见微知著：微专题教学的实践与思考

陈敏婕

(南京师范大学附属中学邺城路初级中学，江苏南京，210019)

微专题教学是非常重要的一种教学形式，它立足教材又高于教材，教学设计灵活.其核心点在于“专”，落脚点在于“思”.指向学生对数学思想的抽象和应用，优化学生的数学思维，从而提高学生对于经验与方法的运用和迁移的能力，提升数学素养.下面以“函数图象视角下的方程、不等式”微专题教学设计为例，对此进行阐述.

1 教学目标与载体选取

1.1 教学目标

(1)知道函数与方程(组)、不等式(组)的关系.

(2)会用函数的图象，求相应方程(组)、不等式的近似解.

(3)通过两个函数图象解方程(组)的探索活动，感受函数与方程的辩证统一，感受函数图象与方程(组)、不等式的内在联系，体验知识的内在统一性与融合，感受数学在数学内部的应用是推动数学自身发展的动力之一.

1.2 载体选取

一次函数是学生最先接触的一类函数，也是最为熟悉的，它的图象呈直线样态.从一次函数的图象作为切入口，并且贯穿课堂始终，让学生充分感受数形结合思想.

通过问题串，串联各环节的教学组织，给予学生充分的时间和空间、思考与表达、总结与归纳，升华认知，感受三者内在的和谐与统一性.

2 教学过程

2.1 情境创设

图1

问题1：说说你对y=-x+3的认识.

设计意图：引导学生从两个不同的角度看同一个表达式，如果看成变量，它就是一次函数；如果看成未知数，它就是二元一次方程.

师生活动：

生：这是一个一次函数，y随x的增大而减小.

生：把-x移项到左边，可以看成是二元一次方程.

师：两位同学站在不同的角度，都对这个表达式就行了阐述.这里的x、y，如果看成变量，它就是一次函数；如果看成未知数，它就是二元一次方程.请同学们画出函数图象.

2.2 探索活动

问题2：一次函数y=-x+3图象上点的坐标与二元一次方程x+y-3=0的解有什么关系？

设计意图：引导学生发现一次函数与二元一次方程的内在联系，即一次函数图象上点的坐标就是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上.

师生活动：

师：你描的是哪些点？

生：(0，3)，(3，0).

师：一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解有什么关系？

生：一次函数图象上点的坐标就是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上.

问题3：一次函数与一元一次方程有什么关系？

设计意图：引导学生发现一次函数与一元一次方程的内在联系，即当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值.

师生活动：

师：再描一个点，已知它的横坐标是4，你是如何确定它的纵坐标的？

生：直接看图象，纵坐标是-1.

师：很好，同学们还有不同的方法吗？

生：代入函数表达式y=-x+3求解，y=-1.

师：刚才通过两种方式都得到了这个点的纵坐标.反过来，再找一个点，已知它的纵坐标是2，你又能得到什么？

生：这个点的横坐标是1，可以看图，或者代入函数表达式求.

师：当一次函数表达式中一个变量x或y确定时，它就变成了？

生：一元一次方程.

师：你觉得一次函数与一元一次方程有什么关系？

生：一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值.

问题4：一次函数与一元一次不等式有什么关系？

设计意图：引导学生发现一次函数与一元一次不等式的内在联系，即当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围.

师生活动：

师：一次函数除了与方程有着密切联系，从图象中你还能读出不等关系吗？

生：当y>0时，x<3.

师：你是怎么识图的，能分享下经验吗？

生：当y>0时，只要看图象上x轴上方的部分，此时对应的x<3.

师：类似的，请同学们尝试写出三个不同的不等关系.

图2

师：除了读图，你还有不同的方法得到“当y>0时，x<3”吗？

生：可以直接回看一次函数表达式当y>0时，也就是-x+3>0，解这个不等式.

师：你能说说一次函数与一元一次不等式有什么关系？

生：一次函数的表达式，当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围.

问题5：在原坐标系中再画一个函数y=2x的图象，结合刚刚的研究内容，你能提出一个问题吗？

追问1：如何求交点的坐标？

追问2：求关于x的不等式-x+3>2x的解集.

设计意图：引导学生发现两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解.两个函数图象联系起来看，亦能看出不等关系.

师生活动：

师：如何求交点的坐标？

生：直接看图象，交点的坐标是(1，2).

师：你借助于图象的直观性，有同学利用不同的方式得到的吗？

生：通过联立两个函数表达式，解方程组.

师：大家通过两种方式得到了这个交点坐标，由此你有什么发现？

生：两个一次函数图象的交点，就是相应的二元一次方程组的解.

