数学问题驱动学生深度学习的教学探索——以“二次函数”教学为例

赵 阳

(贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳，550001)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》中明确指出，义务教育数学课程应使人人都能获得良好的教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养[1].由此可见，随着新课改的推进，对学生的数学学习的要求有了很大的提高，使得教师和学生都面临着更加艰巨的任务和挑战，如何在数学教学中培养学生的核心素养如今已经成为了众多教师以及教学研究者亟待解决的问题[2].问题驱动是培养学生数学思维的有效方式，是促进核心素养发展的重要工具.当前的数学课堂中存在大量问题驱动的教学形式，但是依旧存在一定的问题，比如，课堂中存在大量的设问，且问题设置仅仅停留于知识的表层，不具有较强的探究性，这就使得问题驱动的教学流于形式.对于学生而言，只有对知识本身的认识和理解，而缺乏参与知识生成的过程和经历[3]，难以实现促进学生深度学习的目标.

1 基于数学问题驱动学生深度学习的理论分析

1.1 问题驱动的内涵

问题驱动是通过合理设置教学问题促进学生深度思考和解决问题的过程.问题驱动教学的实质是指要创设真实的问题，并赋予其有效的数学情境，通过教师引领，学生围绕问题情境进行探究发现，在解决问题的过程中体验数学的“再发现”过程，发现具体的数学知识，也能获得相应的数学思想方法[4].有效的问题驱动需立足于学生实际，创设问题情境，激发学生学习兴趣，并以问题串的方式，引导学生在问题驱动下积极参与数学探究活动，经历数学知识的形成，提升数学学习效率.通过问题驱动教学，能激发数学学习积极性，引导学生经历数学思考过程，有助于感受数学知识的本质，促进学生深度学习.

1.2 深度学习的内涵

数学深度学习指学生加深对数学本质的理解，提升学生数学思维能力、促进数学核心素养获得的学习过程[5].就中学生而言，数学深度学习的主要表现是数学核心素养的形成，具体体现在数学理解、数学抽象、问题提出、问题解决以及知识迁移等方面.数学深度学习立足于学生数学核心素养的发展目标，以数学知识为载体，通过教师引导，学生围绕数学学习任务，全身心投入到数学学习的过程.在教学中，教师应该通过创设适合的问题情境或是设置具体的学习任务，让学生积极参与数学知识的探究，亲身经历数学知识的形成，深刻感知数学知识的本质，发展学生的数学思维能力，促进学生学科核心素养的发展.

1.3 问题驱动对深度学习的影响

问题驱动是当前数学课堂教学中的基本模式，同时也是重要模式[2].问题是数学的心脏，有效的问题驱动能够促进学生积极参与数学知识的探索过程，促进学生对知识脉络的充分分析，帮助学生对知识本质进行深入理解.在数学课堂中教师要学会提问，问题的设置要立足于学生现状，积极引导学生参与到数学课堂中，深度地思考，深刻地感知，体会知识的形成过程，感悟数学的基本思想，总结数学基本活动经验，感受数学知识的本质.

当前的数学课堂中，存在大量形式化的问题驱动，许多教师为了迎合当前的上课风格，在课堂中设置大量问题串，但是对于学生的具体情况没有进行深入分析，数学问题没有进行精心的设计，导致提问的水平较低，提问的内容浮于表层，没有起到促进学生深度思考的效果，也无法让学生感受到数学知识的本质，难以达到深度学习的效果.因此，问题驱动教学的前提是对问题的精心设计.教师要对教学材料进行细致的分析，深入理解数学知识的本质，厘清知识的脉络，再立足于学生现状，精心设置合适的问题串，以便更好地达到问题驱动教学的效果.

2 教学过程

2.1 复习提问，回顾旧知

问题1：函数的定义是什么？

生：一般地，如果在一个变化过程中有两个量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数.

【设计意图】通过回顾函数的概念，引导学生记忆自变量与因变量之间的关系，加深对函数定义的理解.

问题2：我们学过哪些函数？这些函数的表达式是什么？

【设计意图】帮助学生回顾已学过的函数，加强学生对已学函数的记忆，同时也为本节学习二次函数奠定基础.

问题3:对于一次函数y=kx+b(k≠0)，为什么限制k≠0？

生：若k≠0，则关系式变为y=b，不是一次函数.

【设计意图】二次函数定义的学习可以类比一次函数，通过对一次函数表达式的回顾，能够类比获得二次函数，同时通过对k≠0的讨论可以为本节内容中a≠0提供模板，帮助学生更好地理解二次函数中a≠0的意义.

2.2 创设情境，激发兴趣

问题4：设正方形的边长为x，正方形的面积为y，y与x之间有什么关系？

生：正方形的面积等于边长乘边长，因此正方形的面积y=x2.

追问1：如果正方体的边长x发生变化，那正方体的表面积y与x之间有什么关系？

生：正方体的表面积等于6个全等的正方形的面积，因此正方体的面积y=6x2.

【设计意图】正方形的面积公式是学生所熟悉的，因此首先通过正方形面积这一简单的问题情境，让学生进行思考，获得关系式y=x2，再通过将题目中的正方形变化为正方体，将问题进行简单提升，难度上的变化较小，学生能够很快解决.在此过程中，使学生获得胜利的喜悦感，有效提升学生的积极主动性.该问题中，学生可以获得二次函数的一种情况，b=0，c=0即y=ax2(a≠0).

问题5：学校准备举办乒乓球比赛，有n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛场数m与球队数量n之间有什么关系？

【设计意图】在校园中各种比赛数不胜数，从学生感兴趣的话题出发，能够有效调动学生情绪，在该问题中，学生可以通过观察与思考，得到每一支球队会与(n-1)个队伍比赛，最后得到关系式.在该问题中，获得了二次函数的另一种情况，b≠0，c=0，即y=ax2+bx(a≠0).

