固本培元 提升数学运算能力

☉孔 红

运算是同学们理解数学、运用数学的基础。但是在现阶段的小学教学课程中，还缺乏针对性的数学运算能力培养，这就导致同学们在解决运算问题时，还缺乏系统完善的运算思想和方法。因此，本文首先在算理理解和变式训练两方面论述基础运算能力的培养，之后从模型建构和最优思想两方面论证数学运算蕴含的数学思想，进而全面系统地提升学生的数学运算综合素养。

一、动手实验，理解算理

运算能力并不是简单的数学计算过程，而是综合运用各项数学理论进行数学推理和运算的能力，这就要求教师引导学生对数学理论计算原理进行深入的探究，理解算理提出的背景，推演算理的过程以及算理应用的场合。实现这一要求的最好方式就是动手实验，在实验计算的过程中让学生深刻理解算理，加强算理应用的能力。

比如，在讲解“异分母加减法”这一小节时，为了帮助同学们更好地理解异分母加减法的运算，结合具体的运算实验，教同学们在这个过程中理解运算的原理。题目如下：“写出1/xy+2/xz+6/yz 的计算过程。”在求解这一问题时，首先让同学们将这一问题向已经学过的相似内容进行联想，思考之后，同学们认为可以将这种问题转化为同分母的分数，其次再进行加减法运算。所以计算的第一步就是对分母进行处理，将所有的分母转化为同一种数学数字或者数学表达式，这就是异分母分式计算算理的第一步——通分。通分之后，算式当中包含的所有的分式分母相同，此时就可以结合同分母分式的计算方法，将原式转化为分子为三个整式的加减法运算z+2y+6x，而分母转化为同一个算式xyz，原式等于（z+2y+6x）/xyz，从而完成了计算。我们可以从这一算例总结得出异分母运算的方法原理：将异分母的算式通过通分运算，转化为分母相同的分式，之后分母不变，分子则按照相应的符号位进行加减法运算。

由此可见，通过动手实验的方式，同学们可在实验的过程中结合已经掌握的知识，对新的问题进行推导，完成算例。这一过程可帮助同学们更好地理解运算原理的推导，在对原理有深刻理解的基础上，加强利用该算理进行数学计算的能力。因此，教师在课堂教学中要创设亲自动手推演的机会，让同学们通过动手实验提升运算能力。

二、原型累积，强化感受

运算的形式多变，一道题可以演变出很多新颖的题目，但是不管形式如何变化其中的数学本质原型都是相同的。为了让学生获得运算中的思维能力，多积累运算原型，在多变的形式中体验运算的本质，强化学生对数学运算过程的直观感受，从而巩固学生对数学运算原理的理解，提升其数学运算能力。

例如，在学习乘法运算相关内容时，结合学生的认知特点，以一些相同的数相加的运算作为引子，引导学生将相同数的连续加运算转换成连加数乘以加数的方式，从而得到加法向乘法转换的数学原型。这是一种简单的原型，也是乘法最基础的运算。乘法还可以用来计算图形面积，长×宽也是一种乘法的原型。乘法还可以用来说明倍数的关系，如“A 盒中有15 个小球，45 个大球；B 盒中有10 个小球，20 个大球。”15×3=45，可以说明A 盒中的大球个数是小球的3 倍；10×2=20，可以说明B 盒中大球个数和小球个数成2 倍的关系。这也是乘法的一种运算，学生可以从不同方面体验乘法的意义。同样，乘法和除法是相通的，在积累了乘法的原型后，进行适当改变就可以让学生体验到除法的各种运算意义。如“有30 袋牛奶，要分给10 个小朋友，问一个人能得到几袋？”30÷10=3，这就是除法的一种运算原型，说明了在进行平均分配的时候，除法是这样运用的。通过这种形式，他们能在原型以及变形的题目中，对运算规律有更多的认识。

不论是加减运算，还是乘除运算，它们都有着自己的运算原型。掌握了运算的原型，进行丰富的变化，不仅能让学生有丰富的体验，还能感受到运算的联系和本质。原型的积累，一方面给学生提供了解题的思路，另一方面提供了题型多种变化的媒介，对教学来说是一种极大的便利。

