含参数函数的零点个数问题的多角度思考

广东省中山市中山纪念中学(528454) 李文东

函数的零点问题是高考中的热点和难点问题,这类问题通常会出现在选择题和填空题的压轴题以及解答题的导数题中.解决此类问题的常见数学思想方法有分类讨论、分离参数、数形结合、换元等,可以综合考察学生对于函数的理解能力和应用能力,发展学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算和直观想象等核心素养.下面我们以含有参数的函数的零点个数问题为例,展示此类问题的求解思路.

策略1: 分类讨论

例1设函数若函数f(x)的图像与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.

分析由于函数f(x)为常见的三次函数,因此可以讨论f(x)的单调性,借助三次函数的图像来求解.

解由题意f′(x)=x2-2x+a,其判别式Δ=4-4a.

①当Δ ≤0,即a≥1 时,f′(x)≥0 在R 上恒成立,故f(x)在R 上单调递增,因为f(0)=-a ＜0,f(3)=2a ＞0,所以函数f(x)的图像与x轴有且只有一个交点;

②当Δ＞0,即a ＜1 时,f′(x)=0 有两个不等的实根,设为x1,x2(x1＜x2),则x1+x2=2,x1·x2=a.且当x ＜x1时,f′(x)＞0,函数f(x)在(-∞,x1)上单调递增,当x1＜x ＜x2时,f′(x)＜0,函数f(x)在(x1,x2)上单调递减,当x ＞x2时,f′(x)＞0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递增.因为x21-2x1+a=0,由多项式除法可得

令f(x1)f(x2)＞0, 解得a ＞0, 又当0＜ a ＜1 时,f(0)=-a ＜0,f(3)=2a ＞0, 故函数f(x)的图像与x轴有且只有一个交点.

综上所述,a的取值范围为(0,+∞).

点评借助多项式除法实现了降次(三次降为一次),从而极大的简化了f(x1)f(x2)的运算.对于a ＜1 的情形,其实也可以采用如下直接计算的方法:

可以看到,直接解出x1,x2然后代入化简其运算也比较容易求解,而且这种解法比较自然,只是运算稍显复杂!

策略2: 分离参数

例2已知函数f(x)=(x-2)ex-ax+alnx,讨论函数f(x)的零点个数.

点评分离参数是解决函数零点个数问题的重要方法,它可以避免复杂的分类讨论,分离后需要注意新函数的定义域,特别是注意函数是否有渐近线.

策略3: 数形结合

图1

解法2当a=0 时,显然方程f(x)=0 无解;

综上,当a ∈[0,e)时,方程f(x)=0 无解;当a ＜0 或a=e 时,方程f(x)=0 有唯一解;当a ＞e 时方程f(x)=0有两解.

点评将函数适当等价变形,从而将一个函数的零点个数问题转化为两曲线的交点的个数问题也是解决此类问题的重要方法(分离参数是该法的特例),而且可以尝试从不同的角度去进行变换(一般是化为直线和曲线或者两凹凸性相反的曲线的交点个数问题).

策略4: 同构

例4函数f(x)=xex -2x+1, 讨论函数g(x)=f(x)-lnx+x-m的零点个数.

解g(x)=f(x)-lnx+x-m=xex-x-lnx+1-m,设xex=t,则x+lnx=lnt,函数g(x)的零点的个数等价于m=t-lnt+1 的解的个数, 令h(t)=t-lnt+1, 则故h(t)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增且h(1)=2,结合函数h(t)的图像可知: 当m ＜2 时,g(x)没有零点;当m=2 时,g(x)有1 个零点;当m ＞2 时,g(x)有2 个零点.

点评由于x=logaax和x=alogax(a ＞0 且a≠1),因此指数和对数之间往往可以相互转化,通过适当的变形同构,可以很方便的解决一些同时含有指对数函数的零点问题.

策略5: 换元法

例5已知函数f(x)=ax2-x-ln(ax),(a≠0,a ∈R),讨论函数f(x)的零点个数.

作出函数g(t)的图像(如图2), 由此可见,当a ＜0 或a=1 时,方程无解, 当0＜a ＜1 或a ＞1 时, 方程有唯一解.

图2

综上,当a ＜0 或a=1 时,函数f(x)有个1 零点,当0＜a ＜1或a ＞1 时, 函数f(x)有两个零点.

点评上述解法非常巧妙, 不过其中用到了高中课本没有的知识洛必达法则, 为了避免这一点, 也可以将方程变形为借助直线y=a(t-1)和函数的图像也很容易看清楚两者交点的个数,从而得到函数f(x)的零点的个数情况,读者可以一试! 对于复合函数的零点问题,可以考虑采用换元简化此类问题!

以上是求解函数零点个数问题的一些常见解题策略,一般来说,分类讨论是通法,但是往往比较复杂,分离参数和分离函数也是常用的方法,而同构和变换则在解决一些特殊的零点问题时能起到简化作用,具体采用哪种方法,要根据函数的特征来决定.