新课标背景下高中数学建模素养研究

林裕杰

摘 要：新课标环境下，核心素养体系之内，数学建模为关键部分之一。数学建模是指学生能够从数学问题当中抽象出数学模型，应用数学语言或者方法建立模型，计算求解，最终检验结果，将模型不断改进。下文简要论述建模素养培养价值，并从高中数学教学角度论述建模素养提升教学路径，以供参考。

关键词：新课标；高中数学；建模素养

《普通高中数学课程标准》（2017年版）颁布以来，为高中数学新一轮教改指明了方向。数学学科核心素养当中，数学建模素养相关的阐述为“针对现实问题进行抽象，选择数学语言进行表达，应用数学方法建立模型，解决问题”。在高中数学课堂教学方面，重视学生数学素养的培养，能够培养其数学学习兴趣，促进教育改革目标的实现。

一、数学建模的基本内涵

运用数学建模方法能将现实问题通过数学化的形式处理，通过数学语言有效表达问题内容，借助相关数学知识与方法建立问题模型，以此提供正确的问题解决办法。简言之，数学建模能够把数学和现实相结合。有关数学建模，需要经过三个阶段：一是建模阶段，即从数学视角出发找出存在的实际问题，然后利用相应的数学思维合理剖析该问题，以数学语言表达分析问题的最终结果，建立起数学模型，将实际问题有效转换成数学问题；二是求解问题阶段，运用有关数学知识解答问题模型，求解问题结果；三是调试模型阶段，主要指的是改进或调试所构建的数学模型，将依托模型获得的结论对比实际问题结果。总之，有效运用数学建模的方法，一方面有利于增强学生的数学创新意识与应用意识，另一方面能充分调动学生的主动性及积极性，在助力课堂教学质量提升的同时，培养学生数学建模素养。

二、高中数学建模素养渗透的可行性及必要性

（一）可行性

高中学生已经历过形式运算阶段，他们具备能将现实问题抽象成为数学问题的基本能力，并且具备一定的抽象性思维，而这种抽象性思维恰好是进行数学建模的必要技能。同样，这一能力可以为顺利进行数学建模活动奠定基础。另外，数学建模要滿足必要的技术性需求，即学生在数学建模时应以数学思想、数学知识为支撑。由初中阶段进入高中阶段，学生已经了解和掌握了有关几何、函数、概率等知识，特别是在高中阶段进一步加深对以上知识的认知。与此同时，高中学生能灵活运用一些数学思想方法，例如类比、转化以及数形结合思想等。综上所述，高中学生已具备数学建模所需的理论知识、思维方式以及数学思想，因此能为数学建模过程的顺利进行提供支持。

（二）必要性

第一，数学建模的渗透，能够选择学生感兴趣的数学问题创设学习情境，让学生在课堂上经历数学问题抽象过程，经过分析和解决，逐渐提高学生建模能力。第二，数学建模的应用还能促进教师教学理念转变，树立以生为本观念，对于课堂教学模式大胆革新，探索出具有特色的教学路径。第三，在建模教学环节，教师可选择信息技术作为辅助，分析、求解和检验模型，生动呈现建模信息。第四，数学建模的应用下，教师将学生的应用能力作为培养重点，提高其将数学知识转化为解决问题的能力，实现数学素养提升目标[1]。

三、高中数学建模教学现状

（一）未能体现智能计算思维

国内很多高校已开设数学建模及智能计算的专业课程，旨在依托智能技术辅助数学建模问题的处理，从中体现出数学和智能科技之间的有机融合，降低了解决数学建模问题的难度。高中阶段的数学建模教学处在起步阶段，很多教师没有对智能计算思维形成一个系统认识，在建模教学中往往忽视和信息技术之间的融合，智能计算思维的渗透相较有限，一旦问题过于复杂则难以进行建模分析，导致建模教学仅满足于简单的知识层面，这样会影响到数学建模素养的提高。

