道路新建与养护的动态最优投资分配模型

王鹏飞 王安格宗恒山关宏志刘鹏徐秋实李松

(1.燕山大学 河北省土木工程绿色建造与智能运维重点实验室,河北 秦皇岛 066004;2.北京工业大学 城市与工程安全减灾教育部重点实验室,北京 100124;3.北京工业大学 城市建设学部,北京 100124;4.中国航天系统科学与工程研究院,北京 100037;5.北京航空航天大学 经济管理学院,北京 100191;6.北京航空航天大学 复杂系统分析与管理决策教育部重点实验室,北京 100191;7.石家庄铁道大学 交通运输学院,河北 石家庄 050043)

0 引言

随着国民经济的快速发展,路网流量的迅猛增长,交通供需矛盾日益突出。为了缓解交通拥堵所带来的负面外部性并促进经济和社会发展,通过新建道路增加路网容量成为管理者的重要举措。与此同时,城市道路在其服役期内会出现不同程度的坏损,道路养护工作也亟需开展。近些年,随着预防性养护概念的不断深入,道路养护工作越来越受到研究人员的重视。因此,在预算有限的条件下,如何科学地制定道路新建与养护的最优投资比例以最小化所有用户的出行成本就显得尤为重要。

道路养护的最优决策问题并非一个新话题,早在20 世纪80 年代,Golabi等[1]就利用线性规划模型建立了美国亚利桑那洲路面管理系统并成功地在第一年为州政府节约了1400 万美元的财政支出。在此领域,利用动态规划理论建模是比较常见的,Ouyang[2]以最小化路面养护和用户总成本为目标,建立了离散时间的路面重修资金的最优分配模型。Kuhn等[3]将不确定性纳入到马尔科夫决策模型中,并提出了鲁棒优化策略。Medury等[4]利用了值函数近似理论,构建了近似动态规划模型以回避在现实中多维精确值函数形式难以确定的问题。在联合优化理论方面,Hajibabai等[5]认为工厂的选址会显著影响周边道路的坏损程度,因此在用户均衡理论框架下提出了货运设施选址和道路养护策略的联合优化理论。Lee等[6]构建了基于历史数据退化模型的路面设计与养护的联合优化模型。此后,Lee等[7]又提出了一种道路养护和重建的联合自下而上求解方法。另外,还可利用多目标优化理论进行建模,Saha等[8]构建了一种最大化交通流量和现有路况功能指标,最小化风险的模型。Meneses等[9]开发了一种可最小化投资总额和用户出行成本,同时实现路面残值最大化的多目标路面养护决策辅助工具。在道路养护与环境、经济成本的相互关系分析方面,Ozer等[10]重点分析了现有各种道路养护技术的环境与经济成本,Yu等[11]和Lee等[12]也考虑了路面养护造成的环境污染问题。

在国内,桂滨等[13]为公路网改扩建决策优化提出了双层规划模型以实现所有用户的总出行时间最小化。王朝辉[14]等认为路面预防性养护对维持良好路面性能具有重要意义,因此利用重构数据包络分析方法提出了预防性养护时机与对策一体优化模型。郑士源等[15]在总结交通基础设施特点的基础上,对跨期增长模型进行了修正并建立了交通基础设施投资最优化模型。董小林等[16]基于全寿命周期理论对公路项目的环境成本进行了定量分析并得到环境成本计算公式。李弢等[17]提出了基于用户均衡条件下的路面养护的最优决策模型。张艳红等[18]构建了基于资金与目标双约束条件下的道路养护策略。孙强等[19]在综合考虑投资效率和地区公平分配的基础上,构建了考虑公平约束的多阶段交通基础设施投资的地区结构优化模型。Fan等[20]建立了随机线性规划模型对资金预算不确定条件下的路面维护和修复项目管理进行决策优化。彭华等[21]提出了将网级路面管理系统中的资金优化模型详细划分为高、中、低三类服务水平,既有利于管理部门决策也降低了模型求解难度。鲍海君[22]基于博弈论提出了基础设施BOT 项目特许权期的有效计算方法。王东波等[23]以道路建设项目为对象,将计算特许权期的既有理论扩展到了弹性交通需求条件下。赵立力等[24]又提出了在道路建设的BOT 项目中纳入调节基金决策机制的构想。

