含趋旋微生物纳米流体在拉伸缸表面上的边界层流动分析

许晓勤，黄惠

(1.福建船政交通职业学院汽车学院，福建 福州 350007； 2.福州大学机械工程及自动化学院，福建 福州 350108)

0 引言

众所周知，水、 油、 乙二醇等传统传热流体的低导热系数是限制其传热性能的重要因素之一，在这些液体中添加固体纳米颗粒可提高导热系数.Choi和Eastman首次提出“纳米流体”的概念，它由尺寸小于100 nm的金属或金属氧化物颗粒分散在基液中制成[1].纳米流体在医疗、 化工、 交通、 电子、 制造及食品等领域得到广泛应用，是学者和工程师们研究的热点问题之一.Sumanth等[2]研究纳米流体羧基石墨烯对散热器性能的影响，结果表明, 当纳米颗粒体积分数为0.02%，流量为5 L·min-1，进口温度分别为40和50 ℃时，散热器的效率分别提高27.38%和23.41%.Siricharoenpanich等[3]将纳米流体用于电子元器件的冷却系统，实验表明, Ag/Fe3O4纳米流体作为冷却剂的散热效率高于Ag纳米流体或去离子水作为冷却剂的散热效率.Salari等[4]将纳米流体用于食品工业的热处理，发现与传统流体相比，在极低固体颗粒浓度下使用纳米流体可以显著提高导热系数和总传热系数，显著缩短热处理时间，且使用纳米流体后，食品的颜色和pH值几乎不变.值得一提的是，基液中的纳米颗粒是不稳定的，可能导致纳米颗粒聚集，使导热系数降低.

微生物是一切肉眼看不见或看不清的微小生物的统称(如病毒、 细菌、 酵母菌、 单细胞藻类及原生动物等)，在自然界中广泛存在[5].微生物体积小、 结构简单、 代谢能力强、 生长繁殖快、 容易培养、 容易变异、 有极强的环境适应性，在环境保护、 农业生产、 食品工业、 新能源开发、 医疗和制药等方面均有广泛的应用[6].微生物具有的趋光或趋氧特性，使其自主向液体上层运动且聚集，形成上重下轻的不稳定密度分层.当这种密度分层达到一定程度时会引起流体宏观上的流动，即生物对流[7].微生物在流体中同时受到重力矩和粘滞力矩的共同作用会产生一种回旋运动，这种现象称为微生物的“趋旋性”.将趋旋微生物与纳米流体混合，可以防止纳米流体中的纳米颗粒聚集，从而提高纳米流体的稳定性[8].纳米流体中的生物对流还可以提高质量传递和热传递，为新型微流控制设备的设计开拓新思路[9].Chakraborty等[10]探讨磁场和对流边界条件对含趋旋微生物的纳米流体在扩张板上流动的影响，结果表明，磁场的增强使扩张板表面的流体速度和Nusselt数减小，表面对流参数增大了微生物自迁移通量，而Peclet数的影响却相反.Khan[11]研究含有纳米颗粒和趋旋微生物的稳态二阶纳米流体在薄膜中的生物对流现象，图解分析各参数的影响.Kanta等[8]研究在非线性热辐射、 化学反应、 内热源和抽吸/注射效应下，含有趋旋微生物的可变粘度纳米流体在非线性拉伸板上的生物对流现象.

拉伸成型是把材料加工成平板、 空心柱体或特定形状的一种工艺，材料在拉伸过程中往往需要严格的冷却才能保证成品质量.由于在金属和工程领域的广泛应用，如金属丝、 晶体生长、 纸张生产、 玻璃纤维、 聚合物挤出和食品制造等，流体通过拉伸表面的传热与流动现象成为学者们研究的热点问题之一.Khan和Makinde[12]数值研究含趋旋微生物的水基纳米流体在对流加热拉伸板上的边界层流动现象，结果表明，无量纲速度随着浮力比和生物对流Rayleigh数的增大而减小，壁面无量纲温度随着对流参数的增大而增大，随着浮力比的增大而减小.Akbar等[13]研究含趋旋微生物的纳米流体通过延伸板的自然对流现象，探讨磁场参数、 Brown运动参数和热泳的影响.Hayat等[14]探讨含趋旋微生物的磁性纳米流体在拉伸缸上的流动现象，结果表明，缸体曲率参数越大，缸体附近温度越低.

