零点存在性定理中的“取点”问题

361000 厦门市海沧区教师进修学校附属学校 陈志康

361026 厦门双十中学海沧附属学校 陈雨瑾

在解决零点存在性问题时，常常需要结合图形来分析，但由于学生没有学习过函数极限，无法分辨一些函数图像在无穷远处或间断点处的性态.如果想要严格说明零点的存在，只能借助零点存在性定理,即若f(x)在[a,b]上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，适当“取点”来说明函数值的正、负.在一些试卷公布的答案中，并没有对如何“取点”进行特别说明，很多学生不能明白其精髓所在.正确“取点”要求具备较高的数学核心素养，以此为抓手提升学生的逻辑推理、数学运算能力正合适不过，如果能解决这些问题，对学生今后学习“极限”这部分的内容也会有所帮助.笔者阐述解决这些问题过程中获得的感悟.

例1(2017全国卷Ⅰ理-21) 已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

小问(1) 分析：可知f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1，结合式子的结构特征，因式分解为f′(x)=(2ex+1)(aex-1)，接下来只需考虑aex-1的符号问题即可得到结果.

注意到f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，00，由于ae2x0>0，只要让(a-2)ex0-x0>0，限定x0<0，由于(a-2)ex0-x0>a-2-x0>-2-x0，令-2-x0≥0，得x0≤-2，于是(a-2)ex0-x0>a>0，所以f(-2)>0.由于01，所以-2∈(-∞，-lna)，符合条件.

事实上，“取点”是经过适当“放缩”计算得出的，常见的不等式如当x>0时，有ex>x>lnx.笔者总结得出以下“取点”技巧.

(1)借助一些常见不等式对超越式放缩，放缩后的不等式容易解出.

(2)不等式放缩的方向要与所需函数值的正负一致，如上述找n的取值需要f(n)>0，对f(n)中一些式子放缩要往“>”的方向进行.

下证充分性(只需在y轴左侧找一点的函数值为负，在y轴右侧找一点的函数值也为负，例如找到x0<0使得g(x0)<0).

图1

例2(2015全国卷Ⅰ文-21) 设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数.(2)略.

图2

图3

方程①的解也可以看作是g(x)=2xe2x-a在[0，+∞)上的零点(扩大定义域)，而当x≥0时，注意到g′(x)=2(2x+1)e2x>0，所以g(x)在[0，+∞)单调递增，g(0)=-a<0，g(a)=2ae2a-a>2a-a>0，所以g(x)=2xe2x-a在[0，+∞)上有唯一零点，问题得到解决.在这个过程中化归思想起了很大的用处，原本函数的端点无法代入，从而无法确定符号，将函数延拓为g(x)=2xe2x-a，使这个问题得到圆满解决.

教学启示：对于“取点”的策略，除了借助不等式放缩以外，还可以归纳得出以下两种方法.

方法1：把含参项消去变为常数项，如上面分析取x=a.

方法2：想要说明存在x0使f(x0)-h(x0)<0，可借助中间量α，说明f(x0)<α,h(x0)>α即可.

(1)略.(2)当a>0时，函数h(x)=f(x)-g(x)恰有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

图4

当找到x0∈(2,+∞)使得h(x0)=0后，并不需要在(0,x1)找另一个零点，原因是该零点与x0有特殊的数量关系，往往在对数函数、反比例函数、正比例函数三者叠加的函数中零点会存在这样的关系.

“取点”的过程是一个不断试错的过程，学生需要经历观察、猜想、计算、证明等思维活动，这些过程能发展学生的数学运算、逻辑推理能力.在教学中，教师要教会学生从数学的本质出发，追求通性通法，有效的解题是有专注的选择和有进展的试错.教师也可以在日常教学过程中强化学生对常见函数增长趋势的认识，让学生走向更高的层次.