发动机流道气动分析的上下游边界替代降阶模型

张 珺， 李立州， 王沐晨， 路 宽， 原梅妮

(1.太原学院 数学系，太原 030032； 2.中北大学 机电工程学院，太原 030051)

1 引 言

在航空发动机流道中存在多排的叶型、支柱和凸肩等结构。这些结构相互影响，导致某一个流域的流动特性受到其他区域影响，形成上下游干涉问题。

通常上下游干涉问题的分析方法是对整个流道进行数值模拟[1]。然而，这种方法的代价通常十分高昂[2]，尤其是在需要反复迭代的某一个叶片优化设计和可靠性分析过程中，这种数值模拟的计算代价甚至让人对优化设计和可靠性分析失去兴趣。

气动力降阶模型方法ROM(Reduced Order Model)通过简单的数学模型表征线性和非线性气动力系统的主要特性[3]，提高机翼和叶片气动弹性分析[4-12]和形状优化[13-18]的速度，因而近年来得到了广泛的研究。文献[12-14]回顾了气动力降阶模型的相关工作。文献[16,17,19-21]建议用气动力降阶模型部分或完全地代替气动模拟。文献[19]用正交分解法POD讨论了翼型反设计问题。文献[16,17,20]提出了仿真模型与POD降阶模型混合的方法，用仿真模型精确地模拟近壁面的非线性流动，用降阶模型模拟平缓的远场。

本文针对航空发动机上下游干涉的问题，提出了降阶模型与全阶模型耦合的边界替代方法。该方法建立了研究流域与相邻流域交界面的流动特性降阶模型，并将该降阶模型与研究流域的仿真模型耦合，由此将存在上下游干涉的流动模拟转化为单个流域的流动模拟，同时考虑上下游的耦合效应。该方法非常适合航空发动机流道中叶片的优化设计和可靠性分析。

2 上下游边界替代降阶模型

图1给出了上下游边界替代降阶模型方法的主要思想。图1的流道由三排结构组成。对第二排叶片的流域进行分析时，该区域与其上游流域(第一排叶片)的交界面是上游的出口，也是其进口；其与下游流域(第三排叶片)的交界面是下游的进口，也是出口。在对第二排叶片流域进行模拟时，可以建立该流域与上游流域和下游流域交界面的流动特性降阶模型(第一排和第三排对第二排影响的边界代替降阶模型)。根据压力和流量在界面守恒的条件，将该流域的仿真模型和交界面降阶模型耦合，可以建立仅包含该流域的仿真模型，同时可以考虑上下游影响的第二排的流场仿真模型。

用到的界面降阶模型从上下游流域已知的流动分析结果中辨识得到，包含了上下游流域内结构特征对界面流动特性的影响，具体来说，就是界面降阶模型能够在给定的流量下计算出和上下游流域仿真模型相同的界面压力，或者在给定的界面压力下计算出和上下游流域仿真模型相同的界面流量。通过研究流域的仿真模型和降阶模型耦合，就可以表征整个流道的结构特征对研究流域的影响。

需要指出的是，本文的上下游区域是相对于研究对象的。图1中，如果选定第二排叶片所在的流域为研究对象，则第一排叶片的流域是上游，第三排叶片的流域为下游；如果选定第一排叶片所在的流域为研究对象，第二排和第三排叶片的流域一起组成下游。

图1 航空发动机流道模拟边界替代降阶模型Fig.1 Boundary ROM for aeroengine flow passage

采用Volterra级数法建立上述边界替代降阶模型。当然该降阶模型也可以采用POD和神经网络等方法建立。为简单起见，采用二维流动问题详述Volterra级数方法，三维问题可参照施行。

对发动机流道中的任意一个区域进行研究，可以用交界面将该流域与其他区域分开。该研究流域与任意一个相邻流域交界面的压力和流量可以表示为

{p(y,t)}=Ψ{m(y,t)}

(1)

式中Ψ为交界面的流动模型，m(y,t)为界面流量分布，p(y,t)为界面压力分布，y为坐标，t为时间。

根据多输入多输出Volterra级数理论[22，23]，式(1)可以用离散的一阶卷积Volterra级数表示为

(i,j=1,2,…,r) (2)

Bj i的本质是i节点单位流量变化引起j节点压力的脉冲响应，通常从仿真或实验数据中辨识得到[8,10-12]。本文从包含界面Ψ的相邻流域的气动分析结果中辨识得到。由于这些气动分析结果包含了相邻流域内部结构对界面的影响，由此辨识出的Bj i也包含了相应的信息。当降阶模型和研究区域的仿真模型耦合时界面流动特性就包含了所有区域对界面的影响。

如果只考虑静态响应，式(2)可简化为

(i,j=1,2,…,r)(3)

由于式(2,3)只保留了一阶项，忽略了高阶项，因此是一种降阶模型。

对于选定的研究区域，建立仿真模型。用上述方法建立其上下游界面的边界替代降阶模型。将仿真模型与降阶模型耦合，可以建立选定区域的混合模型。这样，在选定区域进行流动分析时，可以大幅减少计算量，非常适合发动机叶片的优化设计和可靠性分析。

