基于数学核心素养的中考统计问题分析及教学设计启示
——以南京市近3年中考统计问题为例

2022-11-15 13:06
数学之友 2022年17期
关键词:逻辑推理结论运算

黄 海

(南师附中仙林学校初中部,江苏南京,210000)

1 问题提出

2004年颁发的《教育部关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》中第一次以文件形式提出核心素养这个概念,经过多年数学教育研究和教学实践的结合,统一认为中小学生在数学学习过程中需要形成六大数学核心素养,即:数学运算,数学抽象,逻辑推理,直观想象,数学建模和数据分析.数学建模和数据分析是两种与生活情境最为贴合的能力.用数学方法去解决现实问题,旨在培养学生的实践能力和创新能力.数据分析是研究随机现象的重要数学技术,随机现象本身存在着不确定性,因此数据分析能力是以学生综合能力为基础的,本质上数据分析能力的形成需要以数学运算,数学抽象,逻辑推理,直观想象为基础.《义务教育课程标准》对于数据分析观念有这样的描述:了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,搜集数据,通过分析做出判断;体会数据中蕴含着信息,了解对于统一的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法,通过数据分析体验随机性;一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同,另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律.数据分析是统计的核心.

初中阶段学习的“统计与概率”部分的内容主要针对学生数据分析能力的提升.以南京市初中毕业数学学业评价为例,“统计类问题”一般出现在基础问题类别中,也就是说,数据分析能力是学生需要掌握的基本能力.然而,近几年的教学中,由于“统计类问题”本身随机性强的特点,不少教师发出“不能完全掌握解决‘统计类问题’要领”的无奈感慨,很多情况下无法对症给出合适的结论,抓不住问题分析的主要命脉,“统计类问题”的分析过程以及得出结论部分成为了教学盲点.初中毕业数学学业评价中对学生数据分析能力考查的维度有哪些?针对这些考查维度,教学者应该如何调整“统计类问题”的课堂教学策略?笔者将借助近年来南京市学业水平测试的相关统计问题进行数据分析能力考查的维度分析,针对各维度,提出对应的教学策略建议.

2 基于数学核心素养的中考“统计类问题”分析

初中毕业生数学学业评价考试中,各地区都有“统计类问题”的考查,江苏省十三大市考查的偏重点各不一样,经过对比,南京市“统计类问题”更加注重数学运算与数据分析相结合的方式,这应和了现今教育研究中提升学生数学核心素养的诉求.笔者选取南京市2019年、2021年和2022年“统计类问题”进行四维度(数学运算、数学抽象、直观想象和逻辑推理)分析.

(一)(2019年南京市中考20题)下图是某市连续5天的天气情况.

(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大;

(2)根据下图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论.

问题分析:

1.用不同方式体现数据直观

该问题从现实情境入手,利用图表表征的方式呈现数据信息,并利用横纵的二维表格方式将天气情况和日期进行组合.为了使信息更加清晰,气温项采用折线图的方式呈现.这样的集图和表为一体的多角度、角方向的问题表征方式,能够让学生学会从多方位去认识事物,加深对事物或情境本质的理解.

2.利用方差分析问题,体现了运算和分析的结合

数据分析不能仅仅依靠运算解决问题,运算的结果往往要与分析结合才能获得更有利的结论.该问题的第一问明确让学生从方差的角度去比较日最高气温和日最低气温的波动问题,因此,学生不仅仅要学会计算方差的公式,同时还要从方差的实际意义的角度去分析两者之间的不同,然后得到相对应的结论.

3.逻辑推理能力要求高

数据分析中分析的基础来源于学生自身具备的逻辑推理能力,而逻辑推理可以培养学生思维的严谨性.本题的第二问让学生根据信息写出两个不同类型的结论,结论从哪里来?如果简单粗略地写“5月25日大雨,温差2度,空气质量良”,那么数据分析和逻辑推理过程呢?这仅仅是信息提取.从数学严谨性的角度出发,可以以某一项为背景,分析其中某一项天气情况的发展变化,四个天气情况中,天气现象是情境的主因,那么以天气现象为背景,其他情况作为被动变化因素,可以发现晴天的日温差大于雨天的日温差等等.

