带混合保费和投资复合Poisson-Geometric风险模型的生存概率

黄鸿君，覃利华

（1.广西民族师范学院 教育科学学院，广西 崇左 532200；2.广西民族师范学院 数理与电子信息工程学院，广西 崇左 532200）

在经典风险模型中，理赔过程为单一险种的风险经营过程，但随着保险公司经营规模的不断扩大以及新险种的不断开发，用单一险种的风险模型来描述风险经营过程是有一定局限性的，因此有必要对复合Poisson 模型进行推广，将单一险种推广为双险种。此外，经典风险模型假设保险公司在单位时间内收到的保费是某一固定常数，但是保险公司在实际业务中，在单位时间内还会收到不同保费的保单，这是服从某一分布的随机变量。为了改进和优化经典风险模型，文献[1]研究了一类常利率下带干扰且保费随机的复合风险模型的生存概率所满足的积分微分方程。文献[2]研究常利率下保费收入为复合Poisson过程，而理赔次数为复合Poisson-Geometric 过程的风险模型，得到生存概率所满足的积分方程及其在指数分布下的具体表达式。文献[3]研究一种索赔到达服从复合Poisson-Geometric 过程的二维风险模型，得到该模型的生存概率所满足的积分微分方程。文献[4]考虑常利率下存在红利界限和随机干扰的风险模型，得到生存概率和红利付款的期望现值分别满足的积分微分方程。文献[5]建立以保费收入服从复合Poisson 过程，理赔量服从复合Poisson-Geometric 过程的带投资的干扰风险模型，推导了生存概率的积分微分方程及在保费额和理赔量都服从指数分布下的微分方程。文献[6]考虑了确定风险投资和有界分红的复合Poisson-Geometric 风险模型，得到期望累积红利现值函数所满足的微积分方程。文献[7]讨论借贷利率的影响，建立了带有干扰的双Poisson-Geometric 的风险模型，得到无限时和有限时的相应微积分方程。文献[8]和文献[9]均是对Poisson-Geometric 风险模型做进一步推广，保费到达和索赔到达均采用Poisson-Geometric 过程，建立相应的风险模型，给出保费和索赔均服从指数分布时破产概率的具体形式。

本研究在以上工作的基础上对文献[5]的模型进行推广，增加了固定保费收入并把单险种推广为双险种，从而建立了保费收取为固定保费和随机保费并且带有投资收益复合Poisson-Geometric 过程的双险种模型，其中，固定保费服从线性增长过程，随机保费服从复合Poisson 分布，索赔过程均服从Poisson-Geometric计数过程。研究的目的是推导生存概率所满足的积分微分方程以及当保费、理赔过程服从特定指数分布时所满足的微分方程。本文将模型进行了推广，随着险种的多元化，应用全期望公式与积分变换公式推导生存概率的积分微分方程。相比原模型，一是分类情况增多，每个类别进行了一一讨论；二是推导证明的复杂程度增加，利用线性运算进行了推导化简整理。

本研究的内容结构如下：第1 节为模型的建立及介绍，第2 节为研究的主要结论及证明过程，第3 节为结论。

1 模型的建立及介绍

定义1 在概率空间(Ω, F,P)上，定义保险公司盈余过程为

并且θ＞0（当θ≤0时，必然会发生破产）。

定义2 破产时刻为T= inf{t:t≥0,U(t) ＜0}(infφ= ∞)，破产概率为ψ(u) = Pr(T＜∞|U(0) =u)，生存概率为φ(u) = 1 -ψ(u)。

2 主要结论及证明

证明：时间dt足够小时，结合引理1，在时间段（0，dt]内有下面5种情况：

（1）当随机保费收取，两类索赔发生次数均为0时，事件发生的概率为

在式（13）中，令η→∞，由引理2易知φ(∞) = 1，即φ′(∞) = 0。则

式（16）乘以(-α)加式（17），并化简得

定理得证。

3 结论

考虑到保险公司经营过程中会受到不确定随机干扰因素的影响以及保费的随机化和险种的多元化，本文建立了混合保费收取下带有随机干扰因素和投资复合Poisson-Geometric 过程的双险种风险模型，其更符合实际应用背景。最终推导了该模型生存概率所满足的积分微分方程，并且当保费、理赔过程服从特定指数分布时，得到其满足的微分方程。本模型还可以继续推广，增加分红、利率等随机的干扰因素，这需要进一步研究。