上述研究虽然取得了丰硕的成果,但还存在以下可以扩展的方面:(1)仅探讨路面养护的方法、时机和投资策略或区域交通基础设施的最优总投资额度,并没有同时考虑道路新建和养护及对两者的最优投资比例;(2)路网流量为外生给定的精确值,没有考虑道路新建与路网流量之间的相互作用机理,同时也没有对其不确定性进行建模;(3)基于用户均衡理论构建的双层规划模型难以支持大规模路网的决策问题。鉴于此,本研究拟构建连续时间的随机最优控制模型,在路网流量存在不确定性和给定投资预算的约束下,从宏观层面上寻求新建和养护道路的动态最优投资比例以最小化所有用户的总出行成本。

1 场景设定

根据现实情况,本研究在如下四个方面进行场景设定:(1)投资预算与分配;(2)用户出行成本;(3)路网容量;(4)路网流量。

投资预算与分配方面:每年对道路修建的投资总量是外生给定的,但并非定值,且年末无结余、无赤字。在此条件下,管理者只能决定新建道路与养护道路的资金动态使用比例。同时,对于城市建成区道路的新建与养护,出资主体是一致的,均为当地政府,并没有引入民间资本。

用户出行成本方面:除固定出行成本外,还存在以下两种出行成本:(1)可变出行成本,其与路网饱和度密切相关,此处的路网饱和度被定义为路网流量和路网容量的比值。(2)道路养护期间会因占用空间资源而降低其通行能力,进而使用户出行成本暂时增加,称为暂时增加出行成本。

路网容量方面:(1)路网容量的定义为在一定的交通状态下,一定时间内,在道路网上所能实现的最大车公里数。(2)基于(1)中的定义,新建道路一定能够提高路网容量的上限值,而养护道路仅能恢复路网容量,但不能突破其上限值。(3)路网容量降低的主要原因是产生病害,而病害则主要与路网流量等因素密切相关(详见文献[25])。(4)道路的新建和养护在时间t内可完成,但道路养护会导致部分道路暂时封闭致使用户的出行成本暂时增加。(5)只有在道路产生病害导致路网容量下降后,政府才会进行相应的养护,即不考虑预防性养护。

路网流量方面:(1)路网流量的基本增长率是外生给定的,但并非定值。现实中,路网流量由机动车保有量与交通管制政策综合计算得出。(2) 根据汤姆森—当斯定律(thomson-downs law),新建道路(路网容量上限增加)会刺激路网流量的增长。对此,文献[26]已经进行过理论和实证分析。(3)对于新建道路对路网流量增长的刺激,管理者可以进行非精确预测,因此存在不确定性。(4)由于本研究的目的是建立宏观决策模型,因此不考虑具体的路网结构和用户出行规则。

2 模型建立

2.1 总出行成本

道路管理者的目标是在[0,T] 期间内最小化交通系统内所有用户的总出行成本TC(v,r,t,λ)(为降低公式表达的繁琐程度,下文使用(·) 代表(t,v,r,λ),使用(·) 代表(t,v,r)),可定义如下:

式(1)中,C(·) 为所有用户时刻t的总出行成本;v(t) 为时刻t的路网流量,r(t) 为时刻t的路网容量,v(t)和r(t) 均为本模型的状态变量;v(t)/r(t) 为路网饱和度;s为固定出行成本;k1为路网饱和度与出行成本之间的换算系数;k2为道路养护对用户出行成本增加的换算系数;f(t) 为时刻t政府对修建道路的投资总额;λ(·) 为新建道路的投资额占总投资额的比例,同时也是模型的控制变量;pE(t) 为道路养护的单位费用;e为自然常数;ρ为社会贴现率(social discount rate)。式(1)中括号内的三项出行成本分别为固定出行成本、可变出行成本与因道路养护增加的出行成本。其中,第二项与路网饱和度有关,第三项与道路养护的投资量有关。此外,在实际应用中,k1和k2用于统一上述三种成本的量纲。同时,随着社会经济的发展和通货膨胀,相较于当前时刻,未来用户的出行成本会逐渐产生折减。为了能够统一口径分析整个期间[0,T] 内发生在不同时刻的出行成本,均需要转换为0 时刻的成本。为实现这一目标,就必须在式(1)中添加社会贴现率e-ρt这一项。

