知识结构：“结构化教学”视野下的知识重组

姜红侠 （江苏省连云港市东海县石梁河镇第一中心小学）

学生的数学学习建基于学生对已有知识的重组。从某种意义上说，学生对已有知识重组得越好，就越利于新知的建构。知识重组的目的是让知识结构化。知识结构化，不仅要关注知识的前后纵向关联，更要关注知识的左右横向联系。关注知识的纵向关联，让学生的数学学习具有一种广度；关注知识的横向关联，让学生的数学学习具有一种深度。知识重组，让学生数学学习具有立体性、开放性和生成性。一般来说，学生的数学学习通常经历两个阶段：其一是“立结构”的阶段；其二是“用结构”的阶段。通过这样的结构化教学，不仅优化学生的知识结构，更促进学生认知结构的形成。实践证明，基于“知识重组”的结构化教学，能有效提升学生学习力，发展学生的数学核心素养。

一、知识结构：“结构化教学”视野下知识重组的原点和归宿

当下的数学教学，往往是一种单向度的线性化教学。其教学结构形态是“知识点”，其教学组织形态是“课时”。这样的一种“线性化教学”，往往割裂了数学知识的内在关联，让整体性、统一性的数学知识变得支离破碎。单子化、碎片化、割裂化是学生数学知识学习的基本样态。完善学生的认知结构，一个重要的前提就是“知识结构化”。“知识结构化”要求教师在教学中必须引导学生进行数学知识的结构化重组。只有通过对数学知识进行结构化重组，才能让数学知识焕发出应有的生命活力。

（一）从“点状”到“线状”

数学知识教学不能停留在知识“点”的层面上，而必须瞻前顾后，把握“知识点”的来龙去脉。只有把握“知识点”的来龙去脉、前世今生，才能将“知识点”串接成“知识链”。从“点状”到“线状”，是基于知识重组的结构化教学的基础。如“分数的初步认识（二）”这一部分内容，其知识学习的重点是让学生建立“整体”的概念。为此，教师有必要引导学生复习“分数的初步认识（一）”中的相关内容，深化学生对“整数1”的理解。因为，“分数的初步认识（一）”中的“关于分数的定义”是“分数的初步认识（二）”相关内容的学习基础。不仅如此，还要将“一个物体”“一个计量单位”“许多物体组成的整体”串接起来，为后续五年级教学“分数的意义”中的“单位‘1’”的概念奠定基础，为后续抽象、概括“分数的意义”奠定坚实基础。同时，教师还要有意识地引导学生将“分数的意义”纳入整个的“数的意义”系统之中，对比“整数的计数单位”“分数的计数单位”“小数的计数单位”等，从而深化学生对分数概念的本质内涵的理解。从“点状”到“线状”，要自觉地叩问知识的本源。

（二）从“线状”到“网状”

知识重组，不仅需要进行纵向的追溯、伏脉，更要进行横向关联。“横向关联”要求教师在数学教学中要善于“左顾右盼”，从而将相关的“知识链”“知识串”等集结成“知识网”。将数学的“线状”知识勾连成“网状”知识，不仅有助于学生建构完整的知识体系，更有助于学生对数学知识的理解、应用能“举一反三”“触类旁通”。如教学苏教版五年级下册“异分母分数加减法”这部分内容时，教师不仅要引导学生追溯知识的操作本源，从“异分母分数加减法”追溯“通分”，从“通分”追溯“最小公倍数”等，更要引导学生将“整数加减法”“小数加减法”的法则进行对比，从而帮助学生建构它们之间的内在关联，帮助学生提炼“大概念”——“计数单位相同”，让学生认识到“无论是整数加减法、小数加减法还是分数加减法，都是要求只有计数单位相同才能直接相加或相减”。这种对整数、小数、分数加减法法则的概括、提炼、抽象，对于学生今后学习有理数的加减法乃至于无理数的加减法都具有重要的意义和价值。

（三）从“网状”到“体状”