4.数据抽象为现实有效的结论

数学抽象指的是通过对数量关系和空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.本题中利用多元表征的数据,要求学生抽象出重要的天气相关结论,引导学生形成对日常生活现象的一般性思考.在此基础上,教学者也可以思考,数据抽象出的日常结论可以有哪些应用?还能抽象化为更一般性的结论吗?

(二)(2021年南京市中考21题)某市在实施居民用水定额管理前,对居民生活用水情况进行了调查.通过简单随机抽样,获得了100个家庭去年的月均用水量数据,将这组数据按从小到大的顺序排列,其中部分数据如表:

序号12…2526…5051…7576…99100月均用水量/t1.31.3…4.54.5…6.46.8…1113…25.628

(1)求这组数据的中位数.已知这组数据的平均数为9.2t,你对它与中位数的差异有什么看法?

(2)为了鼓励节约用水,要确定一个用水量的标准,超出这个标准的部分按1.5倍价格收费.若要使75%的家庭水费支出不受影响,你觉得这个标准应该定为多少?

问题分析:

1.表格呈现数据直观

本题利用表格将月均用水量进行排序,该表格表头的意义以及其顺序性有效地体现了数学直观,学生要从规则中体会数据直观所带来的意义和便利,需要认真观察、分析、研究表格.值得注意的是,表格中的数据只呈现了部分,要求学生具有部分联系整体的能力,才能做出正确的判断并解决问题.

2.运算和分析综合充分体现

本题问题设计充分体现了运算和分析的综合,中位数和数据分布的计算不是运算的难点,难点在于学生如何利用已有的数据合理分析问题,比如,针对第(1)问中如何区别中位数与平均数,教学中教师必须要渗透两者之间的区别,还要让学生感受特殊情境下产生的两者的差异的合理性;第(2)问学生不难想到75%的含义,但如何给出标准需要学生进行合理严密的分析.

3.问题中逻辑推理体现明显

推理是数学的基本思想,也是生活和学习中经常需要使用的思维方式.本问题中,学生需要整合表格中给出的各类信息,凭借经验和直觉,归纳或类比出对应的结论,也就是合情推理的过程.特别是第(2)问中,标准的确定需要学生整合“75%”和“超出标准”两个关键信息,“75%”意味着100×75%=75,即序号75的月均用水量11 t,题设问题中是“超过标准”,即超过11 t,意味着标准定为11 t.而学生的12 t或13 t的答案从逻辑上看并不严谨.

(三)(2022年南京市中考20题)

某企业餐,有A、B两家公司可选择,该企业先连续10个工作日选择A公司,接着连续10个工作日选择B公司,记录送餐用时(单位:min)如下表:

序号12345678910A公司送餐用时26263025272924283025B公司送餐用时20182116343215143515

根据上表数据绘制的折线统计图如图所示:

(1)根据上述信息,请你帮该企业选择合适的公司订餐,并简述理由.

(2)如果某工作日该企业希望送餐用时不超过20 min,应选择哪家公司?请简述理由.

问题分析:

1.统计表后统计图出现必有因

直观想象能力是学生依托图形进行数学思考和想象,本质上是一种基于图形展开想象的思维能力.本题从折线统计图出发,展示了两家公司送餐所使用的时间,折线统计图不仅仅表示出显性的关于送餐时间的表征,同时,折线的趋势和震荡幅度隐性地表征出送餐时间的稳定性.

2.有运算与分析综合的体现

数据分析能力中包含数据和分析两个方面,因此,会用数学的语言表达世界是数据分析能力考查的依托.本题中第(1)问要求学生选择A、B两家公司的一家来长期送餐,需要从整体评估两家公司送餐时间.切入点之一是平均数,值得注意的是,学生要消除平时问题解决时的思维定势,了解不是数据大即是合适.另一个切入点是方差,从送餐稳定性方面考虑问题.