根据场景设定,状态变量v(t)和r(t) 应符合以下演变规律。其中,路网流量v(t)的演变受到外生增长率和新建道路刺激的影响,并且不能被管理者精确把握;路网容量r(t)由于新建与养护道路而得到提高,同时由于车辆行驶而产生病害,导致路网容量下降。

式(2)中,α(t) 为路网流量的外生动态增长率;新建道路会刺激用户对机动车的购入和使用,以β(t)f(t)λ(·) 来表示,其中β(t) 为新建道路总投资与其刺激路网流量增长的换算系数。此外,基于模型假设,道路管理者对路网流量的增长并非能够精确把握,存在一定的偏差。其中,w为标准维纳过程,σ为外生干扰系数,且不确定性σf(t)λ(·)dw与政府对新建道路的投资额有关。式(3) 中,pN(t) 为新建道路的单位费用;γ和δ分别为新建道路、养护道路与路网容量的新增量、恢复量的换算系数;η为因车辆行驶造成路面坏损,进而降低路网容量的换算系数。式(3)的右边第一项和第二项分别代表新建道路和养护道路对路网容量的贡献,而第三项则代表的是当前路网流量对路网容量的影响,即:路网流量越高,造成的道路损坏里程越长,进而路网容量下降的就越多。

在现实中,若路网容量不降低,政府一般不会进行道路养护的投资。因此,时刻t的最大道路养护量不可能超过此时刻路面的损坏量,即养护道路不会使得路网容量的上限值增加。综上所述,下述不等式(4)成立。

由不等式(4)进行等价转换可得下式

由于不等式(5)右侧一定是小于等于1 的正数,若令式(5)的右侧为θ(·),则控制变量λ(·) ∈[θ(·),1],即1-λ(·) ∈[0,1-θ(·)]。此外,上述分析也暗含了新建道路比例上限常为100%的假设,即新建道路不受土地和上层规划的制约。

2.2 动态系统最优

基于上述含有不确定性的设定,定义如下动态系统最优问题[DSO],以最小化[0,T] 期间内所有用户的总出行成本的期望值。

式(6)中,v0和vT分别表示系统初始和结束时的路网流量;r0和rT分别表示系统初始和结束时的路网容量;T为终端时刻且固定;G为终端状态且自由;E0为[0,T] 期间的用户总出行成本期望值。

求解上述动态最优问题[DSO]有两种基本方法:庞德里亚金极值原理和动态规划原理(dynamic programming,DP)。由于问题[DSO]的状态方程中含有不确定项σf(t)λ(·)dw,因此只有动态规划原理适用。为了得到最优控制策略,必须首先分析问题[DSO]的最优性条件:哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程(Hamilton-Jacobi-Bellman,HJB)。为此,首先定义如下最优值函数(optimal value function)J(·)。同时,由于函数已经取得最优值,因此最优值函数只和状态变量v(t)和r(t)有关,而与控制变量λ(·) 无关。

式(7)中,Et为[t,T] 期间的用户总出行成本期望值。

下面需要对模型合理性进行阐述,主要分析内容为随着路网流量和路网容量的变化,最优值函数值的变化趋势,以及结论是否符合交通工程学与交通规划学中的基本理论。首先,对式(7)应用动态规划原理,可得式(8)

在时刻t,如式(9) 和式(10) 所示,分别给予路网流量和路网容量一个增量,此处a ＞1和b ＞1,则可得Ja(·)和Jb(·)

由于最优值函数与控制变量λ(·) 无关,因此,式(9) 和式(10) 中的λ(·) 可看作为一个常数。若分别将Ja(·)、Jb(·)与J(·)做差,则式(9)和式(10)中恒等号右侧中括号中的第二项e-ρtJ(t +Δt,v +Δv,r +Δr)会被同时消除。再分别求点(av(t),Ja(·)) 与点(v(t),J(·)) 之间,点(br(t),Jb(·)) 与点(r(t),J(·)) 之间的两条割线斜率即可得式(11)与式(12)

