基于神经网络和Laplace渐近方法的边坡可靠度分析

张东升， 舒苏荀， 龚文惠

(1. 华中科技大学 土木与水利工程学院， 湖北 武汉 430074；2. 武汉工程大学 土木工程与建筑学院， 湖北 武汉 430074)

岩土工程中存在大量的各种不确定性，而传统的确定性分析方法对岩土工程进行稳定分析时，通常将岩土体参数和简化模型等均作为确定的来考虑，用一个总的安全系数来评价岩土体的稳定性[1]，但实际工程中，影响岩土工程稳定性的各种因素例如土体几何参数、物理力学参数等多数为服从某种分布的随机变量[2]。因此可靠度理论渐渐被引入到岩土工程的稳定性分析中，为岩土工程设计及判断稳定安全性方面提供有力依据。与确定性分析方法相比，可靠度分析方法的最大优势在于评估岩土体稳定性时能考虑到各种不确定性因素的影响[3]。

目前求解可靠度主要的方法有JC法、二次二阶矩法，以及Monte Carlo法等；其中JC法最为常用，将功能函数泰勒展开取至一次项，求解相应的可靠度指标，但是当功能函数高度非线性时，用该法求解会产生较大误差；此时宜采用二次二阶矩法，通过计算功能函数的二阶导数，考虑极限状态曲面在验算点附近的凹向、曲率等非线性性质[4]，可在一次二阶矩方法上进一步提高可靠度分析精度。可靠度计算方法均需显式的功能函数表达式，然而岩土体内部应力应变关系等较为复杂，难以采用解析方法得出其显式的功能函数表达式，故现阶段常用极限平衡法给出对应的功能函数表达式，但该方法因引入过多假设和简化条件，致使计算结果误差较大。

随着近年来人工神经网络的蓬勃发展，为该问题的解决提供了新思路，张杨杨等[5]介绍了应用较为广泛的BP神经网络、RBF神经网络以及与深度学习密切相关的卷积神经网络(Convolutional Neural Networks,CNN)的基本理论，阐述了神经网络技术在岩土工程领域的应用；舒苏荀等[6]提出一种神经网络改进模糊点估计法，利用拉丁超立方抽样法和径向基函数神经网络(Radial Basis Function Network,RBF)建立了边坡安全系数的预测模型；左育龙等[7]基于BP神经网络四阶矩法，较为精确的求解出边坡可靠度。鉴于BP神经网络结构能较精确地逼近原功能函数的优点，故本文采用BP神经网络模型来拟合各类隐式、非线性程度高的功能函数，并结合二次二阶矩法中的Laplace渐近方法进行相应失效概率的计算，为岩土工程可靠度分析研究提供新的思路和方法。

1 BP神经网络分析方法

1.1 拉丁超立方抽样

拉丁超立方抽样是McKay等[8]提出的一种能够同时对多个独立或相关的基本随机变量进行抽样的方法，属于多维分层抽样方法。对岩土体的各随机变量参数X1,X2,…,Xn利用拉丁超立方抽样法进行抽样的具体步骤如下：

(1)将每个随机变量Xi(i=1,2,…,n)的分布区间分成M个子区间(M为所需抽取的样本数)xk1

(2)利用逆变换法在基本变量Xi(i=1,2,…,n)的每个子区间内抽取一个样本，从而保证每个随机变量均获得M个抽样样本。

(3)将X2的M个抽样样本随机地与X1的M个抽样样本组合配对，从而形成一个M×2维矩阵，而后将X3的M个抽样样本随机地与该矩阵组合配对，以此类推，将X4,X5,…,Xn各自的抽样样本随机组合到该矩阵，最终形成一个M×n维矩阵R，矩阵R的每一行和每一列都是完全随机的，此时矩阵R的每一列即为一组抽样样本，抽样完成。

拉丁超立方抽样法产生的样本均匀产生在各个小区间内，以较少的采样次数获得较高的采样精度，相对于简单随机抽样，拉丁超立方抽样法产生的样本具有更好的均匀性和代表性，大大增加了抽样效率，且不像正交设计法和均匀设计法一样受基本变量数目和次数的制约，其具体抽样过程可通过Matlab软件实现；基于上述拉丁超立方抽样的优点，本文采用该方法对岩土工程中的随机变量参数进行抽样，生成神经网络的输入样本。

1.2 BP神经网络结构

在各种人工神经网络算法中，采用误差逆传播算法的多层前向型神经网络，即BP神经网络应用最为广泛[9]。其单个神经元结构如图1所示。

图1 BP神经网络单个神经元结构

设神经元的输入向量为X=(X1,X2,…,Xn)T，相应的连接权向量为W=(W1,W2,…,Wn)T,阈值为θ；Z=WTX为神经元的接收值即输入变量，故神经元的输出变量为

(1)

