高等数学一流课程的建设与实践

孙艳蕊 宋叔尼

东北大学理学院，辽宁 沈阳 110819

在第十一届“中国大学教学论坛”上，教育部高等教育司司长吴岩做了题为“建设中国金课”的报告，提出了“两性一度”的金课标准。“两性一度”，即高阶性、创新性、挑战度。教育部《关于一流本科课程建设的实施意见》指出了一流课程建设的基本原则，其中包含了提升高阶性、突出创新性和增加挑战度。课程目标要坚持知识、能力、素质的有机融合，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维。教学方法要体现先进性与互动性，大力推进现代信息技术与教学深度融合，积极引导学生进行探究式与个性化学习。根据这一理念，东北大学（以下简称“我校”）自主开发了“大学数学网络学习平台”和高等数学MOOC，为学生提供学习平台与优质资源，以提升学生的自主学习能力。下面主要论述我校高等数学课程在这一方面的建设与实践。

一、改革教学方法，注重知识、能力、素质的培养

现代化人才的培养应以创新意识和创造性能力的培养为基础，因此构建创新型人才培养模式是高等数学教学改革的必然要求。以往墨守成规的教学方法和模式显然不再适合新形势的发展需要。新时代背景下，加强学生创造力的培养和潜能的开发，将传统与现代的内容有机结合，合理运用先进技术、科学方法和新理念培养学生的创新素质显得尤为重要。

数学教学是数学思维活动的教学。数学的思维活动过程大致可分为知识的发生和知识的整理两个阶段。知识的发生是指概念形成、结论被发现的过程；知识的整理是指用演绎的方法进一步理解知识、开拓知识的过程。因此，数学教学不应只是数学知识的讲授，而是要展现获取这些数学知识的思维过程，重视知识的发生过程，探索数学的发现过程。

美国当代认知心理学家哈佛大学布鲁纳教授指出：“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法。”因此，我们在讲高等数学的每个概念、定理时，应尽量讲解其发现过程，引导学生如何去发现、去猜想，激发学生对科学的兴趣，增强他们创造的信心，让他们觉得发明创造离自己并不遥远。下面举几个例子介绍我们的做法。

（一）Lagrange中值定理的“产生”

在讲授Lagrange 中值定理前，教师要求学生从几何角度讨论Rolle 定理结论的实质。学生很快发现，定理的结论在几何的表示曲线上存在一点，该点的切线平行于连接曲线端点的弦。让学生进一步观察与思考：如果将Rolle 定理中端点的函数值相等这一条件去掉，还存在相同结论吗？有的学生发现，将图形旋转一下，结论还是成立的。这时可以告诉学生，将这一结论用式子表达出来就是著名的Lagrange 中值定理。学生很兴奋，他们了解了“知识发现”的过程，能感觉到发明和创造并不神秘。这不仅增强了学生创造的信心和发明的欲望，而且调动了他们学习的热情，使枯燥的定理学习变得有趣起来。

（二）Lebesgue积分的“产生”

发现新知识的方法比教授学生科学知识更重要。我们讲的定积分是指Riemann 积分，该定义要求函数在讨论的区间上有界。问题来了：函数有界是否一定Riemann可积？这时，教师可以引导学生去找反例。从Riemann 和的极限出发，是否有这样的有界函数：无论怎样划分函数的定义区间，函数值在相应的小区间上变化都比较大，使得Riemann 和的极限不存在。在这样的分析引导下，有学生想到了Dirichlet 函数。通过让学生研究讨论Dirichlet函数在Riemann积分意义下的不可积性，使其发现Dirichlet 函数间断得比较“厉害”，Riemann积分分割的是函数的定义域，导致Riemann 不可积。引导学生变换一个角度思考问题：可否变分割函数的定义域为分割函数的值域，这样就能避免Riemann 积分对Dirichlet这样的函数所产生的缺陷。在这种分析的基础上向学生介绍Lebesgue 积分，学生会觉得Lebesgue 积分的出现很自然。这既开阔了学生的视野，介绍了新知识，又使学生了解了变向思维、逆向思维的方法。在展现获取数学知识的思维过程中，作为教师，我们也深深地感受到挖掘科学思维方法比数学活动的结果更重要。

（三）多元函数积分的“出现”