三、变式练习，举一反三

数学运算能力的培养，从深层次来讲，是对某一种方法或者某一种理论的应用能力进行培养，最好的方法就是变式训练——结合一个典型的例题，帮助学生吃透这种数学运算方法的原理，之后通过变式练习对该方法的运用进行锻炼和检验。因此，教师要充分地把握原型例题的本质特征，通过改变其他结构成分展开变式训练，帮助学生巩固数学运算原理。

比如，在求解应用题：“东东看一本150 页的故事书，第一天看了40 页，第二天看了32 页，还有多少页没看？”在这一问题中根本的计算其实是很简单的，最重要的是对题意的理解，要在题干描述中提炼出所要用到数学元素，在这种描述中可以得出原本的页数第一天减少了40 页，第二天减少了32 页，所以这是一个减法计算的运用，被减数和减数分别是150、42 和30，之后得出数学计算方法为150-40-32=78页。对这一问题在题干描述方法上进行变式可以得到：“东东看一本150 页的故事书，第一天看了40 页，第二天看了和第一天同样多，还有多少页没有看？”虽然第二个问题换了一种表达方式，但是其根本上还是考察学生通过阅读题干获取其中蕴含的数学关系变化的能力，通过分析学生可以得出在第二种描述中，第一天总页数减少了，而第二天和第一天减少的页数一样多，所以第二天减少的页数也是40，这样就可以列出数学运算式为150-40-40=70，所以在第二个问题中两天后东东还剩70 页未读。

变式训练是帮助同学们彻底掌握一种运算方法和解题思路的最佳方法，在变式训练中数学运算的根本特征并没有发生改变，改变的是问题的表述、条件和结论等一些非本质特征，这样就可以在保证数学运算原理不变的前提下帮助同学们深刻地理解其中的数量关系和运算原理，提高数学运算能力。

四、演绎归纳，建构模型

模型思想是数学学科中重要的一种学习方法和解题思路。在数学运算中，建模思想是基于概括和归纳，对某一类题进行抽象总结，得出一种统一的解题方案的过程，归纳总结数学算法在这一类题型当中的运算原理。［1］因此，教师要引导学生在解题的过程中手脑结合，既要动手计算，也要动脑思考，演绎归纳同类题型的运算方法，得到解题模型。

比如，在讲解“植树问题”时，教师可结合一道典型的例题引导学生进行模型建构：“现有一条长为12 米的小路，我们要在小路的一边种树，每隔4 米种一棵，有几种不同的种法？”在这一问题中并没有对树的种法有特殊的限定，因此我们先要进行分类讨论，题目说明了每隔4 米种一棵，但是并没有说明在路的两端是否要种树。所以可以分为三类：两端都种，只种一端和两端都不种。分类完成之后，开始考虑具体的解题方法，解决植树问题最好的方法，就是数形结合。在草稿纸上按照一定的比例可以一厘米表示一米，绘制完成之后可以通过图示直接观察得出三种情况下分别可以植树4、3、2 棵。之后是模型的建构，对该问题抽象之后将植树抽象为在任意一段长度固定的位置上间隔固定的距离取点，之后按照取点时是否包含两端的点进行分类讨论，利用数形结合的方法解题，从而完成了植树问题解题模型的建构，再次变式之后还可以用来解决在种植棵树固定的前提下植树间隔距离，同样是采用这一个完整的解题模型进行分类讨论。

通过演绎归纳的手段建立解题模型，同学们可以迅速地掌握如何在这一类题型中提炼出最重要的数学元素，按照固定并且有效的解题思路进行快速的运算。因此，教师一定要注重学法的指导，避免学生出现动手不动脑的现象，引导其挖掘题目当中的思想和方法，概括出这类题目的要点，归纳总结出算法原理以完成数学模型的构建。

