对上海高考数学试题中应用题的探究

201210 华东师范大学张江实验中学 孙建良

数学应用题是数学联系实际生活的具体表现，是数学在现实世界中的应用，是真实的生活问题经过一定数学模型处理而形成的题目形式.复旦大学李大潜教授认为：“应用题主要目的是检验学生能否应用数学知识来解决一些经过简化甚至理想化的‘实际问题’.”[1]《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：“通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神.”[2]由此可见，应用题涉及数学的实际应用，是对学生掌握的数学基础知识、理解问题的能力、分析与解决问题的能力的综合考查，故对学生的要求较高.

近年来，笔者对2000年至2021年上海高考数学试题(全部秋考数学试题和部分春考数学试题)及2022年上海春考数学试题进行统计分析.2000年至2016年，上海实行“三加一”高考模式，高考数学试卷分为理科试卷与文科试卷，理科试卷与文科试卷中有部分题目相同，为了不产生重复，笔者只对理科试卷进行统计分析.从2017年起，上海实施新高考综合改革，高考数学试卷只有一份，不分文科与理科，应届高中毕业生既可以参加春考，也可以参加秋考.因而，对于这一阶段，笔者同时分析秋考与春考数学试题.

一、 高考应用题涉及的类别

表1展示了2000年至2021年上海高考以及2022年上海春考数学试卷(共28套)中应用题的考查内容、对应大类和对试题特点的概括.

表1 2000年至2021年上海高考以及2022年上海春考数学应用题分类统计表

二、 高考应用题的若干特点

(一)高考应用题所涉及的内容

从对28套高考数学试卷的统计来看，2011年的应用题只出现在填空题中，2000年与2009年的应用题同时出现在填空题和解答题中，其余年份的应用题均出现在解答题中.从考查内容来看，试卷中工程建设问题(周长、面积、体积)的出现次数最多，共6次；测量问题其次，为5次；增长率问题名列第三，为4次；其他还涉及路程追及(3次)、农药残留、销售打折、生产利润、广告灯设计、卫生费支出、通勤时间、交通流量、垃圾点设置、共享单车保有量、扇形、知识掌握程度、报刊点设置等问题，共计16类问题.这些题目基本涉及日常生活中的一般问题，都比较贴近学生的生活和认知能力范围，为学生正确理解试题并解决问题提供可能.同时，它们让学生感受到所学的数学知识在实际生活的应用，更进一步培养学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的能力[2].

(二)高考应用题所涉及的数学知识

高考应用题所涉及的知识面较广，基本涵盖高中数学的全部内容.其中，与传统函数(二次函数、三角函数、分段函数、对数函数和指数函数)有关的内容出现10次；与不等式、二次曲线、面积有关的内容均出现6次；与数列、解三角形、矩形有关的内容均出现4次.另外，相关题目还考查了极坐标、百分数、圆、五边形、平均数、圆锥和新定义函数等.值得注意的是，题目中新定义函数出现的次数在逐步增加.这对教师的教与学生的学均提出了新的要求，值得广大师生的重视.

(三)高考应用题所涉及的试题形式

2011年高考的应用题只出现在填空题中，2000年与2009年高考的应用题既有填空题，又有解答题，其余年份的应用题均为解答题，属于中高难度的试题，对学生的要求较高.近年来，上海高考数学卷的总题量为21题，应用题位置相对固定，为第19题.这是一个承上启下的位置，如果能够顺利突破，则对解决最后两道试题有激励作用.从试题的长度来看，应用题题干一般都较长，包括文字、字母和符

号，平均长度约为150个字符左右，题目蕴含的信息量较大，对学生的阅读能力与理解能力均提出了相当高的要求.特别是2019年春考第19题，这道应用题的内容涉及卫生费支出，题目特别长，有近330个字符，而且题中还出现了表格信息，对学生正确理解题意带来了明显的挑战.据当年老师回忆，很多学生在阅读题目时就开始败下阵来，更不用说解决问题了.从试题的呈现形式来看，有的试题通过简单的文字与数学表达式呈现，求解要求明确，结果封闭；有的试题则包含了文字、数学表达式、图像和表格，条件形式多样，求解是一个说理过程，结果半开放.从总体来看，无论哪一类高考应用题，都应该做到长度适中，语言清晰准确.

(四)高考应用题所涉及的解题方法

应用题的解题方法与题目所涉及的数学知识点有关，因题而异有不同的解题方法，虽然没有完全统一的方法，但也有一些规律可循.分类讨论的方法在解题时经常被使用.应用题一般来自现实世界，它的变量要与实际生活相一致，或要有实际意义，所以要特别注意变量的取值范围和实际存在的可能.正因如此，分类讨论就必不可少.还有较多应用题涉及工程造价最节约、方案设计最合理等问题，自然地，在解题过程中需要求函数的最值.限于上海高中学生掌握的知识，目前学生能用于求最值的方法中，常用的有二次函数、三角函数与基本不等式等方法.用二次函数求最值，要注意的是所求最值不一定在顶点处取得，还要考虑函数的顶点是否在闭区间内，对于两个闭区间端点函数值与顶点函数值的大小，不要忘记进行必要的讨论.用三角函数求最值，同样要考虑自变量的取值范围.用基本不等式求最值，一定要注意不等式成立的条件，特别要搞清楚等号成立的条件.

