探索性思维在高等数学习题教学中的应用*

陈 颖 张卷美 孙 莹

北京电子科技学院，北京市 100070

1 高等数学传统习题教学的短板

学会使用数量化的观点和工具去处理问题是一个合格大学毕业生的基本要求。 因此，很多高校都开设了高等数学课程，目的就是加强学生数学能力的训练和培养。 但是由于长期应试教育的结果，进入高校的大学生多数难以适应由初等数学到高等数学的思维转变。 面对繁琐严谨的证明和呆板枯燥的计算，缺乏学习的热情和有效的方法，学习中难免屡屡感到挫败，这些负面的心理障碍不同程度的干扰和制约着整个课堂教学效果［1］。 传统的数学习题教学方法也一直提倡题海式的重复训练，把对数学能力的培养看成是一种技能的培养。 在学生看来，就是依葫芦画瓢般的模仿，导致其死记硬背并疲于演算。 显然，这种学习方式达不到对高等数学的理解和掌握，学生也很难从中得到收获与快乐，无疑是当下填鸭式教育的困境写照［2］。

2 探索性思维在高等数学习题教学中的作用

我们认为，数学的思想方法才是整个数学的灵魂所在，墨守成规的习题教学，只会带来学生知识体系的僵化和思维能力的低下。 数学学习不仅仅是学知识本身，更是要学会探索知识发生的由来，敢于思考，勤于思考，善于思考，掌握在特定情境中去发现问题，并设计解决问题方案的本领，从而养成自主探索和创新的意识与习惯。所谓探索性思维，指的是对未知问题或规律寻求认知的过程，是一个多环节、多层次的思维架构。数学的研究对象是抽象的关系量化模式，该模式的逻辑结构与人脑的思维紧密相连，我们对周围世界的认识过程，从感觉、知觉到表象，都是对周围客观世界和客观事物的个别属性、整体以及外部联系的反映。 另一方面，还取决于熟悉的程度，这些需要被感知的对象并非是我们一接触就可以直接获取相关体验的，这就需要我们以一定的知识储备为基础，通过熟知的途径间接地去感知，这就是思维的一般前提。 因此，理解和掌握数学的思想方法要远远的比掌握具体的题目重要得多，在教学的过程中，更应提倡把渗透数学思想方法的教育摆在首位，强化知识的来龙去脉和思维过程，淡化冗长繁琐的技巧训练［3，4，5］。

高等数学习题教学的本质，应该是以习题为载体，创设一种类似于科学研究的场景，让学生通过自己收集、分析和处理手上掌握的信息来实际体验解决问题的过程，这个教学活动不仅仅是单一的知识输入和传递，它还要强调学生的感受和反馈。 可见，探索性思维与高等数学习题教学的本质是不谋而合的。 但很多高校教师并未重视到这一点，习题教学满足于技巧的展示，方法的总结，而不是授之以渔。 一个常见的课堂现象就是，教师在课堂上进行习题讲解时，尽管也声情并茂，总结到位，可教学氛围始终死气沉沉，学生缺少互动，不愿参与讨论问题。 究其原因，教师过于专注个人感受，忽略了对学生探索性思维的培养，与学生的实际需求脱节，学生觉得学不到对自己有用的东西，找不到学习的参与感与归属感［6，7］。 因此，教师首先得训练自己的探索性思维，吃透要讲授的习题，最好能把它呈现给学生时，能讲清楚为什么要解决它分成这几个步骤？ 为什么具体的步骤中采用这样的描述方法和处理手段？ 多讲讲这些“为什么”后面所蕴含的道理，在厘清这些“为什么”的过程中，实际上就是引领学生进行一次数学思维的探索历程，养成了这样的思维习惯，学生自然就会觉得有所收获。

3 探索性思维在高等数学习题教学中的应用研究

教学活动包括教师和学生的互动，因此探索性思维也包括教师和学生两方面的因素。 教师的探索，集中体现在如何围绕讲授内容取得最佳的教学效果上而开展的思维活动。 面对同一道习题，不同的学生可能会有不同的想法，要在课堂的有限时间内进行教学，教师事先必然要揣测学生的不同反应，有针对的合理引导。 在讲授的过程中，使用何种教学方式，塑造何种教学情境，培养何种学习能力，如何启发学生寻找解题突破口，如何激励学生克服解题难点，都需要教师做到成竹在胸。 教师准备得越充分，对习题教学的探索性思维把握得越是科学，则课堂习题教学各种矛盾的解决也就越顺利，收到的教学效果就越好。 学生的探索，更多的则是对解题的探索。 题目千变万化，拿到一道题，我们要怎么对待它。学生探索性思维活动是每一个学生必然开展的活动，每个学生都有各自的特点，由于个体差异，学生学习态度的不同、兴趣情绪的不同、思考习惯的不同、认知能力的不同，都可能造成对教师授课内容接受的不同，但共性也是存在的，也是有迹可循的，这也是教师在习题教学中要牢牢把握的重点。 学生的探索性思维活动，越是积极认真，则课堂纪律越好，与教师的教学思维活动便越是接近同步，学习的效果就越好［8，9］。