问题6：某产品年产量为20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比前一年的产量增加x倍，那么今后两年该产品的产量y与x之间的关系应该怎样表示？

追问1：一年后该产品的产量是多少？

生：20(1+x)(t).

追问2：两年后的产量y与x之间的关系应该怎样表示？

生：y=20(1+x)(1+x)=20(1+x)2=20x2+40x+20.

【设计意图】该情境是来自于现实生活中的问题，相对于前面两个情境的问题，这个情境会更为复杂，因此可以通过分解问题，采用追问的形式先让学生将明年的产量表示出来，在明年的基础上再进行计算会更加简单，也更容易理解，同时所列出的关系式包含三项，与二次函数的一般形式正好对应，更便于学生观察.

2.3 问题驱动，获得概念

问题7：观察得出的4个关系式，回答下列问题：

追问1：上述四个关系式是不是函数？

生：这些关系式都满足函数的定义，所以它们都是函数.

追问2：它们有什么共同特点？

生：x的最高次数是2，等号两边都是整式.

追问3：能否用符号语言，描述它们的共同特征？

生：y=ax2+bx+c.

追问4：类比一次函数的定义给猜想它是什么函数？该怎样给它下定义呢？

师生互动：二次函数.一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c都是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项.

追问5：为什么规定a≠0？

师生互动：因为a=0，二次项的系数就为0，此时x的最高次就是一次，不是二次了.

追问6：b和c可以为0吗？

师生互动：若b=0，c≠0则有y=ax2+c(a≠0); 若b≠0，c=0，y=ax2+bx(a≠0)；若b=0，c=0，则有y=ax2(a≠0)，最高次数为2，依旧是二次函数，因此b和c可以为0.

【设计意图】以问题驱动的方式引导学生进行思考，将概念的探究分成一个个小任务去完成，简化概念探索的繁杂过程，教师通过问题引导，学生思考，有助于学生厘清概念的本质，促进学生的深度思考，加深学生的理解.

追问1：帮助学生回顾函数的概念，只有这些关系式是函数的情况下讨论其属于什么函数才有意义.

追问2：通过观察，发现二次函数的特征，归纳出上述关系式自变量的最高次为二次，等式两边都是整式.

追问3：将文字语言表示为符号语言，便于后面更快速地归纳出二次函数的定义.

追问4：一次函数自变量的最高次数为1，而此处的最高次数为2，自然就会想到二次函数，根据所归纳出的二次函数的符号，结合一次函数的定义，即可类比一次函数归纳出二次函数的定义.

追问5：只有a≠0，才能保证自变量的最高次数为2，才符合二次函数的定义.

追问6：在一次函数中若b≠0，则函数变为y=kx(k≠0)，此时它是一次函数的特殊情况正比例函数，同样的当b≠0，c=0时，y=ax2+bx(a≠0)；当b=0，c≠0时，y=ax2+c(a≠0)；b=0，c=0时，y=ax2(a≠0)，很明显三个式子都是满足二次函数定义的，通过问题的驱动，学生自主探究，能够加深学生对二次函数定义以及表达式的理解.

2.4 问题检验，体现认知

练习1：函数y=(m-2)x2是关于x的二次函数，求m的值？

练习2：函数y=(a-2)x(a2-4)是关于x的二次函数，求a的值？

练习3：函数y=ax2+bx+c(a，b，c都是常数)是二次函数吗？

练习4：为了扩大小区的绿化面积，决定将小区的一块长为30 cm，宽为20 cm的矩形绿地的长、宽各增加xm，请写出扩充后绿地面积y与x的关系式？

【设计意图】练习1-3是为了帮助学生加深对二次函数的理解，感受二次函数的本质，让学生体会到若y=ax2+bx+c是二次函数，必须满足二次项系数不能为0，最高次数必须是2.练习4是通过生活实例列出二次函数的关系式，让学生体会学习二次函数的意义，培养学生的数学应用意识.

3 教学反思

3.1 创设问题情境，促进学生深度思考

问题是数学的心脏，也是数学课堂的核心.数学问题驱动的关键是问题情境的创设，教师应创设有效的数学情境驱动数学教学，为学生提供一个可轻松探索的问题空间[6].引导学生快速地进入数学课堂，帮助学生体会内容的现实意义，厘清知识的概念与本质，帮助学生在数学问题情境中深度思考.

3.2 设置问题驱动，促进学生深度合作

数学学习是一个主动探索的过程，应给予更多的探索时间和空间.在教学过程中，教师要重视学生的主体地位，通过设计具有层次性的问题链驱动学生的数学思考，为解决数学问题指明探究的方向，给予学生深度合作的机会，帮助学生厘清概念，逐步深化对数学知识的认识，体会数学学习的意义和价值.

3.3 设置问题拓展，促进学生深度探究

爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”.教师在教学中要重视对学生问题意识的培养，问题拓展能有效促进学生的数学思考和探究，发散数学思维，是培养问题意识的重要手段.因此教师要在课堂中突出学生的主体地位，给予学生更多的思考时间和探究空间.通过设置拓展性的问题，让学生充分思考，深度探究，促进学生数学思维的发展，加强学生的数学问题意识.

3.4 开展课后评价，促进学生深度反思

课堂教学与课后反思相结合，不仅能加强学生的数学理解，也能培养其良好的学习习惯.在课后，教师可以采用相关试题让学生开展自评，培养学生独立解决问题的能力，并及时反馈学生的学习情况，进一步加深对所学内容的理解，让其在解决问题中发现问题，不断提升发现和提出问题的能力，从而激发学生的深度反思，促进学生核心素养的提升.