注重操作实践 助力思维发展——小学数学教学中学生抽象思维能力的培养

福建省仙游县大济阮里小学 黄丽芳

众所周知，“眼过千遍不如动手一遍”。在课堂中，教师常根据教学内容的需要给出时间让学生操作。有效的动手操作能促进学生对双基的理解、能力的提高、经验的积累，并积极推动学生思维向纵深处发展。然而，实际教学中却普遍存在操作效率低下、操作仅流于形式的现象。那么，如何开展操作活动才能使教学更有效果呢？

一、运用学具感知，开启思维之门

数学是一门抽象性、概括性和逻辑性很强的学科，而小学生的思维特点是具象性的，教学中要根据学生的思维特点与学科特点之间的关系，合理选用学具，在适当的时间组织动手操作，帮助他们形象化感知和理解抽象的数学概念，架起学习与思维的桥梁，打开数学思维的大门。

（一）自主开发学具，体现教学的实用性原则

动手操作是直观的，而思维活动是抽象的。教师需要根据学生各年龄段的特点，利用相关素材，自主开发学具，调动学生积极参与的动力。在操作过程中，学生的注意力更容易集中，所以，教师要提供合理的学具，让其对学习新知起到助推作用，对思维发展起到启发作用。

如，在人教版小学数学二年级下册“1000以内数的认识”的教学过程中，估算《三字经》文章字数这一环节，教师会循序渐进式逐步引导。首先让学生对如何估算文章字数发表自己的看法，其次让学生选择自己喜欢的方法，先数再圈来估算，最后再给学生提供框型小工具，使之独立操作完成该任务。学生通过应用教师自主开发的框型小工具来边圈边数，直观地把数的大小和组成都一眼看出来，实现了规范圈圈、简约数数、理解组成，能够提高效率、激活思维，达到从“思维缺席”到“思维通透”的效果。

（二）学具选择，体现思维发展层次性原则

不同思维程度的学生对学具的选择也有所不同，有的学生适合将直观的实物作为学具，有的学生喜欢半抽象的学具，还有的学生有一定的抽象能力，更喜欢有挑战性的学具。教师在教学中要根据学生的思维特点为学生充分准备各种层次的学具。

如，在人教版小学数学三年级上册“长方形和正方形的周长计算”中，教材是让学生测量与折叠长方形和正方形样式的纸片，验证自己猜想中的长方形与正方形各自边的特征。但单纯利用纸片来操作，不能直观地比较出两个图形边的特点。所以教师可为学生提供边是可拆卸的长方形模具（长、宽分别是7cm、5cm），鼓励他们用自己喜欢的方式动手操作来探究长方形的周长。一部分学生通过测量四条边的方法，列出算式为：7+5+7+5=24cm。一部分学生通过学具对折发现，长方形有两条长度一样的长和两条一样的宽，列出算式为：7×2+5×2=24cm；还有一部分学生把学具的边拆卸下来摆拼，发现长方形是有两组长加宽的和，列出算式为：（7+5）×2=24cm。最后，让学生通过比较，归纳出最优的长方形周长的公式为：（长+宽）×2。在此之余，还可让学生把各自手里长方形的边拆下来，同桌两人利用手中的学具进行组拼，发现两个可以重叠的长方形的边靠在一起可以组合成两个一大（边长为原来长方形的长）一小（边长为原来长方形的宽）的正方形。根据该操作发现的规律，学生可以得出正方形周长的公式为：边长×4。在这一系列的操作活动中，不同层次、水平的学生从拼接组合学具的过程中都能有所感悟。

二、明确操作目标，点燃思维之火

动手操作是学生围绕数学问题而进行的一项极具引导性的活动。学生在与数学和谐相处的过程中，感受数学不断“散发”的魅力，并自发性地欣赏数学魅力。在这个过程中，点燃学生的思维之火。