对数学知识的重组，不仅要勾线成面，更要积面成体。相对于“知识网”，“知识体”更具有一种迁移、应用的价值。当学生能够厘清数学“知识点”“知识线”“知识网”时，教师要着力引导学生建构“知识群”“知识块”“知识体”。在数学学科知识中，只有“知识体”才是一个有机的知识整体。知识体是一个知识系统、知识结构，它具有整体性、调整性、转换性，是相对稳定的一种知识结构形态。可以这样说，“知识体”的构成形态表征着学生数学学习结构力的高低，表征着学生数学学习结构力的品质。如很多教师在教学“多边形的面积”时，往往关注到“各个多边形面积推导过程的关联”；在推导圆柱体积时，往往关注到“圆柱的体积”与“长方体、正方体体积之间的关联”。换言之，教师在教学中往往仅关注“平面图形面积关联”以及“立体图形体积关联”，却很少关注“平面图形与立体图形之间的关联”。事实上，教师在教学“立体图形的体积”时，可以引导学生回顾“平面图形的面积推导过程”，从而激发学生的类比性、合理性地猜想：既然“圆的面积”可以转化成“长方形的面积”，那么，“圆柱的体积”是否可以转化成“长方体的体积”呢？这样的引导，会助推学生将“知识网”搭建成“知识体”。

二、结构发生：“结构化教学”视野下知识重组的依据和条件

对数学知识进行重组，意味着教师在结构化教学中，无论是哪一个环节都要以“结构化思想”“结构化观念”“结构化思维”，去考量教材、数学知识本体等。教材、生活以及数学知识本体是学生展开结构化学习的源泉，也是学生展开结构化学习的重要依托。课时、单元以及数学知识本体是学生展开结构化学习的组织载体、组织媒介。它们共同构成了学生结构化学习的依据和条件。深入研究学生的结构化学习的依据和条件，有助于学生将相关数学知识“勾连成体”。

（一）课时知识：知识重组的“发源地”

课时知识是学生展开结构化学习的基本单位，学生的结构化学习就是在一个个“课时知识”基础上累积而成的。从这个意义上说，“课时知识”是学生对数学知识进行重组的“发源地”。对课时知识的把握其实就是对数学知识要素的把握。课时知识的教学，不能仅停留在“陈述化”的水平上，而必须通过“程序化”的过程体验，促进学生对数学知识本质的理解。如“长方形的面积”这一部分内容，涉及“面积和周长”“面积单位和长度单位”“面积计算公式与周长计算公式”等，当这些基础性的知识与情境相结合，就成为较为复杂的问题。面对这样的一些问题，教师应当充分引导学生经历用“面积单位”度量“面积对象”的过程。在教学中，教师要避免过早地将相关的数学知识“形式化”，而是要让学生充分经历“摆方格”“数方格”“算方格”的过程。经历了这样的过程，学生就能建立“面积计算”的基本模型，这种模型能为学生后续学习相关的“多边形的面积”奠定坚实的基础。

（二）单元知识：知识重组的“集散地”

“单元”是一个有意义的组织集合。数学教材中的“单元”往往是一类数学知识的“集散地”，不善于结构化教学的教师往往只是看到一个个“知识点”，而善于结构化教学的教师看到的是“知识群”“知识块”。以“单元知识”为载体，不仅可以依赖于教材的单元编排，而且可以重组单元、创生单元。换言之，尽管教材单元呈现的知识是一种客观性的形态，但不同的教师“眼中的单元”是不同的。在小学数学教学中，教师还要善于打破单元的壁垒，将相关的单元知识集结，从而以诸多个“小单元”构建一个“大单元”，或者构建一个“主题单元”。如教学“分数乘法”这一单元时，教师要着力引导学生寻找关键句中的单位“1”的量，着力引导学生画图分析数量关系；同样，在“分数除法”这一单元教学中，教师还是要引导学生寻找关键句中的单位“1”的量，引导学生画图分析数量关系。因此，在教学这部分内容时，教师应当引导学生比较，尤其是要让学生抓住“分数乘法”和“分数除法”单元学习中的“共同点”，进而引导学生在“分数的四则运算”这一单元，对“稍复杂的分数乘除法应用题”进行自主分析。不仅如此，教师在教学中还要将学生已经学习的相关内容对比，凸显这一类问题的共同的分析思路、数学方法与思想等。

（三）本体知识：知识重组的“生发地”

