一道普高特长生招生资格考试作图题的探究

倪建

筆者所在地区的教育局组织了多次中学生申报普高学科特长生招生资格考试．笔者参与了多次阅卷工作，发现数学难度很大，很好的起到了甄选考生的作用，其中一道作图引起了笔者的思考，下面将思考的过程整理如下．

1 试题呈现

如图1，已知圆O，点P为圆O外一点，求作：圆O的切线PA，其中A为切点．

（1）小华给出了如图2的作法，这样做的依据为____

（2）请你给出另外的两种作图方法，写出作法，保留作图痕迹．

2 问题解法探究

这道题得分率非常低，很多学生会第一问，因为这种解法是苏科版教材上的方法，依据为：直径所对的圆周角为直角，然后就无从下手了；也有不少同学画了图，但明显还停留在“试试看”，画出的图看着很像是对的，但所写的作法有明显的问题，

解法1如图3，连接PO，延长至D，使得DO= PO，交圆O于B，C，以O为圆心，以PO的长度为半径作半圆，以D为圆心，以BC的长度为半径画弧，交半圆于E，连接PE，交圆O于A， PA即为所求，

解法分析这种方法有一点“投机取巧”，因为题干当中已经给出了小华的解法，有很大的参考价值，仔细观察图3，相当于图2扩大了一倍，之前用的是以PO为直径作圆，而这里用2PO为直径作圆，之前半径为r，这里以D为圆心，以2r为半径画弧，考生能想到这样解决问题，还是很机智的，用到了位似的知识，

解法2如图4，连接PO，以P为圆心，以PO为半径画弧，以O为圆心，以圆O的直径画弧，交第一条弧于B，连接OB，交圆O于A，连接PA，

解法分析阅卷时，看到这种方法，觉得很好，考生是怎么想到的呢？作图题的解题教学时，总是和学生“先有答案，再有过程”，即先化一个满足结论的草图，然后在分析它所具有的性质，要具有这个性质，怎样作图实现，如图5，P是圆O的切线，试着连一下PO，OA．因为是切线，所以PA⊥OA，∠PAO= 90°，那怎样才能满足∠PAO= 90°呢，联想之前学过的知识点：垂线，高线（等腰三角形“三线合一”），直径所对的圆周角为直角，直角三角形（勾股定理），这幅图熟悉吗？母子型（相似、射影定理）…解法1，感觉是考生灵感迸发，联想到了三线合一，脑子里有图4，有点“天外飞仙”的感觉．这类方法并非本文要探讨的，那怎样解决这个问题呢？解决几何问题，会用分析法进行几何推理，作图题是几何问题的一部分，显然也可以借助几何推理来解决问题，如小华给出的解法，想要∠PAO= 90°，联想直径所对的圆周角是直角，从而解决了问题．

3 反思

尺规作图是初中平面几何中的重要知识，是中考、各类竞赛的热门题型，但很多学生解答此类问题时还停留在“试一试”、“碰运气”的层面上，想着中学范围内有5种基本作图，作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作垂线，作垂直平分线，作角平分线，遇到问题就往上面靠，缺少分析，解决问题的效率极低，层次高点的学生，知道运用几何推理，先画出满足题意得草图，然后分析草图具有的性质，这种方法笔者称之为“先有答案，再有过程”，更高层次的学生需要掌握本文介绍的方法，融入“计算”的作图，它比单纯的几何推理更加精确，如本文做的切线，本来是一个纯几何问题，但通过运用一些定理、计算，转化为作一些已知长短的线段或角度，更具思维含量，使得作图题和其他几何题一样完全可控，而不是碰运气．2021年南京市联合体一模第27题，是一道作图压轴题，它完全契合了本文中提到的融入“计算”的作图，

参考文献

[1]胡小华．尺规作图——过圆外一点作圆的切线方法归纳[J]．数理化解题研究，2019 （35）：31-32