基于数学深度学习的质疑能力培养进阶*

张 阳

质疑是学生进行数学深度学习、形成高阶思维的核心能力。现行数学教学中，教师常忽视这一能力的培养，以笔者本学期所听的56节数学课（涉及20所学校）为例，只有1节课有学生对教师的讲解提出质疑，其余55节课都是教师对学生的回答发起质疑。质疑能力的缺失，直接影响学生对知识的理解内化与创新实践。导致此现状的原因有：一是以知识传授为主的传统教学观，二是以考试成绩作为评价标准的教学质量观，三是教师自身对质疑能力的认知模糊。

一、理解质疑能力与深度学习

（一）质疑能力

质疑是学习者对已有观点或结论，根据事实和已掌握的知识进行分析后，表示同意或否定，并给出依据[1]。质疑能力是在质疑的基础上提出新问题、新观点的能力。

影响学生质疑能力的要素主要有年龄、教师的教学风格、所处学习场域以及社会环境等。随着学生年级进阶，学生质疑的内容与水平不断变化。从课堂表现来看，小学生的质疑最多，课堂最为活跃，但这些质疑常停留在知识的表层，并且对教师的学科权威几乎无条件地服从。高中生的质疑逻辑性深刻性更强，有着很强的思辨特征。具体到数学学科，由于其具有高度抽象性，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用[2]，更需要数学教师加强对质疑能力的理解与实践。

（二）深度学习

所谓深度学习，是在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[3]。深度学习的内涵特征有：一是教师是深度学习发生、发展的关键因素，只有教师对知识、学情、技术与教法的理解到位，才能实现深度教学，从而引发深度学习。二是教学内容需要具有挑战性，简单重复地机械训练，只会导致学生厌学，教学内容需置于知识体系内整体设计，适度进行跨学科教学。前文提及的唯一一节有学生质疑的数学课，就是由综合实践活动学科的教师执教的。三是深度学习过程是学生具身体验的过程，学生只有认为学习是自己必须做好的事情，才会产生强烈的学习动机，从而调动所有的能量进行体验感知、实践优化。

质疑能力是引发深度学习的关键能力，伴随着深度学习全过程。知识的同化顺应、创新实践都与问题的发现、提出、分析、解决密不可分。如学习为什么将y=k-x-1（k≠0,x≠0）称为反比例函数，部分学生依据经验，认为反比例函数具有“y随着x变大而变小”特征，当研究反比例函数y=-2x-1时，发现函数并不符合此特征。质疑一：反比例函数中的关系特征是什么？引发学生通过旧认知分析新问题，联结已学知识“反比例概念”，即对于两个实数m、n，若满足mn=k（其中k为常数），则称m、n为反比例关系。质疑二：这一错误认知的原因是什么？教师引导学生回溯概念来源。“反比例”概念是小学六年级知识，学习时一方面学生所学数域均为正数，另一方面概念是用不完全归纳的方法生成的 ，初中学过负数后，数域进行扩充，原有概念需要重新认知。以上两个质疑，将学生对于反比例函数的学习引向深入。

二、基于深度学习的质疑能力培养进阶

《普通高中物理课程标准（2017年版）》将质疑能力划分为五种水平：水平一，知道质疑的重要性；水平二，具有质疑的意识；水平三，对已有的观点、结论提出质疑；水平四，能基于证据对已有的观点、结论提出质疑；水平五，能综合使用理论和事实证据从多个视角审视检验结论，进而提出质疑或自己的见解。五种水平的进阶将学习不断引向深入。因此，在数学教学中，教师需要从五个层级培养学生质疑能力（如图1），分别为质疑精神（理念）、教学理解（知识）、教法选择（教法）、教学场域（环境）、质疑策略（方法），最终实现深度学习。

图1 学生质疑能力培育五阶

（一）培育学生的质疑精神

批判质疑必须置于科学精神之下。科学精神表现为理性思维、批判质疑、勇于探究三个方面，三者相互依存。勇于探究是批判质疑的前提，理性思维是批判质疑的保障。缺少探究让批判质疑停留于事物的表面，难以提出指向事物本质的问题；缺少理性思维让批判质疑失去客观性。基于科学精神的数学批判质疑能力培养常以两种形式进行，分别是数学史教育与缄默教育。