3.不同背景分析下的逻辑推理

逻辑推理是依据已有的情境、条件进行分析、归纳总结,已有的条件是问题分析的出发点.本题中的第(2)问.

3 基于数学核心素养的“统计类问题”教学设计

通过以上的分析,不难发现,南京市初中毕业数学学业评价测试中“统计类问题”对学生数学核心素养的要求较高,各年中考题也都体现着对学生高素养的诉求.因此“统计类问题”的课堂教学需要贯彻数学核心素养.

3.1 关注直观想象表象下隐性知识的提取

显性知识是指教材和问题中明显列出的知识,而隐性知识相对于显性知识,需要综合问题中的多元表征方式来读取.隐性知识包括问题(一)中横、纵向之间的联系、问题(二)表格中隐含的关系、问题(三)统计图未表现出来的趋势和震荡幅度.一般来说,“统计类问题”中隐性知识多以图形或者表格形式出现.相对于文字形式的内隐性,图表形式的内隐性更容易被忽略,对学生直观想象能力的要求更高,因此教学设计中要关注显性知识提取的过程,而隐性知识信息提取的方法和常态化意识更要在教学中重点突出,提升学生的直观想象能力.

3.2 “统计类问题”养成“用数据说话”的习惯

数据分析能力中数据+分析的双重加持才能提升学生的数学核心素养,“统计类问题”是数据分析能力提升的最好载体.初中阶段“统计类问题”的数学运算主要分为两个大方向:样本与总体关系及统计图表之间的数据运算、数据集中趋势及离散程度的数据表示及意义.不难发现,样本估计总体的主要考查方式为数学运算,对于学生数据分析能力的提升比较单一,因此近几年南京考查的次数较少,而平均数、中位数、众数、极差和方差等的考查不仅仅要求学生计算数据的大小,更要求学生从各个量的意义出发,通过比较数据大小来分析合适情境的量.由此,教学设计和教学过程中,教师要始终贯彻“用数据说话”的原则,通过对统计量的计算,采用合适的统计量分析问题得出结论,将数学问题转化为现实结论.

3.3 “统计式”逻辑推理方式

逻辑推理是数学核心素养的最基本素养之一,逻辑推理能力的形成有利于学生的数学学习.“统计类问题”是学生形成数据分析素养的载体,因此该类问题需要其特有的逻辑推理方式.比如:数据式推理,图表式推理,情境式推理.数据式推理,就是利用数据大小、发展趋势等属性分析得出现实问题的结论,比如平均数说明数据的平均水平,方差说明数据的震荡幅度等等;统计类问题离不开统计图和统计表,图表式推理指的是利用图表中的信息,综合图表的各类属性分析得到现实问题的结论,当然,也可以指通过图表、文字等信息形成以图表为表征的现实问题结论;情境式推理,指的是在不同的背景下,数据分析得出的结论不一定相同,比如2022年的第(2)问在条件限制下,得出与第(1)问不同的结论.

3.4 数学抽象形成一般性问题解决方法

数学抽象是数学产生和发展的基础,是形成理性思维的基础.学生积累从具体到抽象的活动经验,以此能更好地理解概念、命题、方法和体系,能逐渐养成思考一般性问题的习惯,也能将这一素养运用到其他学科学习和现实生活中去.“统计类问题”一般以文、图、表为表征方式,综合分析能力要求高,教师在教学中要分问题类型抽象出各类问题对应的一般性问题解决方法.比如针对数据运算类问题,要掌握各类数据或图表之间数据的计算方式,提升数学运算基本技能提升;针对数据分析类问题,要利用数据中计算量的实际意义分析得出结论;针对比较类问题,有理有据的对比是前提,两个对象的同一个统计量的对比可以是量的大小比较也可以是变化趋势等的比较;针对开放性问题,要综合考虑问题给出的条件和背景,全面考虑所在情境,从而分析给出结论.

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