EMS型高速磁浮列车 - 桥共振分析

李贻材

(中铁十一局集团第一工程有限公司， 湖北 襄阳 441104)

磁浮列车 - 桥梁耦合振动系统中包含车辆子系统、桥梁子系统、控制子系统和轨道不平顺，是一个电能、机械能相互转换的复杂系统。国内外对磁浮车 - 桥耦合振动特性进行了大量研究。Zhao等[1]对高速磁悬浮列车随机振动和行走质量进行了分析。Han等[2]研究了中低速磁悬浮列车桥耦合振动。武建军等[3]分析了EMS磁浮列车/多跨简支梁桥梁系统的动力学特性。滕延锋等[4,5]对磁悬浮列车在三跨连续梁上通过时轨道的振动反应进行了数值仿真。Yau[6～8]对神经网络PI控制下的简化磁悬列车桥耦合振动进行了研究。Kong等[9]对比了悬浮列车分别采用反馈控制、线性二次高斯控制(LQG)和滑模控制(SMC)的车桥振动。时瑾等[10]探讨了随机不平顺激励下磁浮车辆轨道梁的动力响应。周劲松等[11]利用虚拟激励分析了磁浮车辆运行平稳性。

以上文献中分别对不同系列磁浮列车、不同类型桥梁、不同控制方法和轨道不平顺下的车桥耦合振动进行了研究，但都没有涉及促使磁悬浮列车产生共振的行车速度和自振频率，以及简支梁桥对磁浮列车的激励频率。为此，本文从磁浮列车 - 桥耦合振动出发，自编程序对EMS(Electromagnetic Suspension)型高速磁浮列车驶过多跨简支梁桥过程中多跨简支梁桥梁的激励频率及车体和悬浮架的自振频率和共振速度进行详细分析。

1 磁浮列车 - 桥耦合振动模型及动力方程

EMS型磁浮列车是依靠固定在悬浮架上的电磁铁与轨道上永磁体之间产生吸力而悬浮车体，分为中低速磁浮列车和和高速磁浮列车。以德国高速磁浮列车TR06系列为研究对象，单节列车可简化成一个车体和四个悬浮架(图1)。车体与悬浮架通过弹簧阻尼器连接，悬浮架与桥梁之间的电磁力简化成4个集中力，能够满足文献[12]中规定的均布电磁力数量假定的精度要求。

图1 高速磁浮列车简化模型

1.1 电磁力方程

电磁力与电流和气隙成非线性关系，电磁力的表达式为[9]：

(1)

式中：Fi为第i个电磁力；μ为磁导率；A为间隙处电磁铁铁芯的横截面积；N是电磁铁线圈的匝数；hi是悬浮架上电磁铁与轨道之间的气隙；ii为控制电流，下标i的取值为1～16。

任何非线性都存在一个平衡点，对非线性电磁力在平衡点泰勒级数展开进行线性化处理，考虑一阶电流项和气隙项，即：

Fi=F0+ΔFi

(2)

(3)

(4)

电压、电流之间的关系式可表示[13]：

(5)

式(2)～(5)中：F0为平衡点处的电磁力；ΔFi为动态电磁力；h0为额定气隙；i0为额定电流；M为悬浮列车总体质量；g为重力加速度；R为线圈电阻；Δii为动态输出的电流；Δhi为电磁力所对应的悬浮架与桥梁之间气隙；ΔUi为控制反馈电压。

控制电压ΔUi采用悬浮架加速度、悬浮架速度和气隙间的相对变化位移反馈，即：

(6)

Δhi=yei-yqi

(7)

表1 控制系统参数

(8)

1.2 高速磁浮列车模型及动力方程

假定车体和悬浮架为刚体，每个刚体考虑沉浮和点头两个自由度，一个车体和4个刚体共有10个自由度。车辆的位移向量为Xm={yc,θc,yb1,θb1,yb2,θb2,yb3,θb3,yb4,θb4}，单节磁浮列车的动力方程表示如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中:下标j取值为1～4;mc和mb分别为车体和悬浮架的质量；Ic和Ib分别为车体和悬浮架的转动惯量；yc和yb j分别为车体和悬浮架的竖向位移；θc和θb j分别为车体和悬浮架的转角；ks和cs分别对应刚度系数和阻尼系数；c0为弹簧间距的一半；r0为电磁力间距的一半;b0为相邻电磁力间距的一半。对式(9)～(12)中的元素采用“对号入座”法形成列车的总体动力方程如下：

