论希尔伯特公理化方法的哲学意义

2022-10-31 15:33钱立卿

哲学分析 2022年4期

钱立卿

一、引论：基础科学中的哲学争论及其“外部解决”

自科学革命时期以降，人类所建立的各种科学知识体系不仅可以成为反思过往两千年里许多经典哲学问题的参照系，也可以成为理解同时代哲学问题的视角。人们逐渐发现，曾经归于认识论和自然哲学的一些经典问题不再是传统哲学的专属内容了；反之，单靠哲学思辨解决不了的问题也未尝不可借助基础科学的发现来重新思考和定义，甚至是在新的意义上“解决”这些问题。

当然，哲学问题很难被轻易“解决”，更不用说以哲学之外的途径来解决。事实上，基础科学的理论本身也并不能直接解决哲学问题，它们的首要贡献往往在于给出了思辨史上从未见过也从未想象过的实例。这些实例揭示了某些“显而易见”的东西，专业的哲学研究者只要能够看懂这些新东西，再由此出发达到“纯哲学”的新理解几乎只是一步之遥。新理解未必可以一劳永逸地结束整个哲学疑难，但它完全有可能在开辟一条新的途径的同时终结相关的传统思维架构。

能够对哲学理解构成实质性影响的科学史案例，大多反映出人类用来理解世界的思想整体架构中发生的重大变革。哲学史上著名的例子有康德对质量守恒原理的先验阐释、胡塞尔对伽利略工作的现象学分析，等等。前者涉及实体、因果性等基本哲学观念的重新理解，后者则是关于观念化和历史性论题的经典研究。此外，在科学史上特别重要的情形还包括现代物理学中出现的“场”“流形”等概念所蕴涵的更深刻的空间概念，由数学分析学的建立带来的对极限和无穷等概念的全新理解，等等。这些科学成就的共同点在于，它们不是出于单纯“科学”的疑问，也不只具有“科学”的意义；它们的确立本身就包含着对传统哲学问题的全新理解进路。

二、弗雷格与希尔伯特关于几何学基础的争议

20世纪初，弗雷格和希尔伯特关于几何学基础的争论以及后续的发展，也可以视为上述实例之一。双方的争执是围绕希尔伯特1899年发表的《几何基础》第一版的基本主张来展开的。从哲学的角度来说，这场论战的焦点有二：第一，几何学是否如康德所言是。第二，如何理解一个语句的“真”以及更一般的的主张。后一点又可以进一步展开为两个疑问：第一，命题的真究竟建立在单个语句的语义之上还是取决于整个语句系统背后的总体语法结构？第二，什么是“理解”一个数学命题？

第一个焦点问题的背景是19世纪数学史上多次出现的对《纯粹理性批判》的正面质疑。希尔伯特也不例外，他反对克莱因的看法，从而走上了反康德主义的路线，主张从公理化几何学中去除直观因素的影响。但弗雷格认为，直观因素尽管在定理证明中不需要，但在公理的设定中是必要的，否则系统将成为一个空洞的纯形式架构，也不再是一个“几何学”理论。

在希尔伯特的进一步解释中，这项争执最终聚焦在了第二个核心争议上，即关于几何学概念的定义和公理命题的真理论问题。简而言之，《几何基础》重构了欧氏几何的经典框架，对基本的概念与命题进行了全新的表述，但使用了一种高度形式化的语言。希尔伯特认为，几何命题的数学意义和几何理论的严格性最终都体现在一种公理化架构中，而这种纯粹的结构或关系形式应当用尽可能不带有特定语义的词汇来刻画，因此对传统的欧氏公理系统本身的进一步严密化和抽象化不仅是公理化思想的必然结果，而且只有这样才能表明真正的“数学性”。但是在弗雷格看来，纯粹的抽象形式完全不具有数学意义，它只不过是一种特殊的符号游戏。弗雷格指责说，希尔伯特的公理化方法中，对象是没有实质意义的存在，甚至很难说是一种“存在”，因而对象之间的关系也很难用所谓的“真”与“假”来称谓。希尔伯特认为，形式语句之间的无矛盾性本身就给出了一个“真”的领域，它天然定义了一组“真”的并且“存在”的对象，但弗雷格坚决反对这种理解。相持不下的结果自然是不了了之。