（二）未能做到全过程数学建模教学

作为核心素养的数学建模已经被归进课标中，但是从实际情况来看高中数学教师与学生仍需进一步适应，具体表现在数学建模教学依旧以应用题为主，这样的解题训练过于封闭，并非全过程的数学建模教学。缺少“建立模型”部分，这样会失去学科融科、思维开放的优势特征，大幅降低建模教学的现实价值；而缺少“检验与改进”部分，不利于发展其数学思维，培养其科学精神。以上存在的问题均会淡化建模素养的培育功能。

四、数学建模主要流程

（一）找出线索，提出问题

有关能否发现问题并提出问题，始终是数学教育领域关注的重中之重。在20世纪我国数学教育领域主要重视“三大能力”的培养，关于“问题解决”能力没有予以应有的重视。但是在新课改持续深入及素质教育推广普及的背景下，解决问题的能力逐渐获得重视。在课堂教学或是制订课程标准中都能优先考虑这一能力。从实际情况来看，我国学生更倾向于处理问题但是这种问题是封闭的，和西方发达国家相比，我国学生提出问题的能力还需进一步增强，作为数学教师需有意识地引导学生积极思考，主动找出并能提出问题。而这也属于数学建模的首要环节，这里提出的“发现问题”需要依附于与之相应的情境中，学生对教学情境、现实场景展开深入思考，而“提出问题”应为抽象的数学问题抑或现实问题。这一环节中起到关键作用的是提出问题，要求其具备一定的思考价值，立足某一问题或系列问题，引发后续的建模活动。

（二）剖析问题，建立模型

剖析问题并非只拘泥在数学领域，学生还要调动现实生活或在其他学科习得的经验，因此在一些情况下存在资料差异。简单来讲，这个环节是“加工”提出的问题，也就是所谓的“问题数学化”，让其彻底成为一个数学问题，但是依旧存在不一样的现实背景，并且内部结构关系体现在数学层面上。有关“再加工”，即通过已了解的数学概念、数学定理、数学性质等让数学问题模型化。借助上述两大环节会达到数学抽象的效果，从问题的现实世界进入数学世界，利用相应的数学方法和规律剖析问题。

（三）明确参数，计算求解

具体来讲这一过程为解决问题的过程，其关键在于确定参数。决定确定参数的是数据丰富性及数据质量，且收集数据为关键的数学建模组成部分。为此，应确保其来源的丰富性，比如封闭性问题需要利用所给出的各类数据；而开放性问题，要利用网络、教材等途径获得。有效运用这些数据将各项模型参数确立，再通过具体的计算解决问题，这样也能看出数据分析、运算与数学建模的关系十分密切。

（四）结果证明，调试模型

最后一个建模流程要求给出最终的问题结果。但在某些情况下，能从上个流程中获得结果抑或给出判断。若是面对的数学问题相较复杂，其中涉及多个方面，那么数学模型所涉及的参数类型各有不同，计算中所采用的数据如果来源单一，很容易因为不符合现实情况而发生结果偏差，出现这样的情况要结合具体情况再进行调整。

五、新课标背景下高中数学建模素养提升教学策略

（一）关注数学建模和课堂教学的融合

在数学教材当中，数学建模内容有几个课时，要实现教学目标，就需要教师关注建模内容思想性研究，组织建模活动期间，既能从教材出发，又能将建模思想贯穿于数学知识体系。

比如：讲授“数列”知识的时候，教师可以选择信用贷款、银行储蓄等类型问题创设建模活动情境；讲授“分段函数”的时候，可以选择“个人所得税”的税率表辅助建模活动的实施；讲述“不等式”和“解析几何”等知識的时候，教师也可对学生加以指导，辅助其研究教材数学知识相关的问题，从中寻找数学模型。

