新教材中的数学逻辑推理素养研究

刘燕

1 研究背景

2022年的高考刚刚结束，一时间，全国高考数学试卷成为史上最难数学试卷的喊声一片，作为一线高中数学教师，引起教师们思考的是2017年《普通高中数学课程标准》颁布实施，明确提出了高中数学六大核心素养，并且指出：“教材编写要以发展学生数学学科核心素养为宗旨”，“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，“教材各个章节的设计要体现三个关注：关注同一主线内容的逻辑关系，关注不同主线内容之间的逻辑关系，关注不同数学知识所蕴含的通性通法、数学思想．数学内容的展开应循序渐进、螺旋上升，使教材成为一个有机的整体．”2019年人教A版高中数学教材首次进入高中，2022年是第一次使用这套教材的高中生参加高考，这中间是否有着密切联系？基于此，本文试图通过教材中渗透的高中数学逻辑推理素养情况，给出数据分析报告．

2 研究方法

“教材编写应遵循‘教与学的规律，要有利于教师的教，要有利于学生的学”．因此，对高中生数学逻辑推理素养的培养，必须要渗透到高中数学课程的四条主线与各个主题，渗透到每个章节的概念教学、命题教学和例题教学中，真正做到“通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力．”“必修课程为学生发展提供共同基础．是高中毕业的数学学业水平考试的内容要求，也是高考的内容要求．选择性必修课程是供学生选择的课程，也是高考的内容要求．”为方便高中数学逻辑推理核心素养的教材分析研究，本文根据《普通高中数学课程标准》（2017版）划分的必修课程内容范围，从“预备知识”、“函数”、“几何与代数”和“概率与统计”四个主题出发，选择2019年秋季开始使用的高中数学新教材人教A版必修教材（即必修一、必修二）为研究对象，将新教材各个主题涉及“概念”的产生由来、“命题”的推出方式以及“例题”的解题方法所呈现的数学逻辑推理形式进行统计分析．

3 研究数据

高中数学逻辑推理包括合情推理和演绎推理，其中合情推理还分为归纳推理和类比推理．因此，为了研究的更加准确到位，本文重点关注三个维度的数据，第一个维度是教材中通过归纳推理的方式得到的概念、推出的命题，通过归纳推理的方法解答的例题；第二个维度是教材中通过类比推理的方式得到的概念、推出的命题，通过类比推理的方法解答的例题；第三维度是教材中通过演绎推理的方式得到的概念、推出的命题，通过演绎推理的方法解答的例题．并将数据汇总成表格（限于篇幅，略去），同时将各种数据进行统计，得到如下统计表1．表1 四个主题中的概念、命题、例题所涉及的逻辑推理统计

表1比较直观地展现“预备知识”、“函数”、“几何与代数”、“概率与统计”的概念、命题和例题中所蕴含的高中数学逻辑推理的基本情况．

（一）表1数据显示，“预备知识”主题中绝大多数“概念”的提出方式是归纳推理，类比推理第二；“命题”的提出方式以类比推理为主，归纳推理为辅；“例题”的解题方法却是以演绎推理占绝对优势．而从百分比的数据说明，归纳推理的推理形式在“概念”的学习过程中被广泛使用，而类比推理的推理形式在“命题”的提出方面得到一致认同，当然也可以看出，人教A版新教材的编写过程中，普遍采用类比的方法，通过学生已经掌握的性质和定理来推出类似的没有学过的命题，从而应用知识的迁移，很好地解决了学生学习新知识的难点问题；而对于“例题”的解题方法却全部采用了演绎推理，也说明“预备知识”主题的“例题”运用逻辑推理解题过程中，运用演绎推理的解题方法占绝对优势．

（二）表1数据还显示，“函数”主题“概念”的提出方式以归纳推理占绝对优势；“命题”的推出方式却是以归纳推理、类比推理和演绎推理并重的方式呈现；而“例题”的解题方法又是以演绎推理为主，类比推理为辅的方式．另外，从百分比的数据说明，归纳推理确实是“概念”由来的最为重要的推理方式；但是，归纳推理、演绎推理和类比推理在“命题”的推出方式中基本上不相上下；而演绎推理依然是“函数”主题中重要的解题方法，类比推理占据第二位．这些数据也可以说明，“函数”主题中的数学逻辑推理素养得到均衡的发展．

（三）表1数据还显示，“几何与代数”主题中“概念”的提出方式也是以归纳推理为主，类比推理为辅；而“命题”的推出却是以归纳推理方式占据绝对的强势地位；“例题”的解题方法以演绎推理方式占着绝大多数，这应该与“几何与代数”主题證明题所占比例较多有关．从百分比的数据说明，“几何与代数”主题中“命题”的推出方式以归纳推理占绝对优势（94.12%），“例题”的解题方法以演绎推理占主导地位（93.02%），因此，“几何与代数”主题是培养数学逻辑推理核心素养的重要载体．

（四）表1数据还显示，“概率与统计”主题中“概念”的提出是以归纳推理为唯一方式，“命题”的推出方式也是以归纳推理为唯一方式，而“例题”的解题方法却是以演绎推理为唯一方式．从百分比的数据说明，归纳推理是“概率与统计”主题中“概念”和“命题”最佳选项，演绎推理是“例题”解答的唯一方法．细细品位，这样的统计分析结果应该也是理所当然的，是与“概率与统计”主题的内容特征相吻合的．