若函数Fa(·)再对增量a求导,则可得式(13)

由于a ＞1、b ＞1,＞0 且其他参数皆为正数,因此可知式(11)恒为正,式(12)恒为负,式(13)恒为正。

综上所述,可得以下重要结论:(1) ∂J/∂v ＞0,即最优值函数值随着路网流量的增加而上升,因此路网流量的边际成本为正;(2)∂J/∂r ＜0,即路网容量越大,最优值函数值越低,因此路网容量的边际成本为负;(3)∂2J/∂v2＞0,即伴随路网流量的持续增加,最优值函数值增加的速率会变快。因此,上述理论分析所得结论同现实世界相符,与交通工程学中的BPR(bureau of public road)函数性质一致,由此可知本模型是合理的。

2.3 最优性条件

对式(8)右侧括号中的J(t+Δt,v+Δv,r+Δr)进行泰勒展开,并忽略三次及以上的高次项可得式(14)。同时,为了避免符号繁琐,在下文中,一律省略(t)、(·) 和(·) 的表示方式。

式(14)中,∂J/∂t表示微小时间段内最优值函数的值的变化量;∂J/∂v和∂J/∂r分别表示路网流量v和路网容量r的微小变化对最优值函数值的影响。由于Δw为标准维纳过程,因此可得式(15)

将式(15)代入式(2)～(3)之后,可得式(16)

同时,式(2)-(3)可以等价转换为式(17)～(18)

如果将式(16)～(18)代入式(14),则会得到式(19)

将式(17)～(19)代入式(8),可得式(20)

最后,将式(15)、式(17)、式(18)和式(21)代入式(20),同时恒等式两端除以Δt,可得HJB 方程(式(22)～(23))

式(22)～(23)的意义是寻找动态最优投资策略λ*使得微小时间段内最优值函数值的变化∂J/∂t最小。式(23)中等式右边中括号内各项的意义如下:第一项为总出行成本;第二项为贴现后的最优值函数值;第三和第四项分别代表路网流量的微小变化对总出行成本的影响;第五、第六和第七项分别代表路网容量的微小变化对总出行成本的影响;第八项代表不可控因素对总出行成本造成的影响。

2.4 含有偏导数项的动态最优投资策略

式(23)是含有控制变量λ的函数,因此等式两侧对λ求导可得到含有∂J/dv、∂J/dr和∂2J/dv2等偏导数项的动态最优投资策略λ*。

通过式(25)可知:动态最优投资策略为一个闭环的反馈控制(closed-loop feedback control),相较只利用历史数据的开环控制策略,动态最优投资策略λ*为状态变量v(随机状态变量)和r的函数。

在上述分析基础上,对所得动态最优投资策略的合理性解释如下:(1)单位成本和换算系数的相对大小会影响投资分配比例,当pE ＜pN或δ ＞γ,则说明养护道路比新建道路更能降低路网饱和度。(2) 若∂J/∂v和刺激系数β增大,则λ*降低,说明此时不能激发路网流量增加的道路养护策略更合适。(3)若|∂J/∂r|增加,则λ*降低,说明新建道路的策略更优。(4) 随着暂时增加出行成本的换算系数k2的增长,只有提高路网容量的上限值才能遏制用户的出行成本,因此对新建道路的最优投资比例λ*会提高。(5) 分母中的不确定项的干扰系数σ的增大也会使得投资支出倾向于养护道路,因为养护道路不会激发潜在的交通需求。(6) 若投资总额f较多,则养护道路会比新建道路更加容易抑制最优值函数值的增长。