为解决纳米颗粒聚集导致纳米流体传热特性下降问题，本研究在纳米流体中引入趋旋微生物，探讨稳态二维纳米流体在拉伸缸表面上的边界层流动现象，建立控制方程，采用打靶法和Runge-Kutta法进行数值求解，对不同物理参数下的速度场、 温度场、 浓度场和微生物密度场的变化趋势进行图形化分析，并给出各物理参数的作用机制.研究结果有助于分析纳米流体加入趋旋微生物后对其流动及传热传质特性的影响规律，为类似物理模型边界层控制或实验配置适合不同应用场合的稳定纳米流体提供参考.

1 数学模型

考虑趋旋微生物的影响，研究纳米流体在拉伸缸表面上的稳态二维不可压缩流动.物理模型和坐标系如图1所示.缸体半径为a，缸体以Vw(z)的速度向右拉伸，由于摩擦力作用，附着在拉伸缸表面的纳米流体速度与拉伸缸表面一致(不考虑滑移效应)，无穷远处纳米流体速度为0(即静止状态)，拉伸缸浸泡在纳米流体中，纳米流体中加入趋旋微生物，趋旋微生物自主运动阻止纳米颗粒聚集，使纳米流体处于稳定状态.

图1所示的流动模型属于轴对称流动，假设缸体轴向为z轴，径向为r轴.为了使大多数微生物存活并保持活性，选择水基纳米流体，纳米颗粒为球形氧化铝，假设纳米流体稳定且悬浮液稀释，考虑纳米流体在流动过程中遵守质量守恒、 动量守恒、 能量守恒、 纳米颗粒浓度守恒及微生物密度守恒等定律，在Buongiorno模型[15]基础上建立控制方程[14]如下，

连续性方程：

(1)

r方向的动量方程：

(2)

z方向的动量方程：

(3)

能量方程：

(4)

浓度方程：

(5)

微生物密度方程：

(6)

边界条件为：

1) 当r=a时，

(7)

2) 当r→∞时，

Vz→0，T→T∞，C→C∞，N→N∞

(8)

式中：r、z分别表示坐标系的径向和轴向坐标；Vr、Vz分别表示沿r轴和z轴方向的速度分量(m·s-1)；T、C、N分别表示纳米流体的温度(K)、 纳米颗粒体积分数及微生物密度(kg·m-3)；Tw、Cw、Nw分别表示缸体表面纳米流体的温度(K)、 纳米颗粒体积分数及微生物密度(kg·m-3)；T∞、C∞、N∞分别表示无穷远处纳米流体的温度(K)、 纳米颗粒体积分数及微生物密度(kg·m-3)； ν为运动粘度(m2·s-1)；α为纳米流体的热扩散系数(m2·s-1)；τ=(ρpcp)/(ρfcf)为纳米颗粒热容与基液热容之比；ρ为流体密度(kg·m-3)；c为比热容(J·(kg·K)-1)；DB为Brown扩散系数(m2·s-1)；DT为热泳扩散系数(m2·s-1)；Dn为微生物扩散率(m2·s-1)；b为趋化常数； ΔC=Cw-C∞；Wc为细胞游动的最大速度(m·s-1)；a为缸体半径(m)；U0为参考速度(m·s-1)；Vw为缸体拉伸速度(m·s-1)；l为特征长度(m).

引入如下无量纲变量：

(9)

式中：ψ为流函数.