（一）明确教材意图，规范操作助思维深入

对教材分析要把握纵横结构，领会教材编排意图，做到学一单元能见一片，这是对知识的解构拆分与理解，进而由内而外地创新重组与发展转化。数的认识从一年级到六年级都有学习，呈螺旋上升趋势。第一层次数级在不断地扩充：从十以内数的认识，到百以内、千以内、万以内、大数（亿级）数的认识。第二层次数域也在不断地拓展：整数、分数、小数、负数等的认识。教材编排上都是借助于具体直观的教学具、生动现实的背景作为认识抽象数的依托。如，人教版一年级上册“100以内数的认识”教学的操作前，教师用课件展示同桌合作要求：（1）抓一抓，小组内选一位同学，让他用一只手抓一把珠子；（2）摆一摆，其他成员一起动手把抓到的珠子摆放在百格板上；（3）数一数，小组成员共同数出百格板上的珠子数。学生在明确的操作要求下，操作有趣、有序地展开。接下来，教师把各组的百格板都放在黑板上展示，要求全班同学用思维和肉眼操作，比较看看哪个小组摆得多且最容易看出具体数量。最终学生能够发现，若小组将珠子摆放有序，就能一眼看出数量；若摆放混乱，则需要依次清点，过程较为复杂。学生在操作中理解了数的实际大小，培养了数感，并发现了百格板的秘密——一行就是1个10，体会以“十”为计数单位的好处。在两次目标明确和有趣的操作活动中，学生的思维与操作紧密结合，有效地突破了教学的难点。

“数”的认识是不可具象的，其教学的核心重点是“数位”与“计数单位”。教学中更为关注学生的思维特点，加强直观，为学生创造各种直观的操作如数实物、画图等活动，使得学生心中形成“数位”以及“计数单位”的认知概念。例如，32.8表示3个10加上2个1加上8个0.1，可以让学生在方格图中去涂一涂，在数轴上去画一画，利用线段图等操作理解数的意义。

（二）设置核心问题，明确操作现思维过程

在传授知识的过程中，教师要凭借“有形”事物的直观性来向学生生动地阐释数学的抽象问题，将“无形”转变成“有形”，通过科学分析，让学生的思维能与数学更清晰和有效地对接。

例如，教学“周长的认识”时，周长的生长点是“周”还是“长”？从生活层面，学生知道一周的意思；从知识层面，学生懂得长度的内涵。因此，学生真正难以理解的是“不明白周长等同于长度”。“周”只是前提，“长”才是本质。教学中围绕“什么是周长”这一核心问题，引导学生在学习单上描出学具“一周”的边线，学具素材来源于学生的生活，有直边的也有曲边的，有规则的也有不规则的。通过描各种物体面、图形的“边线”初步感悟“周长”，再让学生通过观察相关动画，从“描—说—指”切入，获得感官认知，直观理解“封闭图形”“一周”，为“周长”概念的建立提供了充分的体验与感知的机会。有了充分的感性认知及表象后，让学生主动探索测量三维空间里物体的表面或者二维平面中图形周长的方法。在解决各种图形周长的活动过程中加强对“周长”这一概念的解构与重构，了解“周长”一方面强调的是封闭图形，另一方面强调的是外围一周的总长度，且其本质是“长度”。

三、注重学用结合，促进思维提升

在教学中结合数学和生活实践，让两者融会贯通，用知识助力生活，用生活实践检验数学理论。培养学生“亲近”数学，读懂数学，同时也培养了学生的推理能力，有利于促进学生思维的提高。

四、以操作过程增强学生的数学表达，发展学生思维能力

（一）“画数学”

“画数学”就是把抽象的概念用图形、符号等直观的手段表现出来。通过“画数学”，学生能够感知到更加丰富直观的数学世界。如，在人教版小学数学三年级下册“面积和面积单位”中，教师让学生通过“找、摸、说”等感观体验，充分感知“面”的存在——“面”是有大小的。为了让学生对“面积”有正确的认识，可布置学生课前去找些例子，如扣子、衣服上的格子、邮票、方格纸、橡皮擦等，并把这些东西“画”下来，在课堂交流。估一估画在学习单上图形的面积，再用面积单位去量一量。学生在动手量之前先有个“估”的环节，“估”是静态的操作，是学生在脑中摆面积单位，在脑中进行测量；再通过实际操作“摆”面积单位去验证猜想，在动态的验证过程中不但体会到了活动的“趣”，也积累了数学思维经验。一静一动两次操作，构架学生对空间的思维结构，对学生今后的数学抽象观起到训练推动作用。