数学史教育主要包含数学家成长史、数学知识发现史、数学知识发明史、数学知识应用四个方面。数学家的成长经历可以培养学生的质疑精神，如让学生了解无理数的产生是许多数学学者突破教皇与旧势力的桎梏，付出了生命的代价，最终确立了无理数在数系中的地位。用数学知识的发现史培养学生学习质疑方法，如欧拉在哥尼斯堡七桥问题中的质疑精神，开创了图论的研究。牛顿对曲边梯形的面积质疑，开创了微积分。笛卡尔对平面几何的质疑，开创了解析几何。通过数学知识的发明史培养学生发现质疑路径。如对数的产生，随着天文学的兴起，大量烦琐的运算消耗着科学家的生命，特别是巨大的指数运算，在此背景下纳皮尔发明了对数，简化了数学运算。了解数学知识的应用、体会数学质疑的价值，如在冥王星的发现、工程设计等方面，数学都有着广泛应用。每一个数学内容在数学史上都经历了无数科学家的质疑与创造。

缄默教育是一种潜移默化的教育方式。缄默知识具有高度个性化、非逻辑性特征，如教师有追问习惯，学生也会有追问习惯，教师对于解题依据的质疑，会潜移默化地影响学生对于自己解题严谨性的质疑。因此，教师在课堂上要有良好示范，解释问题时给出充足的理由，用批判质疑的科学精神感染学生。

（二）运用大概念解读知识

大概念是指向学科核心内容和教学核心任务、反映学科本质、能将学科关键思想和相关内容联系起来的关键的、特殊的概念。大概念观的教学是从具体问题到高度抽象的数学知识，再应用抽象的数学知识解决具体问题，其中抽象数学知识是教学的核心环节[4]。在教学中，大概念观的知识理解需略高于学生的认知水平，使学习具有挑战性，让深度学习成为可能。因此，教师需要大概念观的教学理解。

大概念具有整合功能。具体到学科大概念，常指数学主题与数学思想。数学主题方面，在大概念的统领下，数学基础教学内容可以归入相应主题。小学与初中数学学习内容由四个主题构成，分别是数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。高中数学必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动，选择性必修课程包括四个主题，分别是函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。数学思想方面，包含学科思想类与跨学科思想类，前者有数形结合、分类讨论、等价转化、函数与方程，后者有特殊到一般、类比与联想、猜想与证明、归纳与演绎等。大概念教学观可以帮助师生探寻知识的来龙去脉，理解知识是何、为何、如何、若何、由何。由此才能开展对于知识研究过程的批判与质疑。

运用大概念观对教学内容进行知识解读，有两方面的意图：一是精简所学知识，将知识置于主题中，形成体系。如高中数学共分为四个主题，函数、代数与几何、统计与概率、活动与实践。在教学中需要将所学内容自觉置于核心内容下，减少碎片化知识学习。二是加强知识内部逻辑关联，强调由小部分核心知识推导其余知识，从而更加注重知识间的联结。如部分高中生认为初中三角函数并非函数，原因是初中三角函数以定义方法给出（在直角三角形中，），教师在教学中需要抓住核心概念“函数”解析（角与比值呈函数对应关系），将三角函数与函数进行联结。

（三）设计探究本原问题群

哲学中的本原指构成世界基本、最初的元素或世界的来源和存在依据，前者指构成要素，是物质或概念，后者是原理或公理。数学作为抽象符号化的知识，其本原是定义规则等原始的基础知识，以及公理定理等初始的基本思想与方法。教学设计时教师组织辨析、对比、交流、展示等，可以通过追问的方式，暴露学生的基础知识与基本思想方法，促进学生探究本原，实现深度学习。

探究本原的追问设计意在对一些结论性的知识通过进一步的追问，揭示其更本质的知识。探究本原的追问设计可以由设问、追问、寻问、自问四个环节构成。设问是在情境中设置数学问题，起到激发学生学习动机，引导学生数学探究的作用；追问发生在学生对问题进行分析解决之后，教师帮助学生剖析问题解决过程，梳理解题逻辑，将缄默知识显性化，实现从技能到能力的转化；寻问发生在学生独立解决类似问题时，是知识内化过程，此时学生要独立思考、独立判断、大胆尝试，多角度、辩证地分析问题，积极寻求有效的问题解决方法；自问是知识结构化后再创造过程，需要学生拥有良好自我感知能力与自问引导能力。