(13)

式中:Mm，Cm和Km分别为磁浮列车的整体质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；ΔFe为动态电磁力列向量。高速磁悬浮列车主要参数如表2所示[1]。

表2 高速磁悬浮列车参数

1.3 简支梁桥动力方程

由于磁浮轨道刚度远小于简支梁桥的刚度，不考虑磁浮线路轨道的影响，把轨道梁简化成简支梁。简支桥梁的振动运动方程为：

(14)

式中:EI为抗弯刚度；Cv为桥梁阻尼；mv为桥梁线密度；Fe为作用在桥梁上的电磁力；yq为桥梁竖向位移。

式(14)可通过阵型叠加法求解，由于简支梁高阶阵型对桥梁的竖向振动响应影响不大，仅考虑前5阶阵型，桥梁竖向位移可表示为：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

式中:L为简支梁长度；ξ为桥梁阻尼系数；ωn为桥梁第n阶固有频率；Xn为桥梁位移的广义坐标；φn为桥梁的第n阶阵型。桥梁参数如表3所示[1]。为方便计算，公式(16)的矩阵形式可表示为：

表3 桥梁参数

(20)

2 磁悬浮列车 - 桥耦合计算程序

悬浮列车 - 桥耦合计算程序主要分为列车、桥悬浮控制系统和桥梁3个子系统，悬浮控制系统产生的电磁力同时作用在列车和桥梁上。3个子系统对应的动力方程分别见公式(8)，(13)，(20)，采用显式的四阶龙格 - 库塔方法进行求解，无需任何迭代。自编计算程序的基本流程如图2。程序计算过程中，率先在数据文件中输入计算步长、行车速度、反馈控制参数等基本参数，再将已经准备好的桥梁质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵导入计算主程序。然后采用龙格库塔方法对动力方程(车辆结构动力方程、控制电流方程和桥梁动力方程)进行求解，得到当前时间步的车辆、电流和桥梁的动力响应，并作为下一时间步的初始条件，依次计算直至计算时间完成。最后导出计算结果并保存。

图2 动力计算流程

3 磁浮列车 - 桥梁耦合计算程序正确性的验证

高速磁浮列车TR06以速度400 km/h通过多跨长度为24.768 m的简支梁桥，计算参数如表1，2。不同工况下车体振动稳定后的加速度曲线如图3所示，简支梁桥跨中位移曲线如图4。弹簧和阻尼替代电磁力的车桥耦合振动计算结果与文献[1]相同，说明程序在此工况中对于计算磁浮列车/桥梁耦合振动的正确性。当选取不同反馈控制参数，车体和桥梁振动响应结果能与弹簧阻尼代替电磁力的车桥耦合振动结果相近。

图3 车体振动稳定后的加速度随时间的变化曲线

图4 桥梁跨中位移随时间的变化曲线

4 高速悬浮列车 - 桥梁耦合振动中磁浮列车共振分析

4.1 磁浮列车振动响应频率分析

高速磁浮列车TR06以100 km/h的速度通过连续多座长度为24.768 m简支梁桥，车体和悬浮架竖向振动如图5所示，频谱分析如图6(图中D为车辆行驶距离)。悬浮架1和悬浮架4的振动幅值以及悬浮架2和悬浮架3的振动幅值都相差不大，其中车体和悬浮架振动响应稳定后做频率相同的简谐振动。图6为了使振幅显示清楚，横坐标频率仅到3 Hz，3 Hz内存在两个主频，分别是1.12,2.24 Hz，2.24 Hz对应的振幅远比1.12 Hz小。磁浮列车 - 桥竖向耦合振动过程中，车辆、桥梁和控制力三者之间相互关联、相互影响，桥梁和悬浮架动力响应时刻的改变促使气隙发生变化，从而改变电磁力的大小，进而影响桥梁和悬浮列车的振动状态。在车辆、桥梁和电磁力这三者相互变化过程中，互相改变的只是振幅和相位，频率并没有变化(图6)。