基于思想史进程中的“后见之明”，我们可以把这场争论概括为弗雷格的“”进路和希尔伯特的“”进路之争。前者的想法偏于古典，后者更有现代特征。弗雷格对于希尔伯特公理化方法的总体理解是：一些单纯的符号不具有意义，而没有意义的符号串也无法组成有意义的语句；建立在这类语句上的“定义”根本谈不上什么真假，更称不上“公理”。因为自古希腊以来，所谓“公理”（axioma）就是一个天然为真的命题，不需要争辩而自动成立。希尔伯特则完全无视公理与公设的传统区别，他的基本想法是：公理根本不需要什么先行赋予的意义，它只是通过某些符号之间有规则的连结而形成的语句，至于符号甚至规则本身也都只是一些设定，重要的仅仅是这些设定是否能够继续操作下去并且构成一个封闭的语句总体。

用今天的眼光来看，希尔伯特的公理化方案是一种“旧瓶装新酒”的做法。虽然他并不固执于用“定义”“公理”“定理”等术语的传统含义，但他也没有任何别的办法来称呼那些东西，更不可能离开传统的词汇来表述这种新理念。况且，如果不考虑《几何基础》背后更宏大的设想而仅仅关注公理化的最初表述方式，那么我们会发现这套形式化体系也确实只用来表述几何而非别的东西。所以新体系里的“公理”和“定理”依然承担着那些功能，其内容（经过赋义）也必然和经典体系一致。对此，希尔伯特本人未必有足够清晰的理解，也不需要有那样的理解。因为这种“清晰”自然只能出于后见之明，而不能要求创造者在创造过程中还能时刻保持完美而精确的反思——在革命完成之前不可能写一部革命史。结果就是，面对希尔伯特的想法，弗雷格的确有理由质疑；而面对质疑，希尔伯特也确实难以完全精准地回应。

笔者在先前的研究中试图从思想史的角度把这场几何学基础之争塑造成某种二律背反的图景，然后引入胡塞尔的现象学观点，从另一个层面考察这个问题。引入胡塞尔的主要原因也是思想史方面的，因为胡塞尔在不同的时期以不同的方式讨论过几何学的本质，而且他对希尔伯特与弗雷格的哲学主张都非常了解。不过这项研究存在两方面的缺陷：第一，它过于依赖胡塞尔对直观性和意义积淀（Sedimentation）的考量，没有充分阐明公理化思想本身的深刻性及其后续的效果史，从而未能对希尔伯特思想的意义给出公正的评价。第二，这项研究以胡塞尔对几何学的基本观念为综合评判的最终基础，但在一定程度上也意味着就此中断了对争执双方的思想本身的进一步探究。鉴于此，这场争辩需要从另一个角度再次审视。

一般而言，在评价一种思想的意义与合理性的时候，最理想的情况自然是存在一套预先成立的合理性标准可供我们判定理论的正误高下。但如果标准本身具有争议性，我们可以退而求其次，选择一种更具历史性意味的反向理解方式，即考察某个思想的与产生的实际影响：如果从新的方法中能得出新的洞见、加深了理解，同时又完全不违背任何经典结论，那么我们同样可以认为这种新理论“更好”也更“深刻”。在基于历史理性的评估模式中，理论的“好坏”不属于事先预设的真理标准的维度，毋宁说思想本身只能在其历史性的开展过程中才能创建出一个新的真理标准的维度，它扩张了原先的标准和整个概念架构，导致我们在现实的思想史中往往能用一个向前兼容又严格扩张的理解模式来取代旧有的框架。就此而言，希尔伯特的公理化思想与形式主义方案能给出什么新洞见吗？下面我们用一个与《几何基础》相关的例子来说明其意义。

三、欧氏几何中的对偶关系

文艺复兴以降，数学家逐渐发现平面几何中存在一些特殊的定理对子，其中每一对定理在表述形式上都有某种对称性。数学家称这类命题对子为“对偶” （dual）。熟悉平面几何的人或许都知道几组著名的对偶命题，比如切瓦（Ceva）定理和梅内劳斯（Menalaus）定理，迪沙格（Desargues）定理与其逆定理（自对偶），帕斯卡（Pascal）定理和布利安香（Brianchon）定理等。有了基本的对偶观念，就很容易把这种想法扩展到其他数学分支甚至其他学科中去。而一旦扩展出去，我们又会发现“对偶”概念很难有一个普适通行的定义，而通常只能在语境或科学分支中才能给出精确表述。在欧氏几何中，所谓的“对偶性”主要表现在命题的表述和证明过程上，也就是说，对偶的两个命题在表述上极其相似，证明过程也类似，差别只在关键的术语上。同时人们还发现，这里的术语差别似乎仅仅表现为每个词都有其对应的另一个词。只不过在欧氏框架和传统的陈述方式中，这类差别未必总能精确显示出来。一个较为明显的对偶实例如下：