（四）营造民主的教学场域

教学场域是特定的教学环境，是教和学的主体心境，是个体间不断传递信息流的时空，是教师教学能与学生学习能所辐射的时空，是一种群体意识圈[5]。教学场域的在场者包括教师和学生两个群体，自主性体现在两者的观念和行为中，场域的法则也主要由两者进行规约共存，其中教师的主导最为重要。学生提出质疑的前提是具有敢于质疑的勇气，只有在民主平等的教学环境中，学生才有可能说出自己的困惑，提出自己的疑问。教师的过度权威，往往导致学生选择盲目顺从。营造民主的教学场域是让学生学会质疑的基础。

民主平等的教学场域，需要处理好教学场域内的个体间关系，主要有三个方面：

一是教师与学生的人格平等、学术争鸣关系。教学内容对于学生是新知识，对于教师是旧知识，教师认为理所当然的想法，学生可能认为不可思议。如复数导入时，学生会质疑，既然x2=-1已经无实数解了，为什么还要定义虚数单位i，特别是在高中的教学中复数仅有法则而没有应用，学生感觉这纯粹是一种机械定义。这时，教师可以通过类比对数，可以从代数体系的角度，给予学生知识应用的预期作用，如复数可以解决旋转题，可以解决向量问题等。

二是促进学生之间的互助和谐关系。在同伴互助的前提下，适度公平竞争，教师可以通过组织教学活动，让学生在活动中体验团队的重要性。如数学建模活动“建立统计模型进行预测”，需要经历五个环节：环节一，通过头脑风暴确定研究主题，不同学生根据自己的生活经验提出研究方向，组内成员对其提出可行性质疑，最终形成共识；环节二，问题背景分析，以“行驶汽车数量与PM2.5关系”为例，影响PM2.5浓度的因素很多，在讨论与质疑中确定研究因素，如汽车流量、平均气温、空气湿度、风速等；环节三，数据统计，为了保证数据的正确，一般分为若干小组同地点进行统计，质疑与合作促成数据的确认与修正；环节四，建立统计模型，统计模型的建立通常经历多次反复，每次建模过程中都需要接受自我质疑、同伴质疑、专家质疑；环节五，预测应用，其准确性需要经受事实的检验，在检验中修正模型。因此，质疑与合作是活动正常开展的保证。

三是学习与活动的规约关系。教学场域是一个小世界，需要适当的规约来约束相关者的行为，这种规约只有通过师生民主协商后制定，才能得到更好执行。批判质疑精神建立在科学合理的基础之上，并非所有的质疑都是有益的，规约可以保证质疑聚焦学习与活动，减少无关因素的干扰。

（五）指导高效的质疑策略

质疑需要理性思维。在2016年发布的《中国学生发展核心素养》中，对理性思维从三个方面进行界定：一是崇尚真知，理解和掌握基本的科学原理和方法；二是尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度；三是逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为[6]。由此可以产生三个质疑策略，即结论是否有实证，结论是否有理论依据，结论推导过程是否严谨。

中学数学学科中引导学生质疑的策略主要有四条路径，一是从不同角度分析问题得出相悖结论而产生质疑。在教学中，学生经常会提出这样的问题：“老师，我用自己的方法求出答案为何与你的答案不同”，这是因师生分析问题的角度不同而产生质疑。二是用反例提出质疑。如“丰富的图形世界”中，棱锥的顶点定义是“所有侧棱的公共点”，由定义可知棱锥仅有一个顶点。课堂上学生提出两个质疑：一是三棱锥经过旋转，每一个公共点都满足顶点定义，那么三棱锥有几个顶点？二是如果三棱锥仅有一个顶点，那么欧拉公式V+R-E=2不成立，为什么？三是新旧认知相互冲突引发质疑。如有了相关系数可以衡量两个变量间的关系，为什么还要学习卡方统计量?四是跨学科的认知质疑，如最有名的序贯概率检验法（二战中，需要对飞机局部进行加固作业，由此产生质疑，是加强着弹多的区域，还是加强着弹少的区域？数学家瓦尔德提出上述概率理论）。

虽然培养学生质疑能力早已成为教育工作者的共识，但在基础教育中却鲜有落实，其原因复杂多样。为了改变这一现状，教师可循着“培养质疑精神—理解质疑对象—设计质疑过程—营造教学场域—指导质疑方法”的进阶式质疑能力培养策略，最终实现对学生质疑能力的培养，引导学生走向深度学习。