3 模型求解

3.1 最优值函数的设定

由式(20)可知,若管理者明确掌握最优值函数J的形式,即最优值函数值与状态变量v、r和时间t的关系,则可直接求解得到不含有偏导数项∂J/∂t、∂J/∂v、∂J/∂r和∂2J/∂v2的最优投资比例λ*的解析解,进而得到最优值函数的轨线J*。否则,λ*将无法计算。这也是使用动态规划原理分析最优性条件(HJB 方程),进而求解连续系统最优控制策略的主要困难之一,即必须要知道最优值函数的形式且要求解偏微分方程。对此,文献[27]提出了一种基于广义互补问题且不利用具体最优值函数形式即可求解动态最优控制策略和系统最优轨线的算法,但其应用条件较为苛刻,必须要求最优控制策略为“Bang-Bang”控制才行,因此不适合本研究。

此外,在机器学习的领域中,最优值函数形式的确定也可以使用值函数近似(value function approximation)理论,但数据采集及训练的成本极高,且仍需要对值函数的形式进行提前假设。现实中,通过长期观测和逻辑推导,管理者便可大体上把握最优值函数的形式,但其中的具体参数并不能精准掌握。鉴于此,本文采用如下方法求解待估参数[28]。首先,根据一定的逻辑推理,假设非自治最优值函数的形式如式(26)所示:

式(26)中,JA为预设最优值函数(下角标A 为假设的含义);h为待估参数。

此处需要对预设最优值函数(26)的合理性进行分析,主要目的是确认预设最优值函数JA的性质是否与2.2 节中所得的关于最优值函数J的结论一致。因此,需要用最优值函数JA对路网流量v求一阶和二阶偏导数,对路网容量r求一阶偏导数,进而可得式(27)～(29)

由式(26)～(29)可知:(1)预设最优值函数JA中考虑了社会贴现率ρ,与最优值函数J的形式和性质保持一致。(2)∂JA/∂v ＞0,即在路网容量r保持一定的条件下,随着路网流量v的增长,预设最优值函数值呈上升的趋势,且由∂2JA/∂v2＞0 可知,预设最优值函数值的上升速度将会随着路网流量的增加而增加。(3)∂JA/∂r ＜0,即在路网流量v保持一定的前提下,随着路网容量r的增加,预设最优值函数值呈下降趋势。综上所述,预设最优值函数JA与最优值函数J拥有一致的性质(见2.2 节),可以利用预设最优值函数进行计算求解(不含偏导数项的) 动态最优投资分配策略。

3.2 动态最优投资策略的解析解

将含有偏导数项的动态最优投资策略(25)带入到HJB方程(22)～(23)中可消除掉min,因为已经实现了最小化。而后将设定的带有待估参数h的最优值函数(26)也带入到HJB 方程(22)～(23)中则得到下式(30)～(35)。

通过式(30)～(35)可求解得到参数h如式(36)～(43)所示,

通过上述的参数估计,动态最优投资策略(25)变为如下形式:

其中,h1和h2见式(36)～(43)。在实际应用中需要计算待估参数h的两个数值,并且通过比较最优值函数J1和J2的数值大小来进行取舍,最终得到唯一最优投资策略λ*。此外,理论上不能严格保证非线性时变系统的动态最优投资策略的唯一性。

由上述分析可知,当待估参数是一个常数的情况下,为了不在求偏导数项的时候消失,就必须要在推导出的HJB 方程(22)～(23)中含有最优值函数J这一项才可以。若待估参数不为常数项时,则不必要求HJB 方程中一定要存在最优值函数J。由上述的HJB 方程的推导过程可知,J的存在是以利用社会贴现率ρ建模为前提的(见式(21))。由于最优控制问题必须要对时间[0,T] 积分,因而在诸多领域中必须要统一时间口径进行计算。综上所述,引入社会贴现率ρ可使建模和求解具有更广泛的适用性。

4 数值试验

4.1 数值设定

以中国典型一线中心城市(以下简称此城市)2018 年的道路交通状况为初始状态,制定2019 年至2028 年此城市的道路新建和养护的动态最优投资策略,并对其效果进行定量分析。经调研,数值试验所使用的参数设定及其解释说明(或设定依据)归纳如下,详见表1。

4.2 结果分析

本数值试验的目的是分析动态最优投资策略的效率,即在节约用户出行成本方面与此城市现行投资策略进行定量比较分析。首先,表2 所示为某一时间序列随机数条件下的2019-2028 年此城市的路网流量、路网容量、动态最优投资策略、现行投资策略以及两种投资策略下的用户总出行成本。