P：平面上给定n个点，且它们不全在一条直线上。求证：必定存在一条直线，只经过其中两个点。

这是一道经典的平面几何题，它的对偶问题如下：

P：平面上给定n条直线，且它们不全交于一点。求证：必定存在一个点，只在其中的两条直线上。

这两道题的证明当然无法在此给出（尽管两个证明极为相似），但有一点是显然的，即它们等价于两个条件命题。再者，这两个命题呈现出了一种明显的对应关系：P中的“点”“线”“共线”对应于P里的“线”“点”“共点”。问题在于，即便两个命题显示出了如此明显的对应和对称关系，但仍然不容易准确阐明这种关系的普遍性——在直观上，“点”和“线”的互换是一回事，“共点”与“共线”的互换是另一回事，两者在何种意义上有关并不清楚。

或许会有人指出，点和线的互换关系在射影几何中非常基本，而且19世纪的数学家（包括弗雷格在内）对射影几何也非常熟悉，完全可以从这个角度来解释对偶定理的本质。但问题在于，射影几何的理论背景仍然是欧氏几何，即便射影几何学家很了解这种互换关系，却还是必须把相关概念的语义回溯到经典的欧氏几何中，从而无法真正消除“点”和“线”的本质差异性，只能停留在某种不可统一的二元化形态中。

换言之，如果我们要借助通常的空间观念和理解方式来表述欧氏几何中的对偶命题，那么只能具体情况具体分析，深入每一个问题的具体证明之中，除此以外似乎找不到更合适的办法来理解一种“普遍的”特性。关于对偶命题最为重要的特性是所谓的——对偶命题的真值相同。这个结论很重要，但由于对偶概念难以得到精确刻画，这个原理就更难在欧氏几何的经典框架里得到证明了。

但是在希尔伯特的体系里，我们可以找到关于对偶原理的一种新的理解方式。其《几何基础》这本书给出的第一个定义是：

设想有三组不同对象：第一组对象叫点，用A， B， C……表示；第二组对象叫直线，用a， b， c……表示；第三组对象叫平面，用α， β， γ……表示。点叫直线几何的元素；点和平面叫平面几何的元素；点、直线和平面叫空间几何的元素或空间的元素。

紧接着就是对三大基本关系的定义：

设想点、直线、平面之间有一定的相互关系，用“关联” （“在……之上”、“属于”）、“介于” （“在……之间”）、“合同于” （“全合于”“相等于”）等词来表示。

可以说，这两段简单的话已经奠定了整本书乃至公理化方法的基本思维模式，也体现出了“旧瓶”和“新酒”的关联。“旧瓶”是这些字母和点线面的关系，以及所谓的点线面和经典几何中点线面的关系；“新酒”则是这些字母本身的代表的“去语义化”或纯语法特征。接下来，对三大基本关系的解释进一步表明了后来称为“对象语言”和“元语言”的差别：

替代“关联”，我们也用别的说法。例如，替代“直线a同A和B的每一点相关联”这句话，我们也说：“a通过A和B”“a连结A和B”。又如，替代“A同a相关联”这句话，我们也说：“A在a上”“A是a上的或a上的一点”“a上含有点A”等等。若A既在直线a上又在另一直线b上，我们也说：“直线a和b相交于A”，“A是a和b的交点或公共点”等等。

这段话是通过对“关联”这个术语的解释为例来说明公理化方法的基本构想。这里的“关联”看起来是个自然语言的词汇，但实际上可以当作摆脱了语义的纯符号。而对这个符号的三组解释又可以理解为用欧氏几何的语言给出了三种不同的赋义（赋值），每一种赋义还能进一步用自然语言给出不同的修辞。

