实二次型的主轴化的一种几何解释

赵杰玲，张 鸽

（平顶山技师学院，河南 平顶山 467000）

科学认识活动的过程是：从具体客体出发，经过思维加工，达到抽象客体。然后，从抽象客体的种种概念出发，经过逻辑推理，形成关于抽象客体的理论体系。随后，利用关于抽象客体的理论体系对具体客体的过去、现在的表现进行解释，对具体客体的未来的表现进行预测。最后，利用理论体系的解释和预测功能的现实表现确定抽象客体是否是对具体客体的正确把握。

而现实客体是复杂多变的，主体在研究客体的过程当中，如何把握客体的主要方面，以浓缩的形式反映客体的本质的东西，舍弃非本质的东西，进而获得一类事物的理论体系，从而将理论体系运用于同类事物上，达到对同类其他事物的认识，往往成为主体研究客体的关键。

本论文探讨实二次型主轴问题，进而加深对高等代数的理解。

1 实二次型的主轴问题

平面解析几何告诉我们，在平面直角坐标系下，中心在原点的有心二次曲线，不管坐标轴与其相对位置如何，它的方程为：

而且，我们总可以通过坐标系的旋转得到一个新的坐标系，在新坐标系内，有心二次曲线的方程具有标准形式（只含变数的平方项）

这叫做把有心二次曲线化到主轴上去。

现在我们问，在直角坐标系下，由方程

表示的有心二次曲线，能否通过坐标系的旋转化为除常数项外只含变数平方项的形式？

2 旋转直角坐标系，把实二次型化为主轴形式

所以，在直角坐标系下，由方程（3）表示的曲线能够通过坐标系绕原点的旋转化简为除常数项外只含变数平方项的形式。我们称它为将（3）化到主轴上去。也就是说，当我们选择以曲线的焦点所在直线为一坐标轴建立新直角坐标系，新坐标系可以由旧坐标系通过旋转得到，即它们之间的变换为正交变换。

因为方程的常数项在坐标系绕原点的旋转变化下不变，所以上述事实也可以用下面的形式描述：

3 结语

本论文通过对平面直角坐标系旋转变换化二元二次型为主轴形式的讨论，探究获得元实二次型主轴形式存在的认识。在加深对知识理解的过程当中，初步领略了科学认识活动的具体过程。