教师在开始多元函数积分的讲授之前，先让学生回忆分析定积分的概念。定积分的概念的实质就是分割、求和、取极限。分割什么？函数的定义域。对什么求和？对分割后得到的各个小区间上任一点的函数值与小区间“度量”的积求和。接下来再分析二元函数。一般来说，二元函数的定义域是平面区域、平面曲线。让学生类比定积分的定义，给出上述2 种情况“ 分割、求和、取极限”的过程，然后告诉学生这就是二重积分和平面上的第一型曲线积分。这些积分能不能再推广？再让他们分析三元函数，做相应的“分割、求和、取极限”，同时给和的极限“取名”。有些学生给出了“三重积分”“空间第一型曲线积分”“曲面积分”的名字和定义。通过这种类比教学，不仅激发了学生的学习兴趣，而且给了他们发明创造的信心和方法。

二、将数学建模的思想融入教学中，培养学生解决复杂问题的综合能力

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，可将数学建模的思想融入课程教学中培养学生的创新思维和创新能力。传统的高等数学教学过程一般侧重于概念、理论和解题方法与技巧的讲解，学生完成高等数学课程后，难以运用数学思想和方法解决实际问题。为此，我们在高等数学的教学过程中，要把数学建模的思想融入课堂教学中。

例如，在解释了闭区间上连续函数的零点定理后，我们再解释为什么平时坐的四条腿的椅子总能找到一个放稳的位置。表面上看，这和零点定理无关，但经过分析建模发现，这是一个典型的零点定理应用题。

首先做一些假设：（1）假设椅子的四条腿一样长，椅子腿是中心对称的；（2）地面高度连续变化，地面相对平坦，可使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。接下来将这个问题用数学语言描述出来，也就是建立模型：（1）将椅子的位置和四只脚着地的关系表达出来；（2）给出衡量椅脚是否着地的标准；（3）将问题抽象成数学问题。这就是将实际问题转化成数学问题，即建模的过程。

在每章的最后，教师都给出一个类似小型建模的题目，让学生可以在课上讨论也可以在课后自主完成。例如，在曲线曲面积分部分让学生证明Kepler 第二定律，在微分方程部分研究悬链线方程的建立等。这不仅培养了学生利用所学知识解决复杂问题的能力、数学应用能力，而且培养了学生学习数学的兴趣。

三、现代信息技术与教学深度融合，积极引导学生进行探究式与个性化学习

现代信息技术与教育教学的深度融合，促使一流课程建设成为当前高等教育发展的必然趋势。2010 年以来，我们在相关课题研究的基础上，集中力量进行了高等数学课程信息化建设，将多媒体引入高等数学课程的教学，自主构建了“大学数学网络学习平台”，开发了高等数学MOOC和与之配套的《高等数学》新形态教材。

（一）多媒体引入高等数学的教学

国家名师李尚志教授曾经说过，将“复杂抽象的概念和理论”变成“显然的东西”是建设精品课程的主要指导思想。而现代信息技术是实现这一思想的重要手段。将现代化教学手段引进课堂并不是简单地将讲义搬上屏幕，而是利用信息技术让抽象的数学在某种意义上变成启迪学生思想的“可视数学”。这不仅能培养学生学习高等数学的兴趣，活跃学生的数学思维，而且以前很难实现的教学过程也可以轻松实现。我们将信息技术引进课堂，取得了较好的教学效果。

例如，极限的思想、微元法的思想、泰勒多项式逼近函数等内容，这些过去我们只能让学生去想一个无限的过程，最后得出结论。其论证过程在黑板上根本无法形象、直观地显示出来，学生也难以理解。将多媒体教学引入高等数学教学后，利用数学现代化教学手段，以前在黑板上较难表现的函数极限过程、逼近过程，都可以直观、生动、形象地演示出来，这样将学生的抽象思维和形象思维紧密地联系起来，收到了较好的教学效果。例如，讲解定积分概念时，借助多媒体课件将求曲边梯形面积的分割、近似、求和、逼近四个步骤用动画演示。随着分割的不断加细（小矩形无限增加），小矩形面积的和无限地逼近曲边梯形的面积，直观上感觉小矩形面积的和已与曲边梯形的面积重合。通过这一过程的演示，学生进一步理解了极限的思想，也更好地理解了定积分的定义。

现代教育技术的应用使课堂教学更加丰富多彩，生动形象、寓教于乐的启发渗透式教学过程，既加深了学生对知识的理解，又激发了学生的学习兴趣，对提高学生综合素质起到了显著作用。

（二）自主研发“大学数学网络学习平台”，培养学生的自主学习能力

我们利用信息化技术自主研发了一个“大学数学网络学习平台”，平台包括学习系统和测试系统。学生学习各知识点后，可以进入学习系统自主练习。完成练习后，系统会自动批改并给出习题的解析，有利于学生了解自己对所学知识点的掌握情况。这样可以促进学生的平时学习，使其注重学习过程，培养学生的自主学习能力。每章结束后，由课程负责人给出测试模板，教师再根据自己的教学进度，生成不同的测试题，学生在规定时间内到数学实验中心进行测试。测试系统给出成绩，学生和教师都可以查看答题情况。教师能通过网络动态地了解学生自主学习的情况，并对教学安排及时做出调整，对学生进行个性化的指导。