式中：f(·)称为传递函数或激活函数。

为方便公式推导，通常将阈值θ也当作连接权来考虑[4]，上式(1)可对应简化为

(2)

神经网络在训练过程中，不断修改权矩阵，使得输出向量Y=(Y1,Y2,…,Yn)T，与理想输出向量T=(T1,T2,…,Tn)T的误差e最小[10]。

1.3 功能函数表达式及其导数推导

只要选择适当的隐含层神经元个数，用一个隐层的BP神经网络就足以拟合任何形式的功能函数[11]。故本文选用一个三层BP神经网络结构来拟合岩土体安全系数与各随机变量的关系。

图2中，X1，X2，…，Xn表示影响岩土体稳定的各个随机变量，Y表示岩土体安全系数值fs。岩土体安全系数与各随机变量的映射关系式为

图2 三层BP神经网络结构

(3)

由神经网络模型得到的岩土体安全系数与随机变量的映射关系式为fs=g(X)，进而构造出岩土体失稳的功能函数为[12]

Z=fs-1.2=g(X)-1.2

(4)

BP神经网络的传递函数必须可微，本文采用Log-sigmoid函数作为隐含层的传递函数，Purelin函数作为输出层的传递函数[11]。

Log-sigmoid函数

(5)

Purelin函数

f(x)=ax+b

(6)

将式(5)，(6)带入式(3)，可得出BP神经网络输入变量与输出变量之间的映射关系表达式

(7)

式中:参数wij，wj1，a，b，在BP神经网络样本训练完后，均可通过Matlab程序导出具体数值。

2 Laplace渐近方法求解可靠度原理

设Y=(Y1,Y2,…,Yn)T为独立标准正态随机变量，功能函数为Z=gY(Y)。失效概率表达式为

(8)

利用Laplace渐近方法计算上述失效概率值时，需用到含有大参数λ(λ→∞)的Laplace型积分公式[13]

(9)

式(9)中的被积函数在最大值位置邻域内的性质决定了该式的性质。若函数h(x)和g(x)二阶连续可微，p(x)连续，h(x)仅在积分区域边界{x|g(x)=0}上的一点x*取极大值，则式(9)的积分值可渐近表示为[14]

(10)

其中

J=[∇h(x*)]TB(x*)∇h(x*)

(11)

式中:矩阵B(x*)为下面矩阵C(x*)的伴随矩阵

(12)

为利用式(10)计算式(8)，可选取一个大数λ(λ→+∞)，满足

Y=λV

(13)

该变换的雅可比行列式为detJYV=λn。将式(13)代入式(8)，得

(14)

式(14)表达的积分也为式(9)所示的Laplace型积分，且p(V)=λn/(2π)n/2，h(V)=-VTV/2。函数h(V)在V空间的坐标原点v=0处取最大值，而对于一般可靠度分析问题，v=0点在可靠域内，这说明h(V)在失效域面上一点v*=y*/λ存在极大值，故该失效概率pf值主要取决于失效面上使h(V)取得极大值的点v*，以及失效面在点v*附近的凹向、曲率等非线性性质。由可靠度指标β的几何意义知[4]，这一关键点v*就是V空间内结构的验算点。如果功能函数二次可导，根据式(10)，上式(14)的渐近积分值为

(15)

其中

J1=[∇h(v*)]TB1(v*)∇h(v*)=v*TB1(v*)v*

(16)

而B1(v*)为下面矩阵C1(v*)的伴随矩阵

∇2gY(λv*)

(17)

将式(16)代入式(15)，并注意到β的几何意义即β2=y*Ty*，式(15)可在Y空间内写成

(18)

式中

J=y*TB(y*)y*

(19)

而B(y*)=B1(v*)为下面矩阵C(y*)=C1(v*)伴随矩阵

(20)

考虑到β一般为较大的正值，φ(β)≈β·Φ(-β)，式(18)又可写成

(21)

利用Laplace渐近方法求解可靠度，除了需要用到显式功能函数表达式g(X)，还需要计算g(X)的一阶、二阶导数[15]。利用复合函数求导方法，对式(3)求一阶导数：

(22)

式(22)中

(23)

(24)

对式(22)再次求导可得功能函数的二阶导数

(25)

