基于贝叶斯估计的振动基频提取及预测算法*

王代君 陈 星 龚惠云 熊 玮

(1.江西省交通运输科学研究院有限公司 南昌 330000； 2.江西省交通监控指挥中心 南昌 330000)

拉索受力状态是斜拉桥结构健康评估的重要依据[1-2]。当前使用较多的索力测量方法有油压表读数法、压力传感器法、磁通量法、振动频率法等[3]，其中磁通量法和振动频率法均可适用于动态在线监测。振动频率法无论是在理论体系还是传感器开发上都已经比较成熟，成为当前应用最为广泛的索力测量技术[4]。然而，振动频率法要依赖于振动的基频，而不同的拉索其工况各不相同，信号的质量也参差不齐，因此基频的准确提取成为实际应用过程中的主要难点。以往需要在后期对振动模态进行人工分析才能准确地得到振动基频，关于基频在线提取的算法研究并不多见。

贝叶斯方法在工程应用中有很强的实用性，近年来，国内外许多学者将其应用于桥梁结构分析并取得了良好的应用效果。温雨桐[5]、董俊等[6]、秦超等[7]、Xie Y.N.等[8]、楼灿洪等[9]将贝叶斯方法应用在桥梁模态参数识别和可靠性分析等领域，李源等[10]研究了基于贝叶斯更新的斜拉桥施工过程索力预测，该方法针对的是施工过程，未涉及运营期的长期监测。本文的创新点在于，在斜拉桥运营期长期监测的应用场景下，利用贝叶斯方法预测未来一段时期的索力变化趋势，以期为斜拉桥的养护和应急管理提供参考。

1 振动频率法基本原理

振动频率法是基于弦振动理论提出的，利用索力与自振频率之间的关系来推导索力。根据弦振动理论的观点，斜拉索的自由振动方程可表示为

(1)

式中：x为沿索长方向的坐标；t为时间坐标;v(x,t)为t时刻索上各点的竖向位移；EI为索的抗弯刚度；T为索力；m=W/g为索的线密度，W为单位索长的重力，g为重力加速度。

如果斜拉索两端采用铰支，可解得索力为

(2)

式中：fn为索的第n阶自振频率；l为索长。

在不考虑抗弯刚度的情况下，索力解可进一步简化为

(3)

式中：K=4Wl2/g为比例系数。可见，在拉索的材料和生产工艺一致的条件下，K与l索长成正比。对于拉索的基频(1阶自振频率)，有

T=K(f1)2

(4)

不难发现，求解索力的关键是要先求出基频f1。联合式(3)和式(4)，有

(5)

(6)

根据式(5)和式(6)可以发现索振动的2个重要特性。

特性一。在同一根索的同一次索力测量中，拉索振动功率谱上的各个峰值是等间距的，且间距的宽度值与基频相等。

特性二。在同一根索的同一次索力测量中，拉索振动功率谱上的所有高阶频率都是基频的整数倍，且第n阶自振频率等于基频的n倍。

2 振动基频提取

索力计算的关键在于基频的提取，这也是当前工程领域的难点之一。在实际应用中，由于受到噪声的影响，频谱曲线中通常存在大量的杂乱频率成份，索的自振频率甚至会被噪声所淹没。

根据前述索振动的两重要特性均可实现振动基频的间接提取。对于特性一，只要将拉索振动功率谱上的所有高阶频率提取出来，然后分析各频率的差值即可。对于特性二，在提取出高阶频率之后，通过分析某一阶频率属于第几阶来达到基频识别的目的。但某阶频率所属的阶数往往是未知的，因此从实际工程应用的角度来看，第一个特性的可操作性更强。

基频提取算法过程示意图见图1。

图1 基频提取算法过程示意图

首先获取1组振动原始时域信号，见图1a)，然后对时域信号进行快速傅里叶变换，得到振动功率谱见图1b)。可以明显看到，功率谱中的低阶自振频率和高阶自振频率均被噪声所淹没，只有中频段几组较强的自振频率仍比较明显。将这几组较强的自振频率提取出来，见图1c)。将后一组自振频率与前一组进行作差，可知其频率差是相等的，均为0.937 5 Hz。

