以解题教学中的数形结合发展学生学力——兼对数形结合运用的现状分析

房兵

江苏省苏州大学附属中学 215006

学力发展是初中、高中数学教学的重要目标，学力既体现在学生对新知的建构上，也体现在面对数学试题时能够准确确定解题方向、准确寻找解题工具上.学力的发展依赖数学思想方法的体验，数形结合思想作为数学的精髓，其在提升学生解题能力、培养学生核心素养等方面发挥着不可估量的作用.

首先，有利于解题能力的提升.面对抽象的“数”，学生常感觉记忆和理解都较为困难，容易出现混淆和遗忘，然“形”是直观的，二者有机结合可以实现化抽象为直观的目的，方便学生更好地记忆和理解.同时，若同一知识点可以从“数”和“形”两种形式加以表述，更有利于学生抓住问题的本质，掌握问题的来龙去脉，进而优化学生的认知.

其次，有利于思维能力的发展.“数”与“形”分别是抽象思维与形象思维的代表，将二者有机结合，让学生可以多角度、多层次、全方位去思考问题，有助于培养多向性思维.

另外，数形结合可以打破传统的“填鸭”教学模式，引导学生体验动手“画图”的乐趣，进而激发学习的积极性，使学生有更多的空间展示自己、发展自己.笔者分析了目前高中数学教学中数形结合应用的现状，并结合教学实践阐述了数形结合的应用价值，以期师生可以更加全面地认识到数形结合的作用，提升数形结合的应用意识.

数形结合应用的现状分析

数形结合虽然得到了广泛的重视，然其在应用中仍存在一些不足.梳理这些不足，是为了后续的教学中能够扬长避短，能够更有针对性.经过梳理，数形结合的不足可以归纳为如下三点：

（1）仅重视“以形助数”.从日常解题中可以看出，学生应用该方法时仅局限于“以形助数”，其主要原因是解题教学中侧重将“数”用“形”来表达，忽略了“数”对“形”的影响，进而使数形结合的应用过于局限和保守.

（2）仅视为解题工具.根据调研和学生反馈不难发现，数形结合主要应用于解题教学中，而新授课中应用较少，故学生仅将其视为解题工具，限制了数形结合思想的形成.究其原因是教师对教材把握不够，忽视了数形结合思想在数学学习中的重要意义，使得教学中习惯照本宣科，不重视对数形结合思想的挖掘与渗透，限制了学生思维的发展.

（3）应用意识不强.学生了解数形结合在解题中的作用，然学生因知识掌握不全面、对代数的几何意义的理解不到位、主观上感觉作图浪费时间……在这些主客观因素的影响下，限制了数形结合思想的发展.

基于以上三点分析，笔者以为高中数学教学尤其是解题教学，要发挥好数形结合的优势，就要充分认识到学生应用的不足之处，进而采用行之有效的教学手段加以引导，以促进学生的学力全面提升.

数形结合在解题中的应用

1.代数问题几何化

解决一些结构较为复杂、计算较为烦琐，有时还需要分类讨论的代数问题时，可以尝试转换思路，从代数的几何意义出发，将其转化为几何图形，这样往往可以简化解题步骤，使解题思路更加清晰明了.

题目解析：显然直接计算难以求解，根据题目中不等式的结构特征，可以将集合A与集合B的关系转化为圆与直线的位置关系.由A∩B≠可知，直线与圆必有交点，分析至此，解题思路打开了，问题求解也就水到渠成了.

图1

评注：本题为一道综合题，其在形式上考查的是集合问题，然求解过程中却需要应用不等式和圆方程的相关知识.本题求解的关键是根据不等式的表征，运用对圆方程及直线方程的认识，实现代数问题向几何问题的转化，进而达到“以形助数”的目的，使计算更简单，求解更方便.

2.代数问题直观化

线性规划问题是高考的核心考点之一，表面上看是不等式问题，然实则考查的是与直线相关的知识，因此解题时只有将其合理进行转化才能轻松解决问题.

例2已知变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n=（ ）

A.8 B.7 C.6 D.5

题目解析：例2若想顺利求解，首先就要根据约束条件画出对应的图形，通过观察找到可行域，即图2所示的阴影部分.由图2可知，直线y=－1交直线x+y=1 于点A（2，－1），交直线y=x 于点B（-1，-1）.作直线l：z=2x+y，则z为直线l在y轴上的截距.当直线l经过点A（2，－1）时，截距最大，此时z的最大值m=3；当直线l经过点B（－1，－1）时，截距最小，此时z的最小值n=－3.故m－n=6，因此答案是C.

图2

评注：例2为一个线性规划问题，解题时将条件转化为图形，进而找到可行域，接下来移动目标函数z=2x+y达到题目的要求.此方法也是解决线性规划问题的一个通用解法，通过转化可使已知更直观，问题更清晰，解题更简便.

3.巧妙构造，灵活转化

利用构造法往往可以解决数学上的一些难题和怪题，其应用及实现方式都较灵活，可以应用于不等式、分式、函数等多个知识体系.虽然构造法没有固定的模式可以套用，然其并非够不到、摸不着，要善于在日常练习中总结归纳，进而使其转化为数学经验.另外，构造法虽然实现方式灵活，然不能随意运用，首先，要有明确的目的性，要知道构造什么，想要达到什么效果；其次，要理清问题特征，依据题目特征进行构造，而非因构造而构造.构造法在数形结合中应用广泛，笔者列举下面两个实例，以引起学生对构造法的重视.

（1）借助构造法挖掘代数的几何意义.

例3已知x，y，z均为正数，求证：

题目解析：当看到例3时，大多数学生都想利用代数法直接两边平方进行求解，思路简单但计算量大，出错的概率高，因此需要尝试从其他思路求解.

图3

评注：学生解题时要避免就题论题，应仔细审题，认真联想，挖掘题目中隐藏的信息.本题虽是代数问题，却存在着隐藏的几何信息.本题求解时巧妙地应用了隐藏的几何信息，通过构造法挖掘出代数问题更多的几何意义，借助几何图形使问题简单化，通过构造法修建了一条从“数”到“形”的高速路，使问题更加生动直观.

（2）构造函数活用其图像与性质.

例4解关于x的不等式：＞x+a.

题目解析：为一个抽象不等式，直接求解难以打开思路，而构造函数往往会收到意外惊喜.

图4

评注：将不等式左右两边构造成学生熟悉的函数模型，构造后原问题转化成了求两函数的交点问题，这是处理不等式数量关系最常用、最简单的方法.教师在教学中要重视引导学生对解题方法和解题策略的经验积累，有了解题经验，当学生遇到相关问题时才能通过合理联想进行合理转化，使题目的求解思路更清晰，求解更容易.

本题通过构造法将不等式问题转化为函数问题，即利用函数性质和函数图像打开解题的突破口.利用构造法将不等式中的“数”与函数中的“形”结合起来，便于拓展学生的解题思路，使学生可以更好地从整体去把握问题，有利于解题效率的提升.直观的图像是解决抽象问题的通用工具，教师在教学中应重视引导和渗透，进而让灵活多变的构造法更好地服务于抽象问题.

总之，数学教学中要借助数形结合来提高学生学习的效率，发展学生的学力.只有这样才能让当前的数学教学得以有效优化.