偏序集及其相关拓扑的连通性

雷流平, 邹志伟

(南华大学 数理学院, 湖南 衡阳,421001)

从序结构出发, 可以构造偏序集上若干拓扑结构。例如, 给定一个偏序集, 可以赋予该偏序集Scott拓扑、上(下)拓扑、区间拓扑和Lawson 拓扑等等。拓扑工具的引入极大地促进了偏序集理论的发展, 连通性是重要的拓扑性质, 因此对偏序集上相应拓扑连通性的研究是一项非常有意义的课题。

在文献[1]中, 徐罗山和唐照勇引入了偏序集连通性的概念, 并对Alexandrov 拓扑和Scott 拓扑的连通性及局部连通性做出了一些研究, 得到以下结论: (1) 一个偏序集是序连通的当且仅当它赋予Alexandrov 拓扑是连通的, 也当且仅当它赋予Scott 拓扑是连通的;(2) 每一偏序集赋予Alexandrov 拓扑是局部连通的, 每一偏序集赋予Scott 拓扑是局部连通的;(3) 如果拓扑空间的特殊化偏序集序连通, 则该拓扑空间是连通的。

基于已有拓扑空间连通性的相关结论, 本文进一步研究Scott 拓扑、上(下)拓扑的连通性、连通分支和局部连通性。首先利用拓扑空间连通性的概念对Scott拓扑和上(下)拓扑的连通性进行等价刻画, 然后根据文献[1]中偏序集的序连通性和连通分支, 得到序连通性与Scott 拓扑、上(下)拓扑的连通性之间的关联, 进而得到上(下)拓扑局部连通性的条件。

1 预备知识

下面给出一些需要用到的知识[2-4]: 设P为一个非空集合, 则P上满足自反性、反对称性以及传递性的二元关系称为P上的偏序关系, 记作“≤”。设“≤”为P上一个偏序关系, 则称（P,≤）为一个偏序集, 此时也简称P为偏序集; 若D为P中的非空子集, 且对于任意的x,y∈D, 存在z∈D, 使得x≤z,y≤z, 则称D为定向集; 若X为P中的一个子集, 记Xl= {a∈P:a≤x, ∀x∈X⊆P},Xu= {a∈P:x≤a,∀x∈X⊆P}, 则称Xl为X的下界集, 称Xu为X的上界集; 记 ↑X= {y∈P: ∃x∈X,x≤y},↓X= {y∈P: ∃x∈X,y≤x}, 若X=↑X, 则X为一个上集, 若X=↓X, 则X为一个下集。X在P中的最小上界若存在, 则称之为X的上确界, 记为supX; 对偶有X在P中的最大下界若存在, 则称之为X的下确界, 记为infX。

2 Scott 拓扑、上(下)拓扑的连通性

定义1[7]设P为偏序集,U为P上的非空真子集, 则U为Scott 开集当且仅当U满足以下条件:(1)U=↑U;

(2)任意定向集D⊆P, 当supD存在且supD∈U时, 有D∩U≠∅。

对偶地, 可以得到Scott 闭集的等价条件, 当U=↓U, 且对任意定向集D⊆U, 当supD存在时有supD∈U, 则称U为偏序集P上的Scott 闭集。

定理4 设P为偏序集, 则上(下)拓扑空间连通当且仅当上(下)拓扑为Ψ连通空间且上(下)拓扑中既开又闭的集合为该拓扑空间中既Ψ开又Ψ闭的集合。

证明 以下拓扑为例, 充分性, 设(P,ω(P))为Ψ连通空间且(P,ω(P))中既开又闭的集合为(P,ω(P))中既Ψ开又Ψ闭的集合, 若(P,ω(P))不连通, 则(P,ω(P))中存在既开又闭的非空真子集P1, 所以P1为P中既Ψ开又Ψ闭的非空真子集, 则(P,ω(P))为Ψ不连通空间, 矛盾, 因此拓扑空间(P,ω(P))连通。

必要性, 若(P,ω(P))连通, 则(P,ω(P))为Ψ连通空间, 且(P,ω(P))中既开又闭的集合为P和∅, 同时P和∅也为(P,ω(P))中既Ψ开又Ψ闭的集合, 得证。

3 偏序集的序连通性及局部连通性

命题3 设P为偏序集, 则下列两个条件(1)、(2)等价。

(1)P序连通;

(2)(P,σ(P))连通;

此外，若偏序集P可以用一个有限集的下集表示, 则(1)、(2)、(3)等价; 若偏序集P可以用一个有限集的上集表示, 则(1)、(2)、(4)等价。

(3)(P,υ(P)) 连通;

(4)(P,ω(P))连通。