以上基频提取算法主要利用了拉索的第一个振动特性，本文将其称为“差频法”。差频法要求传感器有较好的激励效果，且原始信号具有较高的信噪比，否则算法的性能会明显下降，仍然需要人工介入才能求解出第n阶自振频率或相邻两阶的频率差。例如，在以下情况下将无法采用差频法求解索力。

1) 如果只有1个自振频率被成功提取出来，则“作差”就无从谈起，直接导致基频提取失败。而这种情况在工程中是很常见的。

2) 当2阶自振频率之间存在较大的干扰频率时，该干扰频率会被误判为某一阶自振频率，使得频差不再是一个固定的常数，致基频求解失败。

为解决这一缺陷，本文采用朴素贝叶斯的方法对算法进行优化。

3 贝叶斯优化

3.1 贝叶斯定理

贝叶斯定理可表示为

(7)

式中：π为参数的概率分布；π(θ)为先验概率；π(θ|x)为后验概率；f(x|θ)为观测样本分布，称为似然函数(Likelihood)，对先验概率起到修正作用；积分项称为标准化常量，积分区间Θ为参数θ的值域。

3.2 参数模型分析

为了应用贝叶斯定理对基频求解算法进行优化，首先需要明确基频的先验概率分布。在拉索的全生命周期中，其基频是一个连续变化的物理量，而在实际测量中，只能测得一个离散的基频序列，为了还原其概率分布，对已测得的历史基频值进行直方图统计，发现其满足高斯分布，实测基频值主要在其理论值附近波动，离理论值越远，其概率就越小。因而本文采用正态分布N(μ,σ2)对其进行拟合，从而得到连续的先验概率密度曲线。

根据贝叶斯定理可知，单纯依靠先验概率对事件进行预测是不准确的，还需要通过似然函数对先验概率进行修正。本文采用最近1 d的基频值作为观测样本求解似然函数。实验表明，基频值在短周期内仍然服从高斯分布，因而也可以采用正态分布模型N(μ′,σ′2)求解似然函数。

为了提高算法的鲁棒性，在采用差频法的同时，还运用了“主频法”求解基频。所谓“主频法”就是利用拉索振动的第二个特性，找出拉索振动功率谱上能量最大的高阶自振频率(即主振频率fmax)，然后再除以其阶数n，即可求得基频。利用该方法，即使只提取到1个自振频率，也可以较可靠地求出基频，弥补了差频法的不足。

3.3 贝叶斯决策

在正态分布模型中，离中心点越近的样本出现的概率越高，如果差频法和主频法计算的结果不一致，取离中心点最近的结果作为基频测量值即可。根据正态分布的性质，下一次样本出现在期望附近的概率最高。显然，要使式(7)取得最大值，只要使f(x|θ)π(θ)取得最大值极可。即下一次的基频预测值为

(8)

3.4 模型的进化

在计算出当前基频值后，将其真实值作为新的“历史”数据对先验概率分布模型和似然函数进行更新，重新确定模型参数，通过动态的学习使模型始终保持最优参数，不断提高基频提取及预测的准确性。

基于贝叶斯估计的算法优化流程图见图2。

图2 基于贝叶斯的算法优化流程图

4 工程应用案例

4.1 工程概况

药都大桥位于江西省宜春市樟树市，全桥长2 529 m，宽29.2 m，其中主桥长(168 m+400 m+168 m)736 m。药都大桥为双塔双索面钢混叠合梁斜拉桥，主塔为宝瓶形，塔高124.52 m，全桥拉索共84对168根空间扇形双索面斜拉索，采用扭绞型平行钢束拉索，主跨400 m，为赣江主跨最大桥梁。为满足桥梁长期自动监测的需要，药都大桥配备了桥梁结构健康监测系统。系统采用单向加速度传感器结合频谱法对拉索索力情况进行监测。传感器安装于桥梁各拉索位置3.5 m处，全桥索力测点共56个。传感器采集的原始物理量为电压，采集频率为25 Hz，经数据处理后计算出加速度和索力值。

