一类Z2 等变Hamilton 向量场在分段低次多项式扰动下极限环个数的估计

曾 慧，李宝毅，张永康

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

1 引言与主要结果

Hamilton 向量场在扰动下的极限环个数的估计是常微分方程定性理论的研究热点之一，该问题与Hilbert 第16 问题密切相关[1].在旋转2π/q（q∈N+）角度下不变的平面向量场称为Zq等变向量场，其在平面Hamilton 向量场中具有举足轻重的地位[2-3]，相关学者对其扰动系统进行了大量研究[2-7].如，文献[2]证明了Z2等变三次系统至少有13 个极限环；文献[3]证明了Z2等变三次系统与Z2等变五次系统中心存在的同时性，并给出了相应的充要条件.近年来，工程学等应用科学涉及的模型中有很多都是非光滑的[8-9]，因而对于非光滑系统分支现象的研究也越来越受到重视[10-13].文献[10]将平面分为左右2 个区域，证明了在分段n次多项式扰动下，具有S(2)和S(3)平面环的二次退化Hamilton 系统分别在以平面环S(2)和S(3)为边界的周期解附近分支出的极限环个数不超过25n+149 和25n+115（计重数）.文献[11]将平面等分为3 个扇形区域，证明了一类分段线性Hamilton 系统在n 次多项式扰动下至少有2n+2[（n+1）/2]+2 个极限环.文献[12]将平面分为左右2 个区域，证明了Bogdanov-Takens系统在非连续分段n 次多项式扰动下极限环个数的上确界不超过16n+[n/2]-10.文献[13]研究了计算分段光滑近Hamilton 系统极限环个数的2 种方法：Melnikov函数法和平均法，证明了这2 种方法的等价性，并给出了平面分段近Hamilton 系统的二阶Melnikov 函数的表示.

本文将平面分为左右2 个区域，考虑一类Z2等

2 一阶Melnikov 函数

3 一阶Melnikov 函数零点个数的估计