(五)高考应用题所涉及内容与时事热点间的关系

人们都说文学来源于生活，但又高于生活，数学同样如此.例如，2010年举办了上海世界博览会，其主题是“城市让生活更美好”.结合这一热点，当年高考应用题(第21题)出现了一道与制作圆柱形灯笼有关的问题，体现了喜庆祥和的氛围.2017年，共享经济发展如火如荼，当年的高考应用题就出现了共享单车投放问题，说明数学与社会经济的密切关系.为了改善生态环境，促进人与自然的和谐发展，2019年上海开始实行全面的垃圾分类，2020年春考(2020年1月举行)的应用题就设计了与垃圾点设置便利性有关的问题.这对提高学生垃圾分类的意识，促进人类的永续发展大有益处，也是渗透德育的有效途径.

三、 对高考应用题设计的建议

上海高考应用题的设计彰显了数学的工具性和应用性.学生用所学的数学知识去解决实际生活中的问题，体现出数学的实用性；用数学的思想去观察、思考现实世界中的问题，体现数学的严谨性，使问题的处理结果科学精准.总之，高考应用题的编制是优质的，反映了上海基础教育的高质量和教育综合改革的成果，是值得肯定的.同时，细细分析研究，可以发现其中也有值得探讨的空间.

(一)应提高高考应用题所涉条件的清晰性

2021年春考试题的第19题是一道应用题，具体题目如下.

(1)团队在O点西侧、东侧20千米处设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|-|PB|=20千米，可知P在A，B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标.

(2)团队又在南侧、北侧15千米处设有C，D两站点，测量距离发现|QA|-|QB|=30千米，|QC|-|QD|=10千米，求|OQ|(精确到1米)和Q点位置(精确到1米，1°).

这道题分为两个独立的小问，没有总题干，一般情况下，这两个小问应该互不相干，这样一来，小问(2)就无法解答.唯一让这两个小问产生联系的是“团队”二字.但这两个“团队”是否指同一个集体，是否在同一次测量中得到数据，在题中均不是很明确.当年不少考生对此提出了疑问，对同一问题的理解产生歧义，以致影响了部分考生的解答.面对一道题目，如果不同的人阅读后有不同的理解，那么题目的表述方式就值得商榷.从数学的角度来说，这样的题目严谨性有待进一步加强，需要进行修正，使题目的表述更加规范精准.可以对这道题目加一个总题干，在总题干中说明团队进行测量的公共条件，这样就不会使学生产生误解，不会影响学生解题.

(二)应提高高考应用题的实际意义

2004年高考数学试题的应用题如下.

某单位用木料制作如图1所示的框架,框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为8cm2.问x，y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?

图1

所以当x的长为0.023m，y的长为0.028m时，木框的用料最省.

此题的题目本身不长，给出的条件也比较简洁，初看时让人感觉不是一道难题，解决起来比较容易.其实不然，本题有一个条件陷阱：给出的边长单位是m，而面积的单位是cm2.

解题时，首先须统一单位，这样才能求得正确结果.不过从解答结果来看，要制作木框的边长仅为0.023m与0.028m，这在实际生活中很少见，只有在制作微缩作品时才可能出现，但用木材制作，精度也不会太高，用料最省的要求也似乎缺乏实际意义.由此可见，本题虽不能说有错，但立意有些经不起推敲.

四、 高考应用题复习应注意的问题

(一)指导学生读懂弄通题意

应用题一般题目较长，信息量大，要深刻理解，需要认真阅读题目.首先，要整体读题，把题目读通，理解题目的含义，明白这是怎样的一个问题.其次，要详细读题，弄清楚题目给出的条件和求解要求，并将其逐一圈划出来，如果题目较长或给出的条件较多，可以进行编号，以便在解题时充分利用条件，避免产生遗漏.再次，要精准读题，弄清楚每一个名词、概念、定义的含义，分析每一个条件与结论的数学意义.遇到包含一个总题干和若干小问的题目时，要分清楚是总题干给出的条件，还是各小问满足的条件.面对复杂一些的问题，通过多次读题，完整准确地掌握题目的总体概况、具体的条件和所求的结论，为正确解题奠定基础.

(二)指导学生寻找条件之间的关系

应用题给出的条件一般较多，如何梳理题目中的条件、建立各条件之间的关系是正确解题的关键.要注意题目中出现的关键词和重要语句，如数量之间的等量和不等量关系、变量之间的正比例与反比例关系、点线面体之间的位置关系等，它们均是条件与条件之间搭建关系的桥梁.还要善于挖掘题目中的隐含条件和条件之间隐含的关系，找到正确的解题方法与途径，顺利解决问题.

(三)指导学生进行分类归纳

应用题题目繁多、类型各异，对学生来说挑战不小.在进行高考应用题复习时，教师要帮助学生进行分类归纳，如可将题目分为工程建设问题、路程追及问题、增长率问题、测量问题等，对相关题型进行必要的训练，使学生熟练掌握题目分析、条件提取、关系建立和正确解题的方法，并对题目适当变形，举一反三，达到学以致用的效果.这样，当学生遇到新问题时，就能进行必要的分析与转化，会把新的问题转化为相对熟悉的题型，用类比、化归和建模等有效手段解决问题，从而实现解决新问题的目的.

应用题是教师教学与学生学习的一大难点，因为应用题与现实世界紧密相连，涉及的知识种类和解题方法千变万化，没有统一的模式可以套用.应用题的解答是数学基本知识与基本能力的综合应用，对学生的能力要求较高.应用题又是高考数学试题的热点，颇受社会有识之士的关注，所以数学教师和学生要充分重视应用题.从教师教学的角度来看，教师要认真研究应用题的题型，寻找一些适合学生能力要求的方法，对学生进行有效指导.从学生的角度来看，学生要活学活用所学的数学知识，提高发现问题、分析和解决问题的能力.这样，应用题就不再是师生难以攀越的高台，反而成为师生共同进步的阶梯.