指数函数的fpga实现及算法优化

刘 恒，钟 俊，刘 辉

（安徽职业技术学院，安徽 合肥 230011）

0 引言

在超越函数中，指数函数的应用十分广泛。实现指数函数的方法有很多，包括查表法、旋转迭代、泰勒展开等［1］。查表法需要较大存储空间，特别是高精度情况下，资源耗费比较明显。旋转迭代依赖于流水线技术，精度要求较高时，需要较多的时钟周期完成一次求解。泰勒展开涉及到大量的乘、除法器，运算速度不高。本文在切比雪夫多项式函数逼近的基础上进行优化设计，进一步减少fpga资源消耗，提高运算速度。

1 切比雪夫多项式和函数逼近

1.1 切比雪夫多项式

切比雪夫逼近以切比雪夫多项式为基础，切比雪夫多项式可以写成如下形式［2］：

虽然Q k(x)是类三角函数形式，但经过变形之后，可以将式（1）变为多项式的标准形式，部分多项式可以写成如下形式：

切比雪夫多项式符合如下迭代规则：

1.2 函数逼近

切比雪夫函数逼近可以写成：

所有切比雪夫多项式具有相互正交的特点，因此得到的双向变换都是独一无二的。使用式（4）切比雪夫函数逼近要明显优于使用泰勒函数逼近（式（5））。

原因如下：首先，式（4）是非常接近于（但不严格等于）函数逼近这一非常复杂问题的最优解，而且能够保证最大误差最小，也就是l∞范数的最大值max(f(x)-f(x))→min；其 次，式（4）的 剩 余 项M<

用切比雪夫系数计算的16位多项式量化应采用如下的公式：

需要保证0≤x≤1,如果输入不在这一范围之内，就需要用恒等式esx=(ex)s进行缩放。

其中s=2k是2的幂，在完成指数计算后还要继续进行k次平方运算。

2 分布式算法及优化

2.1 分布式算法基础

在具体的硬件设计过程中，积之和可以采用分布式算法来实现［3］。根据函数表达式，计算一个函数值需要N个mac(乘累加)。采用流水线技术能够加快运算速度，但是也十分有限。如果速度优先，可以采用并行乘法器，其代价是占用大量的乘法单元，造成资源浪费。如果已知每一项的系数，乘积项就可以写成常数乘法的形式。这是分布式算法的实现基础。分布式算法实质上是用查找表取代乘法器。在速度与资源占用上，相比传统的乘法器实现方式，分布式算法更胜一筹［4］。

分布式算法原理:

假设h(n)已知，x[n]未知。无符号分布式算法假设x[n]可以写成下列表达式x a[n]∈[0,1]，其中x a[n]是x[n]的第a位。

内积f可以表示为：

可以用一个LUT来实现f(h(n),x a(n))的相关运算。首先计算得到一个LUT，LUT由2N个元素构成。当输入为一个N位的输入向量x a=[xa[0],x a[1],...,x a[N-1]]时，可以用LUT查找到相应的输出，输出为f(h(n),x a(n))。每次查找的结果乘相应的权值并累加。在N次查询结束之后，得到函数值f，如图1所示。

图1 无符号da原理图

2.2 分布式算法优化

（1）LUT简化设计

LUT的规模与输入系数N成指数关系［5］。如果N过大，可以将单个N输入的LUT拆分成多个规模较小的查找表相加。这一改进可以极大地降低资源消耗，并且几乎没有影响运算速度。假定内积的长度为LN，可以表示为：

拆分LN项的和，变为L个独立并行的N阶DA的LUT，结果如下：

如图2所示，实现1个4N的DA设计，还需要3个加法器。表的规模从1个24N×A的LUT缩小为4个2N×A的表。考虑到fpga硬件资源，取L=2，N=3，或L=1，N=6。

图2 简化LUT原理图

（2）并行运算

采用并行计算可以加快DA体系结构的运算速度，这一改进必然会占用更多的资源［6］。DA体系结构如果按照串行方式进行运算，在每个时钟周期只能完成1bit数据的接收处理。采用并行计算可以同时接收处理Mbit数据，运算速度能够加快M倍。图3为实现最大速度所需的字并行体系结构。最大速度要求为每个位向量x a[n]准备一个单独的LUT(各个LUT完全一样)。速度提升M倍的代价是资源同等程度翻倍。在fpga硬件实现过程中，如果N为4个或8个，这一改进就极具意义。

图3 并行运算原理图

3 优化仿真结果

在本实验中，采用quartus12.0进行综合验证，芯片为altera公司的CYCLONE系列。利用Modelsim 6.5软件进行Verilog仿真。优化结果如表1所示。Modelsim仿真如图4所示。

表1 优化前后性能比较（量化位数16bit）

图4 Modelsim仿真结果

4 结语

本文用切比雪夫多项式对指数函数进行了函数逼近，并用Modelsim对结果进行了仿真验证。在函数的实现过程中，采用分布式算法进行优化。在优化过程中，通过采用多个低维度查找表和并行运算，达到减少芯片面积和提高运算速度的效果。这一方法同样适用于其他超越函数的实现过程，具有普遍意义。