借助“局部整体化”思想,巧解三角函数题

李先锋

(甘肃省白银市平川中恒学校)

“局部整体化”思想是指为了便于分析、解决某些与代数式紧密相关的数学问题,需要将局部代数式看作一个整体(往往可进行换元处理),这样有利于根据相关理论知识使问题获解.一般地,处理有关y＝Asin(ωx＋φ),y＝Acos(ωx＋φ),y＝Atan(ωx＋φ)型三角函数问题的有效途径就是灵活运用“局部整体化”思想.具体解题时,首先需要将“ωx＋φ”看作一个整体,然后再灵活运用对应三角函数y＝sinx,y＝cosx,y＝tanx的图像与性质进行求解.请读者结合以下归类解析认真领会.

1 求三角函数的最值、值域

2 求三角函数的单调区间

一般地,当A＞0,ω＞0 时,我们只需将“ωx＋φ”看作一个整体,直接灵活运用y＝sinx的单调区间,即可得出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间;直接灵活运用y＝cosx的单调区间,即可得出函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间;直接灵活运用y＝tanx的单调区间,即可得出y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间.

3 求三角函数的对称中心、对称轴

综上,通过归类举例解析可知灵活运用“局部整体化”思想,有利于帮助我们顺利求解正弦型、余弦型以及正切型有关三角函数问题,体验由特殊到一般的解题推广过程,进一步提升直观想象、数学运算方面的核心素养.