我们从两个角度来解释上述观点。首先，从传统的欧氏几何视角来看，这似乎是两件完全不同的事：（1） “A点在直线a上”似乎只是刻画了一个事态，它没有必然性。（2） “两点确定一条直线”和“两线存在一个交点”（如果暂时忽略平行公理而把平行线视为相交于无穷远点）则是欧氏几何的公理级命题，刻画了某种的关联。但是，从公理化几何的角度看，这里的首要任务不是判断一个命题的必然性，而是确定一个词项的语法功能。点和线、线和线，乃至点、线和面之间的关系，归根到底只有一种，即“从属性”，它只是在不同的对象域里会表现出不同形态。这就好比一种二元对称关系在社交领域表现为“相互认识关系”，在婚姻领域表现为“婚姻关系”，等等，它们都可以视为R （a， b） = R （b， a）的不同赋值结果。

这个今天看来很简单的想法对于19世纪末的人来讲并不那么显而易见，即便是现代逻辑学创始人弗雷格也在此摇身一变成了守旧派。但从另一边看，希尔伯特本人一开始也并非很有意识，或者说他不需要一开始就有意识。希尔伯特在定义中仍然明确区分了用什么的字母表示点，用什么字母表示线等等，因为他要用这些词项表述各种不同的（经典）几何公理。然而，这个微弱的区别已经明显指示了进一步的：A、B、C和a、b、c其实并不需要和某种语义绑定，也不需要先确定语义再建立公理——我们完全可以先建立“类公理”（axiom-like）的命题，随后再赋予其解释。

那么这些东西和对偶性有什么关联？一言以蔽之，希尔伯特的框架里的对偶命题只不过是对同一个形式命题的两种不同赋值。以前面的几何命题P和P为例，我们可以构造一个相应的形式命题P：

P：对Π有C （a， Π），其中i = 1， 2， 3， …， n，且不存在A，使得对每个a都有C （a， A），存在A，使得C （a， A）且 C （a， A），并且对任何k 不等于m或n，都不成立C （a， A）。

虽然P中仍然包含了自然语言，但不重要，因为原则上我们可以进一步形式化；写成现在这个形式只是为了表述方便，目的只是为了把它表述成一个不带有几何学语义的命题。从数理逻辑的观点看，P和P是对这个进行几何学赋义的结果：首先，两者都把Π解释为“平面”，二元关系C解释为希尔伯特体系中的“关联”。然后，在P中的a和A分别被解释为“点”“直线”，C被解释为“点在直线上”，整个命题被理解为一个“多点共线”的问题。而在P中，a和A被赋义为“直线”和“点”，而C的标准语义不变，依然是“点在线上”，在欧氏几何的经典理解中就被进一步诠释为“线包含着点”，最终我们把命题理解为“多线交于一点”的问题。

四、对偶性与元定理

由此可见，公理化视角把几何学“还原”为了一种形式理论，同时客观上蕴涵了一个逆向的“意义构造”过程。在此基础上，几何对象不再被理解为仅仅具有简单含义的理论实体，而是呈现出一种双层复合的意义形态，进而可以被视为一种复合的对象性：它们是纯形式的对象，被进行了特定的赋义成为几何对象。对偶性质正是在这个意义构造的过程中才得以清晰地呈现并获得了普遍的意义——在传统观点下看起来是两种本质上不同的事物，现在被理解为同一个对象的两种不同表象方式。

著名数学家迈克尔·阿蒂亚2007年在一次题为《数学与物理中的对偶性》的讲座中，也提出了类似的观点。他认为：“对偶性在根本上意味着。”但我们又如何理解阿蒂亚整个报告的第一句话呢？他说：“数学中的对偶性不是一个定理，而是一个‘原理’。”从阿蒂亚的视角和用意来看，确实如此，因为他要综观整个历史来概述一般意义上的对偶性质，但这种一般的对偶性仅仅是某种纲领性和原则性的“观念”，而不能表述为一个具体的、可证的命题。不过，一旦具体到某个特殊领域，对偶性往往会具有特定和明确的形态，这时候它就可能呈现为一个元定理（metatheorem）。

对今天的数理逻辑学家而言，元定理是一个非常基本的概念。通常的理解是，对于给定的公理系统，在它“之中”得到证明的命题被称为“定理”，而被称为“元定理”的命题所谈论的是这个系统本身的性质，但它们又无法靠系统自身的公理来证明。显然，对偶性可以在某个特定数学系统中表达为明确的元定理形式，而这个系统自身是无法证明这种对偶关系的。正如前文中的P和P，或是更著名的切瓦与梅内劳斯定理，等等，在欧氏几何中我们只能分别证明每一个单独的命题，却无法证明或指明两者之间存在“对称性”，也无法从对偶的角度在一个证明中“同时”完成对两个命题的证明。