由表2 可知:(1)路网流量和路网容量的增长变化符合真实世界的变化规律。例如:路网流量的年平均增长率为2.31%,这与现阶段此城市的机动车保有量的年平均增长率保持一致。同时,十年间交通拥堵成本(见文献[33])平均占总出行成本的45.75%,这与文献[29-30]中的内容基本一致。因此,可判定上述数值设定是合理的,即在此基础之上对比动态最优投资策略与现行投资策略的效率性是有实际意义的。(2)由于初始状态(见表1)中假设第一年没有路面需要养护,因此,无论动态最优投资策略还是现行投资策略,对新建道路的最优投资比例都应为100%。(3)两种投资策略的差异并不是很大,但用户总出行成本却有较大的差别,十年间动态最优投资策略共可节约出行成本556.9993亿元(需要注意的是式(1)定义的为一天的出行成本,此处需要乘以365 天进行计算),约1526.0254 万元/天。

表1 参数设定Table 1 Parameter settings

表2 动态最优投资策略与现行投资策略的比较(典型例子)Table 2 Dynamic optimal investment scheme vs.current investment scheme (In a Typical Case)

为了验证表2 所述结论的鲁棒性,在不同的时间序列随机数条件下进行了10000 次的蒙特卡洛试验,表3 为试验结果。由表3 可知:(1)动态最优投资策略下的用户总出行成本的标准差与变异系数均不大,这意味着相较现行投资策略,本研究提出的动态最优投资策略具有较高的效率。(2)两种投资策略下的用户总出行成本的平均差值约为1414.1466 万元/天,这也证明了表2 所述典型例子的结果不具有特殊性。(3)在随机最优控制理论的框架下,虽然随机最优控制策略不可能保证每次独立计算出的总出行成本都一定是最小的,这是因为管理者只能把握随机变量的特征:期望值与标准差,而并不能准确地预知下一时刻(即下一年度)的随机现象。但在此案例的10000 次蒙特卡洛试验中,动态最优投资策略占优比例为100%,即不会有现行投资策略效率更高的情况出现。

表3 动态最优投资策略与现行投资策略下的总出行成本比较(蒙特卡洛试验,10000 次)Table 3 Comparison on total travel cost between dynamic optimal investment scheme and current investment scheme (a monte-carlo experiment,10000 samples)

5 结语

本研究从宏观层面上对城市道路新建和养护的最优动态投资比例进行了研究。首先,本文构建了含有随机项的连续时间最优控制模型,并利用动态规划原理推导出最优性条件HJB 方程,同时得到含有偏导数项的动态最优投资策略,此动态最优投资策略为一个闭环反馈控制。其次,本文采用一种估计最优值函数中参数的方法求解得到(不含偏导数项的)动态最优投资策略的解析解。再次,对各参数与动态最优投资策略的关系进行了定性分析。最后,以中国典型一线中心城市的实际数据为例,以2018 年的道路交通状况为初始状态给出了2019 年至2028 年的城区道路新建和养护的动态最优投资策略,并通过蒙特卡洛试验得出动态最优投资策略会比现行投资策略(开环控制策略)节约出行成本约1414.1466 万元/天的结论。

另外,研究还存在以下可拓展的方向:(1)本研究只考虑了路网流量,没有将被普遍执行的限行政策纳入到模型中进行优化,毕竟车辆行驶是造成路面病害的主要原因之一。(2)需追加考虑不能行驶的机动车需要停放而导致路网容量下降和对停车子系统的投资优化问题,可结合停车许可证的收益再投资等策略进行分析[34-35]。(3)进一步细化路面病害的种类和成因:路面坏损种类和程度不仅与行驶的机动车数量有关,还与车速(路网饱和度)、车辆载重量等有关,同时也不是所有种类的病害都会影响路网容量。(4)追加考虑以下更加实际的场景:新建道路投资量受到上层规划限制,或将投资结余转移支付给用户以降低其出行成本。(5)考虑引入民间资本参与城市道路的新建与养护,并讨论特许权期问题。