无论是课时知识还是单元知识，都是由编者有意编排而成的。对于学生的数学结构化学习来说，数学学科的本体性知识才是知识重组的“生发地”“生长地”，也是“生成地”。从数学学科的本体性知识出发，要求教师引导学生“面向数学学科本身”，以“陌生化”的眼光来打量。关注数学知识本体，要注重结构、体系等的完善。关注数学知识本体，不仅要让知识呈现出“结构态”，更要让数学的思想方法等也呈现出“结构态”。如“认识厘米”“角的度量”“时分秒”这样的一些内容，就分属于不同的知识领域、单元。面向数学知识本身，这些有关“量与计量”方面的内容，都有一个共同的特征，即“都属于包含除”。“计量”从本质上来说，都是“看计量对象中包含有多少个计量单位”。为此，在教学中，教师先引导学生复习已学习内容，然后让学生猜想，引导学生将已经学习的“测量”方面的知识、方法、思想等进行迁移、应用。这样的一个过程，其实也就是教师引导学生“学知识结构”“立知识结构”“用知识结构”的过程。

三、发生实践：“结构化教学”视野下知识重组的路径和策略

建构知识结构，从根本上说就是为了改变知识“碎片化”“重复化”“无序化”的低效弊病。结构化的教学要通过对知识的重组，通过建构数学知识结构，来建构、完善、优化学生的认知结构。通过认知结构的优化、完善，促进学生发展数学知识迁移、应用的能力。在这个过程中，自然能提升学生的学习品质，提升学生的数学学习力。

（一）梳理与统整

对数学知识的重组，首先要对相关数学知识进行梳理，在梳理的基础上进行整合，即所谓的“知识统整”。知识统整不是知识的简单加减，而是一种深度的融合。梳理侧重于引导学生把握数学知识的本质与关联，而统整侧重于引导学生的迁移和应用。只有通过梳理与统整，数学知识才能具有一种内在的“活性”。如在教学“小数的认识”这一部分内容时，在引导学生认识小数的计数单位以及小数的数位、位数等相关概念之后，笔者引导学生将“整数的数位顺序表”引入其中，从而将“整数的数位顺序表”与“小数的数位顺序表”进行整合，建构了一个全新的“数位顺序表”。在“数位顺序表”中，整数、小数的数位、计数单位以及各个计数单位之间的进率一目了然。梳理与统整，不仅沟通了数学知识之间的关联，更培养了学生分析、推理、综合等思维能力，让学生感受、体验到数学知识的和谐之美、统一之美。

（二）勾连与突破

勾连相关的数学知识，旨在促进学生数学认知的突破。在数学教学中，勾连相关的数学知识，不仅要依据数学知识本身的特质，更要关照学生的具体学情，包括学生的认知、年龄、心理等特征、特质。勾连相关的数学知识，要站在不同的视角，让知识结构成为一个开放性、立体性、生成性的动态结构。勾连相关的数学知识能助推学生突破固有的认知惯习。如教学“多边形的面积”之后，很多教师都用“梯形的面积”来统摄其他图形，如长方形、正方形、平行四边形、三角形等的面积。如“三角形可以看成是上底为0的梯形的面积”“平行四边形可以看成上下底相等的梯形的面积”，等等。有了这样的勾连，学生在比较“圆”与“多边形”的面积时，能形成认知的突破。有学生认为，圆环可以看成是上底为内圆周长、下底为外圆周长、高位两圆之间的距离的梯形。这样的一种认知，显然突破了曲线图形与直线图形的天然鸿沟，将相关的数学知识整合起来。

（三）拓展与延伸

对数学知识进行重组要进行适度地拓展与延伸。一直以来，很多教师的数学教学往往局限于教材、锁定于课堂，从而导致数学知识教学狭窄。拓展与延伸，就是要教师通过知识重组，打破一些知识壁垒、生活壁垒、经验壁垒，从而拓展、延伸学生的认知触须。如教学“圆柱的侧面积”“圆柱的体积”这一部分内容时，笔者就将“长方体和正方体的侧面积”“长方体和正方体的体积”等相关知识引入其中，从而引导学生建构“直柱体的侧面积”“直柱体的体积”。借助多媒体课件对直柱体的侧面积、直柱体的体积等的直观生成演示，让学生深刻感悟“底面周长乘高”“底面积乘高”。通过数学知识重组、提炼、升华，将学生的数学认知拓展、延伸至“三棱柱”“四棱柱”等的侧面积、体积计算。这样的一种知识重构，让学生在更为一般性的意义上建构了直柱体的侧面积、体积计算等相关知识。

数学知识结构是数学学科的“骨架”，也是“血肉”。作为教师，必须秉持一种“结构化视角”，对相关的数学课时知识、单元知识，以及数学本体性知识等进行整理、集结。结构化教学有助于学生掌握结构化知识，结构化知识能有效助推学生的结构化学习。