则：

(10)

将式(9)、 (10)代入式(1)～(6)得：

(1+2ηγ)f‴+2γf″+ff″-f′2=0

(11)

(1+2ηγ)θ″+2γθ′+Pr(1+2ηγ)(NTθ′2+NBθ′φ′)+Prfθ′=0

(12)

(13)

(1+2ηγ)φ″+2γφ′-Pe[(1+2ηγ)(φ′φ′+φφ″+σ1φ″)+2γ(φφ′+σ1φ′)]+Scfφ′=0

(14)

式中： 曲率参数γ=[νl/(U0a2)]1/2，与缸体半径a成反比； Prandtl数Pr=ν/α，表示动量传递及热量传递效果之比； 热泳参数NT=τDT(Tw-T∞)/(νT∞)，用于描述在温度梯度不为0的流体中，纳米颗粒向较冷区域运动的现象； Brown运动参数NB=τDB(Cw-C∞)/ν，用于描述液体分子不停做无规则运动，不断随机撞击悬浮微粒的现象； Lewis数Le=ν/DB，定义为纳米流体粘度与布朗扩散系数之比； 生物对流Peclet数Pe=bWc/Dn，指在受迫运动传质时对流传递与扩散传递之比； 生物对流常数σ1=N∞/(Nw-N∞)； 生物对流Schmidt数Sc=ν/Dn，定义为动量扩散率和微生物扩散率之比.

边界条件(7)、 (8)变为：

1) 当η=0时，

f(0)=0，f′(0)=θ(0)=φ(0)=φ(0)=1

(15)

2) 当η→∞时，

f′(∞)=θ(∞)=φ(∞)=φ(∞)=0

(16)

局部表面摩擦系数Cfz、 局部Nusselt数Nuz、 局部Sherwood数Shz和微生物的局部密度数Nnz分别定义如下：

(17)

由相似变量(9)得：

(18)

式中：Rez=zVw/ν是局部Reynolds数.

2 数值方法

控制方程(11)～(14)和边界条件(15)、 (16)构成两点边值问题，由于是高阶非线性微分方程，解析法求解困难，可采用数值方法求解.先通过打靶法将其转化为非线性微分方程的初值问题，其基本思想是将边值问题中未知的初始值设为未知参数，从而将此问题看作是带有未知参数的初值问题，通过对参数赋值后，使边值问题转化为初值问题.采用Runge-Kutta法求解初值问题，由于一次赋值通常不能得到满足精度要求的解，通过牛顿迭代法可逐步调整初值参数，直到初值问题的解满足边值约束，即类似一个不断调整射中靶心的打靶过程.Runge-Kutta法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，它来源于泰勒公式，采用斜率近似表达微分，在积分区间多预算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出精度更高的数值积分计算方法.为了验证打靶法和Runge-Kutta法的有效性，将Pr取不同值时-θ′(0)的计算结果与文献[13, 16-17]的结果进行对比，结果吻合，如表1所示.

表1 Pr取不同值时的-θ′(0)(当γ=NT=NB=0时)

3 实验结果与讨论

图2给出曲率参数γ对速度f′(η)、 温度θ(η)、 体积分数φ(η)和微生物密度φ(η)的影响.由图2可知，在靠近缸体表面处(η值较小时)，速度、 温度、 体积分数和微生物密度均随曲率参数的增大而减小； 而在离缸体较远处(η值较大时)，速度、 温度、 体积分数和微生物密度均随着曲率参数的增大而增大.因为在缸体表面附近的粘性力所产生的阻力比远离缸体的粘性力所产生的阻力大得多，因此随着曲率参数γ的增大，缸体半径减小，对流体运动的阻力减小，在远离缸体时流体速度增大.另外，缸体半径减小，附着在缸体表面上的纳米颗粒和微生物数量亦减小，而这些颗粒通过热传导进行传热，因此缸体表面附近的体积分数、 温度和微生物密度均减小.

图3给出Brown运动参数NB和热泳参数NT对温度θ(η)的影响.由图3可知，Brown运动参数NB和热泳参数NT对温度的影响类似，NB越大，纳米流体Brown运动越剧烈，使对流换热强度增强，因此温度越高； 从物理上讲，对于较高的热泳参数值NT，热泳力增大，促进纳米颗粒从较热区域向较冷区域移动，导致热边界层厚度和温度增加.纳米流体的Brown运动和热泳现象大大提高了传统流体的传热特性.另外，温度升高还会进一步降低纳米流体粘度，改善纳米流体流动特性，纳米流体良好的散热效果可保证最终产品质量.