五、渗透思想，择选最优

限制同学们运算能力发展的一个主要因素是运算量的大小，同学们普遍认为有些题目的运算量太大导致计算失误，然而实际上是因为这些题型所考察的内容是同学们对某种数学思想的熟悉程度，同学们并没有选择与之匹配的计算思想，而是生硬地计算才是导致运算量巨大的原因，所以渗透思想，选择最优解法对提高运算能力有着十分重要的作用。

比如，在讲解“鸡兔同笼”问题时，同学们往往会采用设两个未知数的方法求解，这就导致运算量很大。比如：“鸡兔同笼，有头36，有脚120，求鸡兔数。”设两个未知数的话则需要列出两个方程x+y=36、2x+4y=120，之后两个方程联立分别求出x 和y的值。然而这一类型的题目有一种更加简单快速的求解方法，可以极大地减轻运算量。求鸡的数量时，假设笼子内全部是兔子，那么可以计算这种假设下笼子内的脚数是36×4=144，然而实际上只有120 只脚，少了的24 只脚就是因为不全是兔子所以会少，每有一只鸡则会少两只脚，因此用24 除以2 就可以计算出笼子内有鸡12 只。同理，要想求笼子内兔子的数量，设笼子内全部是鸡，那么应该有36×2=72 只脚，多出来48 只脚，每有一只兔子会多两只脚，所以有48÷2=24 只兔子。使用这种计算方法与设两个未知数联立方程求解相比，极大地减少了学生的运算量。

选择与问题相匹配的数学运算方法和思想，对于减轻实际的数学计算量有着至关重要的作用，甚至有可能因为计算方法选择的差异导致出现错误的结果。因此，在教学过程中渗透多样的数学思想和解题方法是培养提升学生数学运算能力的重要的一个环节，只有明确了在面对问题时应该选择哪种最优的解题方法，才能切实地提升学生的运算能力［2］。

六、结构串联，优化认知

运算是对数学知识的灵活运用，是一种能够在解决问题的过程中，针对要求的不同，合理地选择适当的数学运算方法进行求解的应用能力。因此，认清学科的基本结构都是关键的环节，对数学知识间的关联有足够的认知是必要的基础。运算结构的串联，不仅需要教师吃透教材内容，熟知教材体系，还要求教师有纵横联系知识点的能力。

例如，在讲解“减法”和“加法结合律”的运算相关知识时，在教学过程中引导学生将两者结合，从而构建这两者间的结构体系。针对一道学生经常做 错 的 题 目：“76-22-14= ？如何使用加法结合律对上述减法进行改写？”有些同学在考虑了结合律的基础上给出的答案是“76-（22-14）”，而正确的是“76-（22+14）”。这显然是不理解运算的结构，不清楚运算的规律导致的。在进行知识串联的时候，教师应该注意学生的理解，一定要正确引导学生构建正确的认知体系。再如，学到“多位数乘一位数”的运算的时候，教师可以联系之前学过的一位数乘一位数、两位数乘一位数的运算规则，让学生进行自主思考，并加以引导，为他们构建起正确的乘法运算体系。如运算134×5=？的时候，涉及进位的规则，4×5=20，这个2 需要和3×5 的15 中的5 相加，这是第一次进位；第二次进位是3×5 的得数中的十位与1×5 的得数相加。在这个过程中，应用到了一位数乘一位数的规则，并有两位数乘一位数的进位规则。将新的知识与学过的知识串联起来，温故知新，在熟悉的知识的基础上学习新的知识，这有利于他们构建知识体系。

由此可知，体系的建立对学生运算能力的提高十分关键。形成系统的运算认知，让学生不仅学会某一种运算、某一种法则，而且还要学会在整体结构框架下实现知识结构的串联，从而优化对数学算理的认知，促进运算能力的提升。

综上所述，提高学生的数学运算能力，帮助其掌握运算要领，做到灵活选择数学方法求解应用问题，这对提高学生的学习成绩和数学应用能力是至关重要的，教师要注重运算能力的培养，在运算中渗透数学方法和数学思想，以切实提高学生的数学运算能力。