一道多元函数取值范围问题的探究

江西省萍乡中学 (337055) 康艳红 周伟萍

一、试题呈现

这是2022届江西省八所重点中学联考理科16题，该问题兼具创新性、综合性、选拔性，有着深刻的几何背景，很好地考查了学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养.

二、解法初探

评注：本解法通过配方，利用三角代换将问题转化为三角函数问题，并通过辅助角公式解决问题.

评注：本解法通过常数代换对问题进行化归，利用基本不等式解决问题.相比解法一更为快捷.

评注：本解法是解法二的延伸，其出发点是齐次化思想.

三、 命题反思

图1

四、试题再解

五、变式命制

原题内涵丰富，立意高远，在解决本题的过程中，用到了辅助角公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式等基础知识.涉及到换元、齐次化、数形结合、化归等数学思想方法.在平时的教学中，教师应该选好题，有意识地指导学生进行深度学习，通过一题多解、一题多变，挖掘问题的本质，达到“做一题，通一类”的效果，这是提升学生数学核心素养的重要途径.

在弄清本题的命制原理后，我们还可以通过改变条件，改变所求等方式命制相关变式练习.