图4揭示Brown运动参数NB和热泳参数NT对纳米颗粒体积分数φ(η)的影响.由图4(a)可知，NB越大，体积分数越小.Brown运动参数NB是描述纳米颗粒在基液中随机运动剧烈程度的物理量，NB越大，颗粒无规则运动速度越快，浓度越低.NT的影响恰好相反，如图4(b)所示.从物理上讲，热泳力是温度梯度产生的，当热泳力增加时，纳米颗粒从热表面向外移动，使纳米颗粒体积分数上升.

图5给出Brown运动参数NB和热泳参数NT对微生物密度φ(η)的影响.由图5可知，Brown运动参数NB和热泳参数NT对微生物密度的影响趋势与对浓度的影响类似.从物理角度来看，NB越大，纳米颗粒在基液中随机运动越剧烈，纳米颗粒之间、 纳米颗粒与水分子之间相互碰撞，微生物运动时所受阻力增大，导致微生物密度下降.NT越大，热泳力越大，促进微生物生长，因此微生物密度上升.

图6给出生物对流Peclet数(Pe)、 Schmidt数(Sc)和生物对流常数(σ1)对微生物密度φ(η)的影响.由图6(a)可知，Pe对φ(η)影响较大，Pe越大，φ(η)越小.从Pe的表达式(Pe=bWc/Dn)可以看出，Pe与细胞游动最大速度Wc和趋化常数b成正比，与微生物扩散率Dn成反比，Pe越大，微生物平均游动速度越快，使微生物密度及其边界层厚度降低.随着Sc(Sc=ν/Dn)的增加，动量扩散率与微生物扩散率比值越大，微生物的生长速度受到抑制，微生物密度下降，见图6(b).由图6(c)可知，生物对流常数σ1(σ1=N∞/(Nw-N∞))越大，无量纲微生物密度φ(η)(φ(η)=(N-N∞)/(Nw-N∞))越小.

图7给出了曲率参数γ对局部表面摩擦系数f″(0)、 局部Nusselt数-θ′(0)、 局部Sherwood数-φ′(0)和运动微生物的局部密度数-φ′(0)的影响，其他物理参数的影响见表2.由图7可知，|f″(0)|、 -θ′(0)、 -φ′(0)和-φ′(0)均随着γ的增大而增大.意味着曲率参数越大，靠近壁面纳米流体流动速度越慢，而热扩散率、 浓度扩散率、 运动微生物迁移率均越大.由表2可知，当Pe=Sc=1，γ由0增大到1时，|f″(0)|、 -θ′(0)、 -φ′(0)、 -φ′(0)分别增大35.3%、 57.9%、 48.0%、 33.3%；Pe和Sc对f″(0)、 -θ′(0)和-φ′(0)的影响可以忽略不计，但对-φ′(0)的影响较大，当γ=Sc=1，Pe由1增大到3时，-φ′(0)增大156%；当γ=Pe=1，Sc由1增大到3时，-φ′(0)增大15.2%.

表2 其他物理参数下的流动及传热传质特性

4 结语

由于趋旋微生物对流能避免纳米颗粒团聚，解决纳米流体不稳定问题，可进一步促进高导热纳米流体在工程中的应用，因此研究含趋旋微生物的稳态二维纳米流体在可拉伸缸表面上的边界层流动现象，探讨各物理参数对速度场、 温度场、 浓度场和微生物密度场的影响，得出以下3个主要结论.

1) 在靠近缸体表面处，纳米流体速度、 温度、 体积分数和微生物密度均随着曲率参数的增大而减小，而在远离缸体表面时变化情况却相反；

2)Brown运动参数和热泳参数对纳米流体温度的影响类似，而对体积分数的影响却相反；

3) 微生物密度随着Brown运动参数、 Peclet数、 Schmidt 数和生物对流常数的增大而减小，而随着热泳参数的增大而增大.

以上结论可为类似物理模型边界层控制或实验配置适合不同应用场合的稳定纳米流体提供参考，进一步推进纳米流体在工程中的应用.