到的地球表面积的最大值是多少？此时距离地球多远？

4 教学反思

本节教学内容是重积分中的一个章节──重积分的应用的一部分，而重积分对于学生来说是比较难理解的一部分，特别是重积分的应用，需要学生在理解重积分定义、元素法和掌握计算的基础上，能结合实际问题运用元素法等多种技巧分析解决实际问题。根据教学内容、教学目标和学情分析，本次课利用传统板书和多媒体多种授课方式结合，并采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的综合教学方法。在教学过程中由教师启发讲授，充分发挥教师的引导作用和学生的主体作用，结合我国时事新闻热点“天通一号03星成功发射”和教材，让学生能够切实体会重积分应用的重要性和广泛性；同时引导学生独立思考，体会数学建模数学方法和思想，激发学生的兴趣，从而形成完整的概念体系并培养解决问题的能力。