下面，我们以一道关于极限的证明题来实例分析讨论，如何在课堂习题的教学上与学生展开探索性思维的互动。 即要证明：

第一步，教师引导学生回忆数列极限的“ε-N”语言：设｛an｝ 是一个数列，a是一个有限数，若对任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n ＞N时，总有

成立，则称数列｛an｝ 收敛于a，或｛an｝以a为极限，记作

第二步，对“ε-N”语言进一步解读：an趋近极限a，意味着在n→∞的过程中，当n变化到某个程度的时候，即

其后所有的an和a之间的距离足够的小，即

第三步，反解不等式：即对任意给定的正数ε，求解不等式

处理分母“ 3n2-n-7”，因为它的正负会在移项的时候决定不等式的符号是否改变，如果不作任何处理，左边的不等式等价于

而右边的不等式等价于

需要联立求解这四个不等式方程组。

第四步，引导学生不要暴力求解不等式，尝试化简：注意到当n≥2 时，3n2-n-7＞0，在n→∞的过程中，3n2-n-7＜0 仅对应有限的几项，故以上四个不等式方程组可以简化为如下的形式

现在还是避免不了去求解一个看上去显然有些繁琐的一元二次方程组，再次引导学生去思索为什么会觉得解不等式繁琐。 经过大家的讨论，都明确了其主要原因就是要求解的不等式形式复杂。 如果一开始要反解的不等式不是

而是其它形式上更为简单的不等式，应该就可以避免这个麻烦。 回到原来的出发点，显然，要得到更为简单的不等式可以把原来的不等式左边进行放大，在放大的过程中同时化简，注意到

分式要放大无非是分子变大和分母变小两种途径。 分母“ 3（3n2-n-7） ”，直接变小的方法是

这时启发学生“既然要变小是否还可以更小呢？”，显然当n≥4 时，

此时有

分母直接变为了只有一项“ 2n2”。 这个缩小的过程，是和学生互动讨论的结果，自然也激发了他们的学习兴趣，有些学生甚至会发言提问：你把分母先化简为“ 3n2-n-7”，为什么最后还要化简为“ 2n2”呢？ 要说简单吧，“n2”或者“n”不是比“ 2n2”更简单吗？ 此时，教师第一时间肯定学生的发现，给出鼓励，并让学生暂时不要太着急，回过头来再讨论他提出的这个问题。 下面要处理分子的放大了，显然当n ＞7 时，

n ＋7＜2n

此时有

这个形式简单明了，直接反解不等式

得证。 到这里，刚才提问的学生自然就发现了为什么分母要缩小到“ 2n2”的理由：如果缩小到“n”，缩得太小，分子和分母的变量“n”都约去了，根本就无从谈求解不等式了；如果缩小到“n2”，分母会多个系数“2”，当然这不算错，但我们能化简的情况下何必再多去做无用功呢？

第五步，鼓励学生写出完整证明，并上讲台板书：即对任意给定的正数ε，

回顾整个习题教学过程，第一步、第二步是对概念的解读，为解题做知识储备和方向指引；第三步、第四步是整个探索性思维的重点，尤其是这三步之间一步到另一步的转化，都是围绕着化简进行，而教师创设的解题困境也是在逐步的化简过程中带着学生一块“柳暗花明又一村”；第五步看似多余，其实也很重要，毕竟思路和想法都是脑子里的东西，要形成一个可读的证明，必要的语言文字归纳能力可以在这一步得到锻炼。 实践证明，采取类似的探索性思维习题教学，学生往往参与度高，讨论热烈，举一反三，与以往单纯说教，学生仅是一个无心听众的的习题教学效果相比，形成鲜明的反差。

4 结语

高等数学的习题教学其实并不简单，教学行为上，知行合一，逐步推进；教学程序上，以培养能力为中心，明确重点难点，预设困境，循循善诱，引导学生突破得当；教学内容上化繁为简，让学生易于理解，乐于接受。 高等数学教学承载着传授素质教育之重任，而素质教育的重点就是要培养学生的能动性和创造性，习题教学更是实现这个目标的途径之一。 我们在探索性思维上进行了一些有益尝试，但是我们也应该看到，任何教学方法要形成自身完整的教学理念，这是一个艰巨而漫长的过程，要走的路还很长，还需要教师不断学习研究，不断开拓进取，不断奋斗追求，才能创设出简约而不简单的习题教学效果，这也是我们今后努力的方向。