然而，在希尔伯特的框架中，这种特殊的证明是可以完成的，因为公理化方法的提出跟随着一个配套的思想，也就是证明论。在希尔伯特看来，公理化方法是他眼中的数学及一般理性科学的基本工具，它不仅意味着从某些初始命题发展出一门学科的严格方法，并且也是高等理论中用来探索发现的工具。而在对这个工具本身进行考察的时候，希尔伯特立刻发现，数学证明本身也会在公理化视角下变成新的研究对象。后来他把这种做法比作“就像天文学家必须考虑他的位置运动，物理学家必须研究他的仪器理论，以及哲学家对理性本身进行批判”。这种从工具到对象的转变意味着，公理化模式中出现的一切理论和语句都要在句法层面得到定义，由语句构成的整个形式“证明”本身也需要得到定义。在证明论的结构中，命题P就是从公理命题出发的一系列定理序列的终点，序列中的每一项都根据基本的推理规则作为序列前段中某些语句组合的后承（consequence），而且每一项都是纯粹的形式语句。基于这种观念，形式命题P的有效性就完全不依赖语义层面的赋义，它的成立条件和P的“实质意义”无关。因此，从形式化的欧氏几何公理集Γ出发演绎出语句P，就意味着同时完成了对P和P的形式证明，而元定理的“元”就表现为从P到P或P的“翻译”过程。

更一般地讲，对偶性质在公理化框架下被理解为语言和其上结构的关联，而在证明论的意义上，倘若一个几何定理的表述和证明所涉及的每一条公理都可以“对偶化”，那就意味着这个定理本身也存在对偶命题。从一阶逻辑的角度看，欧氏几何中的对偶原理本质上与可靠性定理相关。既然这两个命题可以视为同一个形式语句的两种赋值，那么根据可靠性定理，由公理语句集所演绎出的语句即是它的语义后承，所以欧氏几何定理的对偶命题（如果存在）也必然是定理。

五、再次评估几何学基础之争

我们即便不考虑19世纪末的逻辑学发展而仅仅关注数学，也能看到希尔伯特建立某种“形式几何学”乃至“形式数学”的纲领并非空穴来风。他的一个基本洞见是，具有直观性的“作图”虽然是传统几何证明的两大核心要素之一，但并没有本质上的重要性，在证明过程中也没有起到实质作用（即便有用也可以通过一套程序来消解）。既然没用，那就可以去掉，而连带着一起去掉的必然就是几何对象的“图形”意义。由此，几何命题的证明就变成了纯粹符号性的操作程序，而无需几何直观。如果这个观点可行，一个后续结论似乎就是：几何证明和逻辑证明没有区别，几何学就是纯粹逻辑学。

“不多不少正好是纯粹逻辑学”式的结论可以接受吗？康德是这样讽刺费希特的，恐怕弗雷格也是这样看希尔伯特的——甚至可能更糟。尽管希尔伯特本人不会认为《几何基础》会变成“逻辑基础”，因为里面还保留着几何的语义学，有某种赋义、解释、翻译的工作，但这些都不会影响语法学进路的根本地位。如此一来，真正的哲学问题只剩下如何理解这种做法的合理性了。按前文所述，我们可以从预先给定的判别标准出发，也可以从某项工作直接关联到的东西和它产生的历史效应来评价。暂且抛开历史效应不论，关于形式化层面的工作，预先的判别标准只有一条，即“” （完备性暂且不论），因为这首先是纯粹的形式逻辑理论。涉及和标准的几何理论相关的解释时，就再加一条“”。在希尔伯特看来，有了这两个前提，基本的合理性标准就已然建立起来了。