（三）高等数学MOOC的建设

在线开放课程作为一种新兴的教育形式，极大地推动了教育教学改革。其不仅改变了学生的学习方式，而且改变了教师的教学方式，给学生的学习提供了更大的自主性，让学生获得了更多参与和互动的机会。教学模式从以教师为中心转变为以学生为中心。这就要求建设更新的教学资源，以满足新形势下教育教学的需求，同时，要改变教学方式，以适应学生学习方式的变化。

为了实现教学模式从以教师为中心向以学生为中心教学的转变，达到培养能力、传授知识的教学效果。2015 年底，我们开始了高等数学MOOC 的建设，精心设计，名师讲解并配以丰富的教学资源以及驻点问题、章节测验、作业、期末测试、概念辨析、课堂讨论等环节。2016 年9 月，我校高等数学MOOC 在“中国大学MOOC”平台上线，2018年被认定为国家精品在线开放课程。借助MOOC 资源，教师能更好地因材施教，为学生提供个性化授课方式，增强学生自主学习和独立思考的能力，逐步实现从教师为中心到学生为中心的转变。

（四）《高等数学》新形态教材建设

为满足“互联网+”环境下高等数学课堂教学改革的需要，实现教育教学与信息技术的深度融合，在多年教学改革的基础上，结合新形势下大学数学教育教学理念和教学方法的发展，我们开始了《高等数学》新形态教材的建设，并于2019年8月由高等教育出版社出版。

教材注重初等数学和高等数学的衔接。初等数学和高等数学在研究内容和研究方法方面有很大的不同，做好初等数学向高等数学的过渡是非常有必要的。在引言中，我们从问题出发，列举一些初等数学可以解决的问题，如匀速直线运动的速度与路程、规则图形的面积与周长、有限个数的和等。并对应地给出初等数学解决不了的问题，如变速直线运动的速度与路程、不规则图形的面积与周长、无限个数的和等。针对这些问题给出解决思路，指出高等数学研究的内容和方法。在讲授极限、导数、积分、级数等概念时，将这些问题都作为引例，让学生感觉到这些概念的产生都是有实际背景的。

教材突出数学思想的来龙去脉。每个概念和理论力求从实际问题或几何直观引入，揭示数学概念和公式的实际来源与应用，使学生更容易理解和接受。教材设置了思考、注以及扩展知识等，以引导学生思考问题，培养学生的数学思维。

与通常的高等数学教材不同，我们的教材将不定积分和定积分进行融合讲解。在变上限函数及其导数后很自然地给出原函数的概念，即讲完微积分基本定理后，自然地引出问题“如何求一个函数的原函数？”，再讲解不定积分的概念及其计算。这使原函数、不定积分概念的引出更自然，更符合学生的认知过程。将不定积分的计算和定积分的计算有机融合，使内容比较紧凑。将无穷级数放在上册的最后一章作为前面极限和积分的应用，构成了单变量的完整知识体系。将微分方程放在全书的最后一章，作为前面所学内容的应用。

四、考试模式的改革

2016年9月开始，我们将“中国大学MOOC”平台、自主构建的网络学习平台、在线测试系统进行有机结合，探索出了一套过程化考核模式。

一是借助MOOC 平台，学生根据课堂学习情况，在MOOC 平台上学习相应内容，根据课程进度，提交自己的作业到网上并完成作业互评。这部分占总成绩的10%。

二是借助网络学习平台，课程负责人根据教学进度按章节的知识点发布测试题，教师设定考试时间，学生按教师设定的时间上网按时完成测试。这部分占总成绩的15%。

三是教师日常考核：根据MOOC 作业以及单元学习、测试成绩，学生参与MOOC 的交流讨论情况以及学生的课堂表现和参与情况给出考核。这部分占总成绩的10%。

四是综合测试（期中+期末）：包括基本概念的理解、运算和推理能力、创新能力和应用能力的考核。这部分占总成绩的65%（15%+50%）。

这种考核模式将考试过程变为教育过程，变成素质和能力考核的过程，有利于培养学生的学习能力和研究能力。

五、结语

我们在高等数学课程建设方面虽然取得了一些成绩，但高等数学一流课程建设仍任重而道远，我们将以此作为起点，进一步提升高阶性、突出创新性和增加挑战度，努力使高等数学课程建设更上一层楼。