因为教材中的内容呈现的是相对简单的数学模型，和真实建模活动之间存在差异，教材内部提问题的目标明确、结构简单，但是数学建模问题大多结构无规律、条件模糊，所以，需要教师在教学期间，注意对教材问题的拓展。如“教育储蓄”问题的讲解，其本质属于“零存整取”定期储蓄形式，当问题的结构明确时，已知条件大多会给出“月存款数额”“利率”“存款时间”“本金”和“利息”等条件当中的几个，要求学生求解，此类问题开放性较小，对于高中生来讲难度不高，教师在组织建模活动的时候，可以适当对其进行拓展，将知识背景提供给学生，要求其利用网络搜索与问题相关信息，通过小组合作方式制订回报率最高投资方案。在活动过程中，引入函数模型，带领学生学习函数概念，用生活实例作为建模背景，将函数图表之间的关系抽象出来，体会函数和变量之间的对应关系，对比指数函数、对数函数之间的异同，结合记忆函数概念，抽象出函数模型，提高学生建模能力。通过以上教学流程，将建模活动和日常教学相互融合，潜移默化影响学生思维，为其建模素养提升奠定基础[2]。例如：某艘载货油轮在沿直线返回某城市港口的行程中，收到地方气象台公布的台风预报信息：“某号台风中心在轮船正东方向70千米处，预测本次台风所影响的范围是半径为30千米的圆形区域。”已知港口位于台风正南方的40千米处，这艘油轮若在航线不变的情况下，试问其能否遭受台风影响？学生在解决这道问题的时候，教师可以引导其通过建立不同的数学模型解决。模型1：首先将方程变为一般式并求出圆心与半径；通过点至直线的距离公式，求出直线到圆心距离；对比和的大小。模型2：将圆和直线方程联立；利用消元法得到一元二次方程；求出判别式的值并与0比较大小。

（二）组织探究互动，引领学生探究学习

高中阶段与建模有关的知识内容包括函数、概率、几何等，需要学生综合运用以往学习的函数和方程知识，对数学知识进行梳理，使之形成完整体系，才能内化吸收，建立数学模型。在生活当中，和概率模型相关的情境相对较多，比如：有奖促销、成绩评价、词汇量估计等内容，都需要学生利用数学的问题，建立概率模型才可求解；几何空间和数量之间联系密不可分，学生可以利用数形结合方式，分析题意、解决问题，在建模阶段，应用代数与几何工具，让问题更加清晰。在数学课堂教学环节，教师可以选择生活化问题，组织学生研究学习，发散思维、相互讨论、建立模型。

例如：“同种商品不同型号存在的价格差异”问题讲解，教师就可以从生活当中的饮料、牙膏等商品价格差异角度出发，创设情境，要求学生思考“商品重量不同价格不同生活现象”，随之抛出问题，“同学们知道商品价格如何确定？”“定价过程存在哪些规律？”“同型号商品定价该如何计算？”“日常生活怎样挑选商品最划算？”用生活化问题，引发学生学习兴趣，随后，教师用多媒体展示不同商品价格信息：

商品质量规格有三种，分别为：40克、120克、165克；定价分别为：3.70元、9.30元、12.60元。

商品质量规格有三种，分别为：200克、400克和750克；定价分别为：18.50元、32.00元、60.50元。

商品质量规格有三种，分别为：50克、90克、135克；定价分别为：3.10元、5.10元、6.80元。

教师指导学生观察，提出思考问题，“同学们能否分析商品价格、质量之间存在的关联？”“同学们是否能够通过建立模型解决？”培养学生发现问题和提出问题的能力，为后续模型建立奠定基础。为了辅助学生顺利建立模型，在教学过程中，教师还可将函数拟合这一思想引入，借助函数工具拟合数据，通过观察变量数据，建立分析模型。选择商品信息，要求学生观察，依据条件，利用坐标描述商品信息，最终展示成果。小组合作过程当中，学生可以顺利画出图形，经过观察发现，“商品质量增加，价格也随之提升”，顺利联想到一次函数，假设商品质量是，价格是，即可建立模型，取两组数据，代入关系式，将与的数值求解出来，最终得到函数，尝试运用函数模型求解165g的商品定价，培养学生应用模型解决数学问题的能力。

