数学解题课教学的整体性和联系性*——以“应用二元一次方程组——鸡兔同笼”为例

邓冬华 刘 敏

(四川师范大学附属青台山中学,610101)

在数学教学过程中,如何让学生理解新学知识的重要性和必要性?如何整体把握教学内容,让学生理解问题解决过程中不同方法之间的内在联系?对一题多解问题,如何在学生理解的基础上选择最优方法?如何将一个看似简单的课,上出数学味?这些都是数学课堂教学中值得关注的几个问题.笔者在北师大版数学八年级上册“应用二元一次方程组——鸡兔同笼”一课的教学过程中,尝试采用整体联系的教学,加深了对上述问题的理解.

一、数学课堂教学强调整体性和联系性的缘由

数学课堂教学强调整体性和联系性是由数学学科特点和学生数学学习需要决定的[1],也是由教师专业发展需求决定的.

1.数学课堂教学强调整体联系是由数学学科特点决定的

数学是一门逻辑性非常严密的学科,知识内容本身是一个整体.教师只有在课堂教学过程中,充分理解数学,把握数学逻辑,站在系统的高度整体把握教材内容,才能把数学课上出数学味.

2.数学课堂教学强调整体联系是由学生数学学习需要决定的

为顺应学生的认知规律,中小学数学将数学内容进行分年级授课,在同一个知识板块采用螺旋上升的方式进行教学,但这样的教材编排方式和教学方式容易将知识割裂成“碎片”,学生往往只见树木不见森林.只有注重前后整体联系的数学课堂教学才能让学生融会贯通,让他们更好地把握数学知识的整体框架结构,从而提升学生学科核心素养.

3.数学课堂教学强调整体联系是由教师专业发展需求决定的

数学教育家孙维刚老师非常强调新旧知识的联系,提出“结构教学法”.在专业成长过程中,教师的课堂教学只有注重把握整体性和联系性,把握教学逻辑,才能达到孙维刚老师的“八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底”[2]的境界.

二、“鸡兔同笼”教学案例

(一)教学背景

“应用二元一次方程组——鸡兔同笼”是北师大版初中数学八年级上册第五章“二元一次方程组”第三节的内容,该课是在学生认识二元一次方程组、求解二元一次方程组后,应用二元一次方程组的第1课时.通过本课的教学,学生会找出简单问题中的等量关系,列出二元一次方程组解决问题,体会方程是刻画现实世界数量关系的重要模型.教学过程中,我们应充分挖掘本课内容的意义和价值,尝试与已学知识进行联系,建构知识结构体系,加深对数学的认识与理解.

(二)教学片断简录

1.“鸡兔同笼”问题的不同解法及其内在一致性

课上,教师先展示《孙子算经》原题:今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何?

引导学生翻译题意后,教师提出问题.

师:怎么解决这个问题?

(学生先独立思考,再交流分享)

生1(方法1):小学学过“假设法”.假设鸡和兔都是2条腿,则一共有70条腿.而兔子有4条腿,每只兔子多出2条腿,由多出的24条腿可知兔子有12只,进而得鸡有23只.

生2(方法2):小学学过“吹口哨法”.假设鸡和兔都是训练有素的,吹一声口哨,鸡抬1条腿,兔抬2条腿,这时鸡和兔的腿数减半,还剩47条;再吹一声口哨,鸡和兔都再各自抬一条腿,这时鸡全部倒下了,还剩兔的12条腿.故兔12只,鸡23只.

生3(方法3):小学学过“砍腿法”.假设鸡和兔各砍掉2条腿,一共砍去70条腿,这时只剩兔的24条腿.而每只兔有2条腿,故兔子12只,鸡23只.

生4(方法4):我用一元一次方程的方法求解.设鸡的只数为x，则兔的只数为35-x.由题意,得2x+4×(35-x)=94,解得x=23,即鸡23只,兔子12只.

教师逐一肯定了同学们的想法,同时指出解决鸡兔同笼问题的方法很多,并再次提出问题.

师:这些不同的方法之间有没有什么联系呢?

(启发学生更深层次地思考问题)

生6:方法4与方法5之间有联系,可将方法5中的方程① 可变形为y=35-x,代入方程② 即是2x+4·(35-x)=94,也就是方法4的一元一次方程.所以说方法4可以看成是将方法5中方程① 代入方程② 消元的产物.