3 可靠度计算步骤

基于BP神经网络和Laplace渐近方法的可靠度分析计算步骤如下：

(1)确定影响岩土工程稳定的随机变量因素及相应的统计特征，使用拉丁超立方抽样确定神经网络输入样本。

(2)根据输入样本建立岩土体的有限元模型，赋予相应参数和设置边界条件等后进行数值模拟分析，得到对应的安全系数值即神经网络的输出样本。

(3)将输入样本和输出样本带入神经网络进行训练并测试其拟合效果，通过训练好的神经网络模型神经元之间的函数关系，利用式(3)～(7)推导出功能函数的显式表达式。

(4)基于功能函数的显式表达式，通过式(22)～(25)计算其一阶、二阶偏导数，利用式(14)～(21)中的Laplace渐近方法求出相应的的失效概率。

4 算例分析

本文采用如图3所示的简单均质边坡作为算例，来详细介绍基于BP神经网络和Laplace渐近方法的可靠度分析计算过程，并验证其可行性和精确性。

图3 边坡计算断面/m

边坡坡高H=10 m，坡角α=35°，重度γ=17.8 kN/m3，弹性模量E=10 MPa，泊松比μ=0.3，粘聚力c=20 kPa，内摩擦角φ=25°。这里考虑γ，c，φ为相互独立的随机变量，其统计特征见表1。

表1 边坡随机变量的统计特征

在确定边坡参数后，利用1.1节提出的拉丁超立方抽样法对边坡随机变量进行抽样产生600组数据，作为神经网络的输入样本，然后采用基于ABAQUS的强度折减法进行数值分析，计算出对应的边坡安全系数值，即为神经网络的输出样本。

随机抽取其中的550组样本数据带入BP神经网络进行训练，余下的50组样本数据对训练好的神经网络模型进行测试。可在训练前对样本数据进行归一化处理，从而提高BP神经网络的训练效率。所建BP神经网络模型的拟合效果如图4所示。

图4 BP神经网络预测值与ABAQUS计算值对比

如图4所示，除了第16组和第40组测试样本数据，其余大部分测试样本安全系数的预测值和计算值能较好吻合，但是这两组测试样本数据的误差均在可接受范围内。故所建的BP神经网络模型可用于边坡安全系数的预测以及后续边坡功能函数显示表达式的推导。

从Matlab软件中导出输入层到隐含层和隐含层到输出层之间的权值及阈值，即BP神经网络输入层、隐含层、输出层之间的连接权重和偏差，带入式(3)～(7)可得出输入变量(重度、粘聚力和内摩擦角)和输出变量(边坡安全系数)之间的映射关系式，经过反归一化处理，可推出边坡功能函数表达式为：

Z=-0.1341K1-0.5223K2+0.4526K3+0.0131K4+1.5637K5-0.0585K6+0.92992K7+1.5274

(26)

式中：

为验证上述所建立的边坡功能函数显式表达式是否准确可行，依据表1随机变量的取值范围，再由拉丁超立方抽样法随机生成10组样本数据，分别用式(26)功能函数表达式和基于ABAQUS的强度折减法计算对应的边坡功能函数值，结果见表2。

表2 边坡功能函数值计算结果对比

表2中，用两种方法计算这10组样本数据所得到的功能函数值基本相同，最大绝对误差不超过0.02；这种误差可能是由两方面原因产生的：(1)BP神经网络模型的预测误差；(2)推导功能函数表达式过程中，对式(26)中部分数值进行了四舍五入的处理；因此该功能函数表达式可用于后续边坡失效概率的计算。

基于BP神经网络建立的边坡功能函数显式表达式，利用蒙特卡洛法(106次)计算该边坡的失效概率值；采用第2节中提到的偏导数求解，将功能函数对基本变量求一阶、二阶导数后，利用JC法、Laplace渐近方法计算该均质边坡的失效概率；将计算结果与蒙特卡洛法(106次)对比，结果见表3。

表3 不同可靠度计算方法计算结果对比

以蒙特卡洛法(106次)计算结果为边坡失效概率参考值，Laplace渐近方法的相对误差为2.97%，JC法的相对误差为6.06%；表明利用Laplace渐近方法进行可靠度计算的结果精度高于JC法，且收敛速度明显高于蒙特卡洛法，具有较高的计算效率。

5 结 论

本文提出了基于BP神经网络和Laplace渐近方法来求解岩土工程可靠度问题，并结合具体边坡算例，利用BP神经网络模型来拟合边坡的隐式功能函数，采用Laplace渐近方法计算边坡的失效概率，分析表明：

(1)BP神经网络在拟合岩土体功能函数方面具有显著优势。通过与有限元数值模拟计算结果对比表明，即使功能函数为隐式且存在高度的非线性，BP神经网络模型仍能够精准地逼近这种映射关系，并可通过神经元之间的函数关系，推导出对应的显式表达式，极大改善了传统响应面法的精度；

(2)基于BP神经网络模型建立了均质边坡安全系数预测模型，针对同类型的边坡，直接带入相应参数值即可直接求出相应的边坡安全系数，无需进行繁杂的有限元建模计算过程；

(3)通过实际算例表明，Laplace渐近方法的计算精度高于常用的一次二阶矩法中的JC法，且较于蒙特卡洛法无需进行多次重复计算，结合含有大参数的Laplace型积分公式即可一次算出结果，计算效率高。

本文方法验证是以均质边坡作为算例，对于非均质边坡该方法同样可行。