（三）应用阶梯式教学辅助建模过程

学生的模型素养的形成不能一蹴而就，在教学过程中，教师应该根据学生能力和认知规律，设置阶梯式教学模式，循序渐进渗透建模知识，提高其模型素养。阶梯式建模流程如下：

第1阶段：为了让学生体会到数学与生活之间的密切关联，教师可以展示“动植物”分形艺术图片，让学生在艺术作品当中体会斐波那契数列特点，激发其学习兴趣，感受数学模型在生活当中的应用。在此基础上，还可循序渐进渗透经营管理、投资、几何模型等建模知识，辅助学生对数学模型形成初步感知[3]。

第2阶段：当学生初步掌握常见的数学模型后，教师可以选择论文案例，组织学生阅读，利用阅读材料，让学生感受建模思想，体会问题向模型转化过程，从阅读内容当中提炼数学方法。阅读过程中，学生可以动手操作、自主查找信息，提高自学能力，形成建模思维。

第3阶段：教师可以选择简单的数学应用题，要求学生根据问题，从中寻找数学工具解决，典型的包括“打包问题”和“名额分配”问题，将数学模型数字化，让学生学会利用数字结果检验模型。

第4阶段：经过以上流程的训练，学生能够关注日常生活，从中发现数学问题，在教师的指导下，应用数学知识解决相对复杂的模型问题，形成模型素养。

（四）创设合适的教学情境

从某种角度来讲，理论知识的传授是变相引导学生建立相应的数学模型。处在当前新课改的环境中，教师要认识到“学生属于发展中的人”，那么在具体授课环节有必要注意引导学生发散思维，最好不要把解题方法向学生直接讲授，而引导其在具体的实践探索过程中摸索解题策略，在这一过程中学生便会完成对数学模型的构建，同时也在处理这道问题时会利用此模型。数学教师则要为学生创设合适的教学情境，辅助学生进一步体现数学模型的现实意义。

例如：我市某企业打算修筑一个花坛，而且在花坛中间留出一个近似平行四边形的草地，已知、兩点间距离是8米，并以、两点间线段作为对角线，已知草坪周长是32米，需解决的问题如下：首先，怎样设计能使保留的草坪面积达到最大；其次，如果草坪中留出的小路经点，而且小路和对角线夹角是/3，现在要对这条小路重新修建，请你计算出需重修小路的长度。引导学生对问题做如下分析：假设和两点所在的直线的坐标系是轴，线段中点原点，由此可得绝对值为8，直线和椭圆的交点是点和，题中平行四边形周长是32米，那么问题（1）需要求出图形面积的最大值；问题（2）则是求解绝对值。

问题（1）：由题意可得绝对值+绝对值=绝对值+绝对值=6，图形顶点因为在椭圆上，那么为5，为4，据椭圆标准方程能得出为3，这个椭圆的方程为。点如何处在椭圆顶点，那么点的坐标是（0，3），即图形面积达到最大为24。

问题（2）：假设过点的直线是，因为其坐标是（-4，0），所以直线斜率为，由此可得直线方程为，然后联立方程与，因为的绝对值为，依据弦长公式可得约等于7.14，即重修小路的长度是7.14米。

在学生建模解决问题的过程中，教师应树立角色转变意识，由以往的“传授者”转变为“推进者”，课堂教学环节灵活采用数学建模的教学方法、多媒体教学技术等，做好点拨和引导工作，辅助小组交流讨论，掌握建模方法。

（五）有效运用计算机信息技术

以“指数函数”的相关课题为例，教师以往选择白板、PPT、教材的形式讲授知识，在必要时会在白板上作图，一旦涉及的数据较多较大，则不方便使用白板作图进行模型验证。为此，教师可以引入Excel软件辅助构建数学模型。