到此为止，代表旧传统的弗雷格式质疑实际上已经失去了着力点，真正的负担反而要回转到传统这一边。旧观念要想继续捍卫其存在意义，就必须指出新观念在哲学上的漏洞。但这种深度反思往往会暴露出古典观念自身的盲点。出生于哥尼斯堡的希尔伯特小时候就读过《纯粹理性批判》，他在回应弗雷格的时候也勉强承认，纯形式化的几何学也许在最根本的意义上还需要一些直观性因素。然而这个说法只是一种礼貌的让步，并没有什么实质意义。可以说在希尔伯特的眼中，弗雷格对于几何学的形式化操作始终存在双重误解：首先，对于质料的直观是构造的条件，但这不意味着这种直观是确立的条件，更不意味着它是成立的条件。其次，这里不能把构造概念的“条件”、确立概念关联的“条件”与命题成立的“条件”视为同一种意义上的条件。在希尔伯特的框架中，第一个“条件”只不过是一种动机和缘由，它甚至都不算是合法性保证；而第二个“条件”相当于一个游戏规则的人为设定，也不涉及合法性问题；只有第三个“条件”与合法性有关，这是因为一般的形式性命题需要从之前给定的命题出发，以合乎规则的方式出来。

由此看来，如果说形式理论的起点是某种人为设定的游戏规则，那么旧传统的语义有效性与合法性问题都不存在了，因为不同的游戏无所谓正确与否，最多只会涉及哪种游戏设计得“更好”的评价。对于公理化方法来说，可行的评价有三个渐进的层次：第一，在可应用性方面，基本的合格条件就是它能否在恰当的解释之下满足被认定为真的传统理论（向下兼容）。公理化方法在这点上确实满足了经典的欧氏几何。第二，在前一层次的基础上，我们能否得出新的结论，对以往的猜想作出明确的肯定或否定。公理化方法满足了这一点，关于对偶性问题的理解表明了它在这方面有资格被视为“更好的”理论。第三，新的理论除了在直接相关的知识领域中有效，是否还能对更大的知识整体有推进作用并且与自身的发展保持一致性。从思想史上看，公理化方法做到了这一点，其历史效应除了涵盖整个数学领域以外，还直接或间接地影响到了20世纪全部基础科学的进展。

六、结论：几何学基础之争的“解决”方式

初看起来，希尔伯特与弗雷格的几何学基础之争似乎在塔斯基的模型论思想中有了最终的答案，因为语法和语义、形式语句与赋义等都属于模型论语义学的基本思想。某种意义上确实如此，而且本文的分析也导向了这个结果。但必须指出，本文对希尔伯特公理化方法所作的哲学解释是基于历史性视角的，而绝非简单地表明希尔伯特本人的观点就是“正确的”或弗雷格就是“错误的”。事实上，在后来的模型论的框架中，希尔伯特与弗雷格的主张不再构成一种简单的对立，而是经过某种修正之后成为一个意义整体的两个层次。在的意义上，这可以视为对几何学基础争论的一种解决方式。

进而言之，如果说塔斯基理论可以被当作一种解决方案，那么这并不是我们主观设定或论证的结果。毋宁说，一切可能的解释方案都植根于思想自身发展的效应史中，后者在历史性的维度上给出了一种最自然的解决方式——公理化方法，连同其一切后续成果，包括有得有失的形式主义纲领，全都被纳入了20世纪数学史的“正典”中。这条发展路径“向内”辐射到更为基础的逻辑学领域，“向外”则扩展到了理论物理甚至社会科学等领域。也正是在这个意义上，模型论语义学应当被视为公理化思想发展史的一个续篇，它不仅位于20世纪波兰逻辑学传统的脉络中，也属于20世纪初的哥廷根数学哲学传统的后效之一——后者不仅包括希尔伯特式的早期形式主义方案，也包括同时期胡塞尔的“纯粹语法学”概念和“纯粹逻辑学”思想。

站在旧传统的立场上看，《几何基础》本身或许算不上“纯正的”几何学。然而对希尔伯特来说，这种新理论本来就不是为了旧观念而存在的。它的目标是创造一种全新的几何观念，甚至是一个全新的数学科学观念。何况，如果没有对欧氏几何的“语法学还原”，弗雷格的坚持也只能停留在传统的水平，而不能以修正的方式被纳入当代的语义学之中。在公理化方法的影响下，20世纪的基础理论科学中出现了一系列深刻的观点，它们兼有着数学的外观和哲学的内核，把人类的智识水平提升到了一个新的维度。就此而言，希尔伯特之后的人并不在乎这种形式化纲领是否会让数学沦为“单纯的逻辑学”，因为思想本身就在一次次类似的“原初创建”（Urstiftung）中把自身的旧传统埋入记忆中，并构建起更高层次的思想架构，结出丰硕的成果，朝着新目标继续前行。