师：还有同学有不同的问题提出吗？

生：求等式-x+3>2x的解集.

生：我有两种方法，第一种直接求解不等式，第二种从图象上看，要满足y1>y2，也就是看图象上交点左边的部分，此时的x<1.

师：通过上面两个问题的研究，你有什么发现？

生：二元一次方程组和一元一次不等式，还可以借助于一次函数的图象直接读出结果.

2.3 拓展延伸

设计意图：引导学生从形的角度发现，两个一次函数图象平行时没有交点，相应的方程组无解.

师生活动：

生：方程组无解，两个函数的图象平行，没有交点，因为它们的k值是一样的.

问题7：求关于x的不等式-x+3>x2+1的解集.

设计意图：引导学生从多角度观察式子，提炼多种解法和思考路径.

师生活动：

师：你有哪些方法解决呢？

生1：画一次函数y=-x+3和二次函数y=x2+1的图象，从图象上看出解集.

生2：把这个不等式移项，整理得x2+x-2<0，画二次函数y=x2+x-2的图象，在x轴下方的图象部分对应x的值就是这个不等式的解集.

师：这个不等式，你想怎么命名？

生：一元二次不等式.

师：关于一元二次不等式，你还联想到什么？你有新的解法吗？

图3

生：我想到了一元二次方程，可以对式子x2+x-2因式分解得(x-1)(x+2)，也就是(x-1)(x+2)<0，再根据异号两数相乘得负，得到这两个因式异号，分类讨论求解.

2.4 小结思考

问题8：通过今天的学习与研究，你对函数、方程、不等式有哪些新的认识？

追问：你还有新的问题提出吗？

设计意图：引导学生从整体上归纳、概括“函数、方程、不等式”的内在关联，进一步体会到通过“读图”常常可以为解决有关方程、不等式的问题提供方便；函数的图象直观，便于从“形”的特征解决方程、不等式的问题；“函数”是函数、方程、不等式三者关系中的主干这些深刻思想.

师生活动：

力争给学生充分的时间和空间，思考与表达，再整合归纳、提炼升华.

3 几点思考

3.1 主题遴选的整体意识

微专题的关键就是要选择有代表性的研究主题，聚焦于一些核心素材，确立合适的教学目标，通过设计有针对性的系列活动，从整体上看待知识之间的内在联系，旨在解决课堂教学中的一些典型问题.本专题正是基于以上考虑，抓住函数、方程、不等式三者之间一脉相承的关系，揭示知识的内在结构体系，实现其整体性和统一性.在教学过程中，突出了方法主线，不断地通过“数”与“形”的双向结合，让学生切身感受“数形结合”思想，以及图象解法的直观性、代数解法的精准性.正如华罗庚先生所言：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，本专题在“数”与“形”方面的整体处理意识，有效地促进了学生对知识方法的融会贯通.

3.2 问题设计的结构连贯

课堂顺利展开的有效纽带是问题，问题驱动的动力在于良好的问题结构，即环环相扣的结构性问题才能有效驱动课堂活动，诚如波利亚所指出的“良好组织的问题能使所提供的素材容易用上”.本微专题正是以8个结构性问题为驱动，由浅入深，逐步递进，体现了思维的连贯性与发展性.在问题的展开过程中，注意课堂中的充分“留白”，给予学生充足的思考时间与空间，启发学生从整体上看待知识间的内在联系，感受和谐统一的本质特征.其中问题1由函数引入，问题2～4分别将函数与方程以及不等式的关系串联起来，问题5通过再次引入一个函数图象，启发学生结合前面的研究经验，自主提出问题，问题6～8则是在内容拓展及深度思考上再加引导.

3.3 思考延展的深度取向

教学生学会思考应成为课堂教学的不懈追求，将知识的构建、方法的形成、能力的发展在学生深度思考的场域内自动生成.陈省身先生曾言：“数学是自己思考的产物.”学生思维素养的提升，主要依靠教师启迪、引导，激起学生自主探究的意识，而后自己及时反思、监控的思考行为.本专题正是基于以上的思考，确立了“教学生学会思考”的教学宗旨，着力为学生搭建深度思考的平台，帮助学生形成系统的知识和一般的数学研究方法.例如在核心问题的追问中，以及一些需要学生反思提问的活动环节中，都有效地激起了学生深度思考的兴致.

毋庸讳言，微专题的教学设计不同于新授课，新授课涵盖的知识点或涉及的思想方法可能并不系统，而微专题恰好可以弥补这方面的缺憾，从整体上把握核心知识及重要方法，起到“见微知著”之效.本文的探索只是个人教学实践中的“拙见”，后续尚有诸多问题有待探讨和完善.