例如，某地区未成年男性平均体重数据如下：身高（cm）为70、80、90、100、110、120、130、140、150、160、170的体重（kg）顺次为7.90、9.99、12.15、15.20、17.50、20.29、26.86、31.11、38.85、47.25、55.05。依据体重高出相同身高男性平均数值的1.2倍则判定为偏胖，如果小于0.8倍则判定为偏瘦的标准，判断这一组男性的体重数据是否正常？

首先，假设模型。通过Excel中散点图，观察到身高—体重的关系呈现上升趋势，将各个散点相连得到平滑的一条曲线，通过观察这些数据点在图中的分布，发现这条曲线近似于函数的图形，利用此函数模型分析体重与身高的关系。

其次，构建模型。将表格中的数据（70，7.90）和（160，47.25）代入到方程得出，，借助软件中的计算器得出结果，。通过该结果构建的数学模型为。

最后，验证模型。把问题中已知的身高数据带入到已建立的数学模型中，若是获得体征数据和提供的表格数据近似，表明建立的是合理的模型，即能够说明题中身高与题中的具体情况。学生在此模型中计算男性175cm的体重：约等于60.29，因为76/62.29约等于1.26大于1.2，所以这个未成年男性的体重偏胖。

六、提高高中数学建模素养培养水平的建议

（一）依托互联网络打造学习社区

进入“互联网+”时代，怎样将信息技术转换成促进数学建模素养渗透的新鲜血液，是数学教师要认真考虑的一个问题。由于数学建模本就处在创新、发展与完善的过程中，建立有关数学建模的研究平台十分重要。为此，建议数学教师利用以下渠道构建讨论平台，助力数学建模素养的培养。一是构建网络化的数学建模平台。例如：建立学校网站，以年级或班级为单位建立该网站，学生和教师能在网站平台上分享个人的研究成果，分享和数学建模相关的学习方法与经验。旨在将自己掌握的数学建模成功向其他人分享，达到取长补短的学习效果。二是通过QQ、微信等社交软件打造学习群，由此作为宣传数学建模活动的平台。在学习群中发布和数学建模相关的问题与实例，也能分享与之相关的学习资料等，这样学生即使没有教师授课，也能在群中获得相应的基础知识。

（二）优化数学建模教学环境

通过开展数学建模活动虽然有助于培养学生的数学建模素质，可是高中阶段课程学习时间紧、学习任务重，加之面对巨大的高考压力，只得缩减有关数学建模活动考核的占比。面对这样的现实情况，教师单方推进数学建模活动的难度较大，需要学校在教学条件、时间安排方面予以一定支持，让教师拥有充足精力去组织数学建模活动，指导学生利用相应的计算机软件完成建模。此外，学校也可以定期举办数学建模大赛，这不乏为培养学生建模素养的关键途径之一，还是增强其创新能力的核心手段。学生在竞赛中，在规定时间内通过学习的数学知识，用掌握的数学思维方法分析、解决问题，在此过程中学生会挣脱定式的解题思维，发挥个人或团队的创造力、合作力。

结束语

综上分析，新课标下，高中数学课堂建模素养教育策略的选择是课程改革的要求，也是提高学生能力的现实需求，因此，数学教师需要注重数学建模、课堂教学之间的融合，组织学生参与建模活动，通过探究活动方式学习，应用阶梯式教学，循序渐进完成建模过程，实现学生建模素养的提升目标。

参考文献

[1]时俊.新课标背景下高中数学建模素养探究[J].科学咨询（科技·管理），2022（4）：197-199.

[2]田锟.高中数学建模教学的意义及策略[J].教育科学论坛，2022（16）：56-58.

[3]刘梦丽.新高考背景下的高中数学建模教学研究[D].重庆：西南大学，2021.