3 边界替代降阶模型的算例验证

3.1 算例说明

用图2的算例验证本文方法。整个流域的入口总压为120 kPa，整个流域的出口压力为 101.325 kPa，入口进气角和出口排气角都为0°。研究图2中翼型区域的流场特性。翼型区域和下游扰流柱区域的交界面取在x/Lc=1.42，下游扰流柱间距 0.5Lc。用边界替代降阶模型表征下游扰流柱区域对翼型的影响。模拟采用双精度理想气体、Spallart-Allmaras模型、空气和周期条件。收敛精度 1e -6。

图2 计算域Fig.2 Flow domain

3.2 界面压力与流量关系的降阶模型

以下游扰流柱区域的进口压力和流量的关系建立界面降阶模型。选定下游扰流柱流域进口各点的基准流量通量为190 kg/(m2·s)。对该基准流量下的流动特性进行模拟，流场的速度如图3(a)所示。提取此状态下的进口压力，将该压力作为基准压力(图4中baseline)。

图3 不同位置流量扰动后下游流域的速度分布(部分数据)Fig.3 Velocity of the downstream domain with disturbances at several locations (part of data)

采用逐点扰动进口流量的方法获得不同流量扰动下的进口压力分布。本文流量的扰动量为 -30 kg/(m2·s)，即在扰动点处流量设置为190-30=160 kg/(m2·s)。图3(b～d)给出了流量扰动下的流场速度。图4给出了流量扰动下的进口压力分布。该算例的下游流域仿真模型进口共有100个网格，因此要想完整获得下游流域进口流量和压力的关系需要100组数据。考虑到下游流域具有对称性，因此仅需要25组数据就足够降阶模型辨识。另外，本文针对降阶模型辨识的需要专门进行了仿真，在实际问题中这些数据完全可以从已有的设计过程和试验结果中获得。

图4 不同位置流量扰动后下游流域界面的压力分布(部分数据)

3.3 翼型仿真模型与下游界面降阶模型的耦合

将翼型流域的仿真模型与下游界面降阶模型耦合，形成混合模型。由该混合模型计算界面压力和速度，结果如图5和图6的mixed所示。为了验证本文方法，还给出了翼型和下游流域都采用CFD模型的结果(图5和图6中CFD)，这里简称CFD模型结果。可以看出，混合模型结果和CFD模型结果一致，这说明本文的方法是可行的。

图5 混合模型和CFD模型的界面压力和速度Fig.5 Interface pressures and velocities of the mixed and CFD models

图6 混合模型和CFD模型的翼型区域压力(单位：Pa)Fig.6 Airfoil pressures of the mixed and CFD models (unit:Pa)

4 基于混合模型的翼型优化

用混合模型优化翼型，目标是增大翼型升力。采用Hicks-Henne方法进行翼型参数化[24,25]。本文只对上表面的6个形状参数a1至a6进行了优化，其取值范围为[-0.01,0.01]。采用序列二次规划法SQP作为优化算法。优化共迭代230次，得到的翼型升阻比为0.07186/0.02424。

为了验证本文方法，还给出了采用CFD模型的优化结果。优化时采用完全相同的参数化方法、取值范围、优化目标和优化算法。采用CFD模型也迭代230次，得到翼型升阻比为0.07176/0.02417。

图7和图8比较了采用混合模型和CFD模型优化得到的最优翼型、压力系数和压力分布。结果表明，采用混合模型和CFD模型的优化结果一致。因此，基于边界替代降阶模型法是可行的。

在优化过程中每个混合模型需要13分钟(2970次迭代，0.2626 s/次)收敛，每个CFD模型需要29 min(6262次迭代，0.2779 s/次)收敛，这表明降阶模型提高了计算效率。考虑到在算例中只替代了一个很小的流域，因此单次迭代计算效率提高不明显。如果替代的区域很大，如发动机多级叶片的流域，则效率提升会非常显著。从每个模型收敛所用的迭代次数来看，混合模型比CFD模型收敛速度快。分析可知，混合模型的网格比CFD模型少，因此，消除所有网格计算误差的迭代次数少。

图7 混合模型和CFD模型的优化翼型和压力系数Fig.7 Optimal airfoil and its pressures of the mixed and CFD models

图8 优化翼型的混合模型和CFD的压力云图(单位：Pa)Fig.8 Pressures contour of the optimal airfoil by the mixed and CFD model (unit:Pa)

5 总 结

为了降低航空发动机流道某个区域流动特性分析的计算量，提出了一种边界替代降阶模型方法。该方法用界面将研究区域与上下游区域分开，从上下游区域的模拟结果中辨识出界面的压力和流量关系的边界替代降阶模型，将流域仿真模型与边界替代降阶模型耦合，舍弃了流道内大部分区域的仿真模型，同时保留其对研究区域的影响。

用一排翼型和一排下游扰流柱的例子验证了本文的方法，结果表明,(1) 采用本文方法与完全采用CFD得到的翼型流域的压力和流速完全一致； (2) 采用本文方法将减小计算量； (3) 采用本文方法更容易收敛。总的来说，本文方法可以极大地提高发动机流道气动优化和可靠性分析的效率。