教师大加赞赏并追问:方法1、方法2、方法3与方法5之间有没有什么联系呢?

生7:方法3,其实质是方法5中方程② 减去方程① 的2倍.

生8:方法2,其实质是方法5中方程② 除以2再减去方程①.

生9:方法1与方法3本质是一样的,都是方法5中方程② 减去方程① 的2倍.

师:这几位同学揭示了算术解法和方程解法之间的联系,也就是说,以前学过的算术方法都可以回归到最近学习的二元一次方程组的解法上来.

评述解决鸡兔同笼问题的方法很多,教学过程中一题多解值得提倡,但更为重要的是让学生理解不同方法之间的内在联系.本问题中,方法1、方法2、方法3是小学经典的算术方法,方法4是七年级列一元一次方程解应用题方法,方法5是新学习的列二元一次方程组解应用题方法.前4种方法都能与方法5联系起来,其实质就是方法5中方程组的代入消元法和加减消元法.看清不同方法之间的内在联系,不盲目崇拜小学的算术方法,这对学生整体把握数学知识,形成正确的数学观和数学学习观大有裨益.

2.“鸡兔同笼”问题解法选择及其用二元一次方程组解法的必要性

(1)不同解法的选择

基于上面的分析、交流、讨论,教师提出问题:解决这样的“鸡兔同笼”问题,同学们给出了5种方法,下次遇到这种问题的时候,你会选择哪种方法?

同学们谈了自己的看法,并且给出了选择方法的理由.这时可以感觉到,同学们对使用二元一次方程组的意愿不强烈,对其解决问题的优越性体会不深刻.

(2)感悟新方法的必要性

教师给学生足够的时间独立思考,交流讨论.在解决此问题的过程中,学生发现:小学的算术方法和一元一次方程的方法都不太奏效,当题目中两等量关系非常明确但不太容易用一个量表示另一个量的时候,用二元一次方程组的方法能更快更好地解决问题.

通过这个问题,教师让学生明确:所谓的“鸡兔同笼”问题其实质是已知两个量的两个等量关系,求这两个量的问题.这类问题都可以用二元一次方程组的方法求解,并归纳用二元一次方程组解决问题的步骤.

评述教师要在教学过程中发展学生的批判性思维,让学生意识到学习新方法的必要性.这就需要教师在教学过程中,让学生对方法进行分析、对比、质疑,产生认知冲突,产生积极学习的意愿.

3.“配套问题”的最优解

教师给出下面的问题作为本课的拓展:机械厂加工车间有68名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套,那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套?

学生独立思考后,分享如下:

教师肯定他们的想法,并引导学生从不同的角度去认识与理解列方程的过程.

评述在教学过程中,教师要引导学生说出解法背后的思考,引导学生对不同解法进行比较,寻找方法之间殊途同归的内在联系.在此过程中,教师要注意引导学生对问题、方法有自己的理解,同时也能吸纳他人的想法,形成一个整体.

三、教学思考

1.解题课教学应关注新方法的重要性及引出新方法的必要性

能走入学生内心的新方法才能被学生接受和应用,因此，如何让学生认识到新方法的重要性和引入新方法的必要性很重要.教学过程中,教师应通过分析、比较,借助问题等载体,站在系统的角度,让学生认识到新方法的优越性,自然而然从心里接受、自觉运用.

2.解题课教学应揭示一题多解不同解法之间的内在联系

一题多解能有效地培养学生思维的灵活性,但不应为了一题多解而多解,应当有意识地揭示解法之间的内在联系.不同解法可能源于对已知条件不同角度的翻译和理解,可能是另外解法的等价表征,不能只追求解法的数量,更要通过内在联系的挖掘让学生加深对知识的理解和应用,形成知识结构,提升素养.

3.解题课教学应强调对题目解法进行反思性总结回顾

在解题教学过程中,我们要在充分理解的基础上,引导学生对多种解法进行归类整理、甄别选择,积累经验,将知识与方法内化为能力和素养.

基于数学学科特点要求、学生数学学习和教师专业成长需求,立足把握数学逻辑、学习逻辑、教学逻辑,决定了数学课堂教学应把握整体性和联系性.愿我们都能站在理解数学、理解学生、理解教学的高度,达到“八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底”的境界.