（二）“做”数学

为了在有限的课堂实践中学习无限的知识，使得学生数学方面的思维能力扎实稳步向前发展，课外实践成为点睛之笔。因而，教师可以通过给学生布置相关的实践活动，让他们在课外时间带着思考进行更深入的探究与操作，此举也能更有效地提升学生的思维能力。

例如“一亿有多大”，很难用生活中的事物去度量，无法将一亿具象化，从而导致学生认知中对一亿的概念模糊不清。这就要利用生活经验，利用可想象的素材作为直观参照物进行科学的推理、体验去获得。引导学生对万以内的数进行社会实践调查，在探究中发展推理能力。可设计实践报告单，让学生带着问题走入生活。在完成一系列的操作调查后知道1亿张纸的高度约为1万米，结合学生所熟知的当地最高楼房31层的高度去推想：1万米有几个这么高？结合世界上最高峰珠穆朗玛峰的海拔继续感受1万米的高度是高不可攀的，学生在此基础上进一步想象感知一亿有多大就有理有据。从小的数据中去推算出相对大的数据的高度、重量，从“猜想—做（测量、称重）—想（推算、估测）”这样不断循环的活动中，不断纠正认知，不断积累经验，不断推动学生去思考、分析、推理。

所谓的“操作”，是学生肢体与头脑的协调配合活动，是将学生思维提升到更高水平的有效手段。“做”是外在的行为，是无声的，是思维的显性体现；而语言是有声的，是思维的物质形式。只有把动与说有机地进行结合，通过语言把这个外在的行为过程规范化、结构化达到内化，才能更好地发挥操作的真正作用。学生用抽象规范的数学语言描述操作的过程，其实也是在描述获取知识的思维过程，这是一项内部的智力活动的过程。例如，人教版“周长的认识”一课的教学中，学生经历了先画后说：画出三角尺、量角器等学习用品一周的边线后，学生描述自己画的过程，先定一个点，并由此点绕其一周的边线画一圈，最终画回原点，初步感知周长。通过找周长、摸一周、指周长、说周长等一系列体验的活动，学生把周长这一抽象概念用具体的行动表达，去感触，对周长有了感性的认知。教师再引导学生用自己的生活语言阐述自己的观点，借助已有的认知、生活经验不断地重建认知，内化成新的知识结构。有了充分的认知之后，学生对“周长”的描述是：（1）周长是一周完整，没有缺口，是头尾相连图形其长度的一周；（2）周长的边有直有弯，还有不规则的，比如生活中的树叶边；（3）周长就是图形外面边线的一周长。学生在亲自体验这一整个活动的过程后才能感受什么叫作“封闭”，建构了“周长”概念的本质“长度”。“怎样测量周长？”对于学生来说是一个新的挑战，在测量过程中既巩固了周长概念的建立，又强化了概念的认知。对于直边图形的周长测量大部分学生都能解决，教师关键是要引导他们介绍量了几条边。三角形的周长即三条边相加，四边形的周长即其四条边的总和……因此，图形一周所有边长度的和也就是周长。在进行不规则图形和曲边图形的周长测量时，则需要靠线或卷尺等进行转化，这对三年级的学生很有挑战性，更应该引导学生联动手、口和脑，从多维度来解决问题，并鼓励他们先大胆猜想、尝试。有的学生认为可以用量角器去量曲边图形，认为量角器也是弯曲的，其他学生马上质疑，一致认为量角器虽然也是半圆形，可它是测量角度大小的工具，并不能测量长度。那是否可以利用软尺呢？操作前的一场辩论让学生的思维火花得到碰撞，各种奇思妙想迸发出来。辩论带来操作的方向，通过操作学生就会有经验地提醒同学绕线测量要注意：对于曲边图形或是图形不规则的情况，测量前需先用笔在起点处做个记号，线要与图形边无缝隙地贴近重合，等绕回起初标记的起点位置时要注意在线上再次做个标记，这样这段线的长度就是该图形的周长。学生描述的过程是脑中再次测量的过程，是思维提炼的过程。

总之，动手操作是为了适应学生用具体事物支撑思维活动的认知特点，动手的目的绝不是让学生学会操作。数学是做出来的，应充分调动学生的操作兴趣，在动手与操作的实践过程中让学生亲历知识的内化过程，使抽象的知识形象化、具体化，促进学生思维的发展，切实提高教学的效益。