图5 悬浮列车经过不同桥梁时的动力响应

图6 悬浮列车振幅随频率的变化曲线

4.2 磁浮列车振动稳定后的响应频率计算

磁浮列车车体和悬浮架动力响应稳定后的频率相同，其车体最大振幅对应的频率随速度的变化如图7。图中散点拟合函数的比例系数为0.011，线性相关度的平方0.9999近似于1，说明车体和悬浮架振动稳定后的频率与悬浮列车速度完全成正比。3.6倍于简支梁桥长度24.768 m的倒数为0.0112，这与正比例系数0.011十分接近了。因此，车体和悬浮架的稳定后的振动频率数学表达式为：

图7 车体振动稳定后的响应频率随车速的变化曲线

(21)

式中：v为列车行驶速度；L为简支梁桥长度；f为桥梁对悬浮列车的激励频率。由于磁浮列车悬浮架与桥梁之间的气隙总是趋向于额定气隙10 mm，因而悬浮架下电磁力对应桥梁位置的桥梁竖向位移影响着悬浮列车的动力响应，磁浮列车跟随着桥梁上下振动。当列车以速度v驶过多座长度为L的相同桥梁时，电磁力对应桥梁位置的桥梁竖向振动周期为3.6L/v，进而导致磁浮列车车体和悬浮架响应稳定后的振动频率为f。因此，磁悬浮车桥耦合振动过程中，列车所受桥梁动力响应的激励频率为f。此结论与文献[15]中提出的车桥耦合共振理论完全相符，这也说明磁浮车 - 桥振动中也存在共振现象。

4.3 悬浮列车自振频率和共振速度分析

不考虑桥梁的影响，悬浮列车在位移脉冲激励下的动态响应频谱分析如图8，其中脉冲激励函数的高度为1 m，宽度为10-6s。由于脉冲激励时间足够短，列车车体和悬浮架做衰减的自由振动，可得到车体的自振频率为0.72 Hz，4个悬浮架的自振频率都为3.95 Hz。由式(22)，(23)计算可得车体的共振速度为63.8 km/h，悬浮架的共振速度为352.2 km/h。

图8 脉冲激励下悬浮列车振幅随频率的变化曲线

vc=3.6Lfc=63.8 km/h

(22)

vb=3.6Lfb=352.2 km/h

(23)

式中:vc，vb分别为悬浮列车车体和悬浮架的共振速度；fc，fb分别为悬浮列车车体和悬浮架的自振频率。

4.4 悬浮列车共振速度正确性的验证

悬浮列车车体和悬浮架振动稳定后振幅随速度变化曲线如图9。车体的动力响应普遍比悬浮架小，车体与悬浮架之间的弹簧阻尼能做到很好的减振，以保证乘客的舒适性。车体和悬浮架的振幅先增大后减少，达到最大值的速度不一致，车体在速度为63.8 km/h时振幅最大，悬浮架在速度为352.2 km/h时振幅最大，这与通过车体自振频率求解的共振速度相符合，说明通过公式(19)转换求解共振速度的正确性。高速磁浮列车在低速行驶时应尽量避开车体的共振速度63.8 km/h，高速行驶时应尽量避开悬浮架的共振速度352.2 km/h。

图9 悬浮列车振动稳定后的响应幅值随速度的变化曲线

5 结 论

通过自编程序，本文建立了磁浮列车 - 桥梁耦合振动模型，在此基础上分析了桥梁对磁浮列车产生的激励频率。通过本文研究可得到如下结论：

(2)采用脉冲函数作为磁浮列车和控制力的外界激励输入，数值模拟求解了磁浮列车车体和悬浮架的自振频率，其中车体的自振频率为0.7155 Hz，悬浮架的自振频率都为3.95 Hz。

(3)利用频率与行车速度和桥梁长度的关系式换算出悬浮列车车体和悬浮架的共振速度分别为63.8，352.2 km/h，悬浮列车车体和悬浮架振动稳定后的振幅随行车速度增大先增大后减少，其振幅的最大值都在共振速度处。