4.2 数据分析

1) 数据建模与迭代。以主跨上游15号索CA02-15为例，对该索2020年1-2月份的振动基频测量值进行直方图统计并进行高斯函数建模，得到基频的先验概率分布为N(0.950 25,0.002 8282)，见图3a)。对2020年2月23-29日的振动基频测量值进行直方图统计并进行高斯函数建模，得到基频的似然函数模型为N(0.951 92,0.002 2942)，见图3b)。

在初始模型的基础上，使用新求解出的基频值对模型进行更新，如图3a)所示的虚线为经过243次迭代后的概率密度曲线。在模型迭代的过程中，参数也会不断自我调整，见图4。

2) 性能分析。根据模型对基频进行提取并预测，所得结果见图5a)，预测误差见图5b)。不难看出，预测曲线与测量曲线的变化趋势是一致的，且总体预测误差在±1.5%以内。

图3 主跨上游15号索数据建模

图4 先验概率模型参数迭代

图5 预测值与测量值对比及预测误差

为了评价模型的误差情况，可以采用采用均方根误差RMSE、平均绝对值误差MAE、平均绝对百分比误差MAPE等指标进行描述，其中RMSE既可表征绝对误差，又可以表征误差的波动性，因此本文采用RMSE对模型的误差和稳定性进行分析。RMSE定义如式(9)。

(9)

将误差曲线分为[1,80]、[81,160]、[161,243]3个区间，分段计算误差曲线的RMSE，结果分别为0.371 3、0.323 3、0.179 9，说明模型经过训练后稳定性不断提高，验证了模型的有效性。

4.3 全桥基频提取

全桥共56个索力测点，基频提取结果见图6a)。根据式(4)计算全桥索力并与成桥索力进行对比，得到索力偏差见图6b)。

根据图6a)显示的全桥基频分布可以发现，越靠近桥塔的拉索，其基频越大，反之亦然。这是因为靠近桥塔的拉索长度较短，远离桥塔的拉索长度更长，根据索长与基频成反比的特性可知，计算的基频分布与工程实际完全相符。从图6b)显示的结果不难看出，测量值与成桥索力对比的偏差均在±10%以内，根据T/CECS 529-2018《大跨度桥梁结构健康监测系统预警阈值标准》，全桥索力均处于正常状态。

图6 全桥基频及索力偏差

5 结语

本文对基于贝叶斯估计的振动基频提取及预测算法进行了研究，结论如下。

1) 基于弦振动理论推导了索力与振动基频及各级自振频率之间的关系，证明在同一根索的同一次索力测量中，振动功率谱上的各阶自振频率是等间距的，且间距的宽度值与基频相等。所有高阶频率都是基频的整数倍，且第n阶自振频率等于基频的n倍。

2) 分别利用拉索的2个重要振动特性设计了“差频法”和“主频法”，采用2种方法联合求解基频，弥补了差频法的不足，这是本文基频提取算法最大的优势。

3) 采用高斯函数对先验概率分布和似然函数进行建模，根据贝叶斯定理对基频进行预测，充分利用历史数据蕴含的有效信息提升预测模型的精度，使总体预测误差控制在±1.5%以内。经过迭代后的模型参数能自适应调整，并逐渐趋于稳定，验证了模型的有效性。这也是本文的主要创新点。

4) 根据基频计算的全桥索力分布与工程实际相符，与成桥索力对比的总体偏差在±10%以内，全桥索力均处于正常状态。

5) 贝叶斯方法是一种基于概率论的预测方法，需要有足够多的先验信息才能达到较高的准确性，因此本文提供的方法对于长期索力预测具有一定的优势。