4 研究结论

4.1 比较分析

将四个主题中涉及到的概念的由来、命题的推出、例题的解题方法所包含的逻辑推理方式的梳理情况进行比较分析，绘制成表2和图1，如下所示：

通过上面图表可以看出两个特点：首先，四个主题在提出“概念”时采用最多的、最主要的数学逻辑推理方式是归纳推理，其使用率远远高于其他两种逻辑推理方式之和，这应该是人教A版新教材的一大特色，这一点应该说与旧教材有着显著的差异．其次，“概念”提出的辅助逻辑推理方式是类比推理，这一点与旧教材中大量采用演绎推理的方式也有着明显的差异．

通过上面图表可以看出：归纳推理也是四个主题中“命题”推出的主要逻辑推理方式，其中“几何与代数”、“概率与统计”中的“命题”以归纳推理推出的方式更是达到绝对优势．当然，也应当注意到，“预备知识”主题的“命题”提出应用类比推理最多，究其原因，分析新教材可以看出，“预备知识”主题中主要知识点是以义务教育阶段的课程内容为基础，类比学生在初中已经学过的数学知识推出高中要学习的新知识，重点突出了知识的迁移性，从而为初高中数学知识衔接做好了知识储备和方法储备．

通过上面图表可以看出：演绎推理在四个主题的“例题”解题方法上占有絕对优势，尤其在“概率与统计”、“预备知识”、“几何与代数”主题中的表现尤为突出，应该说，这个结论与“例题”的解题特性还是相符合的．而“函数”主题中的“例题”同样也以演绎推理为主，但以类比推理为辅．

4.2 主要结论

通过对人教A版新教材中四个主题中所蕴含的数学逻辑推理素养的统计分析，可以得到如下结论：

4.2.1 凸显深度融合

凸显数学逻辑推理核心素养的内容与人教A版高中数学必修新教材的各个主题深度融合．通过上述数据统计分析，数学逻辑推理核心素养的内容渗透在必修教材的四个主题中，四个主题中概念的由来、命题的推出和例题的解题方法都必须使用数学逻辑推理．从这个维度看，这些数据分析也充分体现了人教A版新教材展现出来的一个新的教学理念，即：当进入高中数学学习，就必须立即着手培养学生的数学逻辑推理概念、方法、语言和能力，培养数学逻辑推理核心素养，符合课标中“数学教材为‘教与‘学活动提供学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养重要的教学资源．”达到了“教材编写要以发展学习数学学科核心素养为宗旨”的目的，当然，这也体现了数学逻辑推理核心素养对高中学生全面发展的重要性．2022年全国新高考Ⅰ卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景、全国甲卷文理科第2题以社区环境建设中的“垃圾分类”为背景、全国乙卷文理科第19题以生态环境建设为背景、全国新高考Ⅱ卷第19题以流行疾病调查为背景、全国乙卷理科第4题以嫦娥二号卫星深空探测为背景，都充分体现了多学科、多知识点深度融合的高考命题趋势． 4.2.2 凸显学科特点

凸显人教A版新教材中归纳推理和类比推理的占比明显放大的趋势，回归数学本质．作为一线高中数学教师都可以深切感受到，在原有的高中数学教材中，采用演绎推理方式引入概念和命题是随处可见的，但在教学过程中也可以明显知道，这种引入方式与学生的认知规律是有一定的冲突的，因此，对教师的课堂教学和学生的自主学习带来不少困扰，也导致了不利于教师教学和学生自学的现象．人教A版新教材中，在提出新概念和推出新命题之前，新教材都精心挑选了大量的案例来展现这个新的知识点，揭示知识的产生背景和形成过程，体现数学的创造、发现和发展特点，可以让学生应用归纳推理和类比推理的方式就可以推出这个新概念或新命题．正是这种不同以往的数学新知识、新内容的呈现方式，为学生提供了数学学习和探究的一般方法和有效途径，并以数学知识为载体，渗透着学生缜密思维、严格推理的数学逻辑推理核心素养的培养，纵观2022年的数学高考试题，全国数学新高考Ⅱ卷第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景，全国甲卷理科第8题取材于我国古代科学家沈括的名著《梦溪笔谈》，让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程，也让学生领略中华民族的智慧和数学研究成果，进一步树立民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感，其实都是对数学学科特点的再呈现． 4.2.3 凸显协调发展凸显归纳推理、类比推理和演绎推理协调发展的态势．通过上述数据统计分析，可以发现，新教材中“概念”的提出方式是以归纳推理所占比例最高，类比推理第二，当然也有部分以演绎推理的方式呈现，从而体现出新“概念”的提出方式的层次性；新教材中“命题”的推出方式仍然是以归纳推理所占比例最高，类比推理第二，也有少部分以演绎推理的方式推出，从而体现出新“命题”推出的思想性；“例题”因为本身的特点就是计算题和证明题的类型为主，所以解题方法中演绎推理占据主导地位，部分题目类比推理为辅，归纳推理只有在很少的“例题”中使用，从而体现出“例题”解题方法的思维的缜密性，同样研究2022年数学高考试卷可以发现，数学逻辑推理素养的考查随处可见，可以说归纳推理、类比推理、演绎推理的考查得到了淋漓尽致的展现．

综上所述，数学逻辑推理在人教A版新教材中的内容呈现方式上，出现了数学逻辑推理核心素养的内容与高中数学必修教材的四个主题深度融合的现象，凸显归纳推理、类比推理占比明显放大，归纳推理、类比推理和演绎推理协调发展的良好态势．从这个角度上看，新教材的这种变化其实正体现了新课标的要求，也对一线数学教师的教学方法、教学水平、教学手段、教学设计提出了更新的要求，2022年全国高考数学试卷的难度、命题的角度也对一线数学教师指明了方向，唯有适应新课标、新教材、新高考，迎接新挑战，才能为学生提升数学核心素养，应对高校选拔打开一片新天地．