均值代换法求最值

苏丽娟

【摘要】最值问题是出现在各级各类竞赛中的一类重要题型，其形式、方法多样，情形复杂，不同的问题要运用相应的对策.对于已知两个或多个变量的和，求解有关代数式的最值等问题，运用均值代换法求解，可将分散的条件联系起来，将条件和目标联系起来，起到事半功倍之效.

【关键词】均值代换；竞赛；最值

若x+y=a（a≠0），则可设

x=a2+t，y=x=a2-t；

若x+y+z=a（a≠0），则可设

x=a3+t1，y=x=a3+t2，z=a3+t3，

其中t1+t2+t3=0.

运用上述变换求解问题的方法称之为均值代换法.

下面举例说明均值代换法在求解一些数学竞赛试题中的应用.

例1实数x，y满足x2-3xy+y2=2，则x2+y2的值域是.（第6届希望杯高二2试）

解因为x2+y2-3xy=2，

所以可设x2+y2=1+t，-3xy=1-t.

由x2+y2=1+t≥0，得t≥-1.

由x2-2xy+y2≥0，

即x2+y2≥2xy，

得1+t≥2·t-13，

解得t≥-5，不满足t≥-1.

由x2+2xy+y2≥0，

即x2+y2≥-2xy，

得1+t≥2·1-t3，解得t≥-15，

所以1+t≥45，即x2+y2≥45，

当且仅当x=-y，x2-3xy+y2=2，即x=105，y=-105，或x=-105，y=105时，等号成立.

故x2+y2的值域是45，+∞.

注本题由于x，y和满足的条件方程具有对称性，且x2-3xy+y2=2（定值），所以通过进行均值代换，再结合重要不等式的变形求解.

例2实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，S=x2+y2，则1Smax+1Smin=.（1993年全国联赛）

解因为4x2-5xy+4y2=5，

所以可设4x2+4y2=52+t，-5xy=52-t，

显然4x2+4y2=52+t>0，

即t≥-52.

由x2+y2≥2xy，得4x2+4y2≥8xy，

即52+t≥-85·52-t，

解得t≤656，

所以52+t≤52+656=403，

即4x2+4y2≤403，

所以S=x2+y2≤103，

當且仅当x=y，4x2-5xy+4y2=5，即x=y=-153或x=y=153时，等号成立，

所以Smax=103.

因为（x+y）2≥0，

所以x2+y2≥-2xy，

得4x2+4y2≥-8xy，

所以52+t≥8552-t，即 t≥1526，

所以52+t≥52+1526=4013，

即4x2+4y2≥1013，

所以S=x2+y2≥1013，

当且仅当x=-y，4x2-5xy+4y2=5，即x=6513，y=-6513或x=-6513，y=6513时，等号成立，

所以Smin=1013，

故1Smax+1Smin=310+1310=85.

注本题解法与例1的解法有着异曲同工之妙.也是依据x，y和满足的条件方程具有对称性，且4x2-5xy+4y2=5（定值），通过均值代换，再结合重要不等式的变形求解.

例3已知a>0，b>0，且3a+2b=4，则2aa+1+32b的最小值为.

解由3a+2b=4，可设

3a=2-t，2b=2+t，-2<t<2，

所以2aa+1+32b=21+1a+32b

=63+3a+32b=65-t+32+t

=65-t+32+t×1

=1765-t+32+t（5-t+2+t）

=179+6（2+t）5-t+3（5-t）2+t

≥179+26（2+t）5-t·3（5-t）2+t

=9+627，

当且仅当6（2+t）5-t=3（5-t）2+t，即t=33-266+3，从而a=33+21223，b=72-72时，等号成立.

故2aa+1+32b的最小值为9+627.

注本题根据已知等式3a+2b=4（定值），进行均值代换，代入所求式后，得到关于新元的式子，进行“1”的代换，配凑、变形利用基本不等式求解.

例4已知a+b+c=1，则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为.

解因为a+b+c=1，

所以可设a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，

其中t1+t2+t3=0，

于是（3a+1+3b+1+3c+1）2

=（2+3t1+2+3t2+2+3t3）2

=（2+3t1）+（2+3t2）+（2+3t3）+

22+3t1·2+3t2+22+3t2·2+3t3+

22+3t1·2+3t3

≤（2+3t1）+（2+3t2）+（2+3t3）+

（2+3t1+2+3t2）+（2+3t2+2+3t3）+

（2+3t1+2+3t3）

=18+9（t1+t2+t3）=18，

当且仅当t1=t2=t3=0，即a=b=c=13时，等号成立，

所以3a+1+3b+1+3c+1≤32，

故3a+1+3b+1+3c+1的最大值为32.

注本题由于a，b，c具有轮换性，其和为定值1，所以通过进行均值代换，再结合二元均值不等式求解，此解法别具一格，充分体现了均值代换法的应用价值和解题魅力.