探究数学建模思想在高中数学教学的应用

曾眺英

嘉应学院数学学院 广东梅州 514015

随着科学技术的发展和社会的进步，数学在其他领域渗透的深度和广度也在与日俱增。作为沟通数学和实际问题的桥梁，数学建模越来越受到人们的重视。伴随数学课程的深入改革，高中生数学建模能力的培养已经成为当代教育教研工作中的重点之一。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》首次提出把数学建模作为中学生必备的数学核心素养。笔者对高中数学骨干教师进行了深入访谈，在此基础上对数学建模思想在高中数学课堂教学中的应用进行了探究，对高中数学教学中如何更好地融入数学建模思想提出自己的意见与建议。

一、什么是数学建模

在了解数学建模的内涵之前，需要先知道数学模型的定义。数学模型是为了一个特定目标，根据特有的内在规律，对于一个特定的对象做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构，数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等。

数学建模是基于数学思维运用模型解决实际问题的综合实践活动。它的一般步骤可以概括为：通过实际情境寻找数量关系，提出相关的数学问题，利用综合知识分析问题建立数学模型，利用数学运算对模型进行求解，将结果和实际情况进行比较，然后检验该模型是否合理和实用。假如得出的结果和实际并不相符，那么需要补充、修改相关条件，重新建立模型，有时需要多次反复和完善，直到得出一定满意程度的检验结果为止。高中常用的模型有函数模型、几何模型、数列模型等，在建立这些数学模型的过程中蕴含着数学建模思想。

二、高中开展数学建模活动对学生的影响

(一)培养学生发现问题和提出问题的能力

数学建模活动是主动性的行为。在实际的情境中，教师先引导学生用数学的眼光进行观察，发现并提出实际问题，并且用数学思维和语言描述清楚这些问题。

学生用数学思维去分析影响问题解决的因素以及相互之间的关系，然后提出解决这些问题的思路。这就要求学生有一定的洞察能力，善于从实际问题原型抽取其数学本质。教师平时要引导学生带着数学的慧眼去观察客观世界，发现生活中的数学现象。

(二)培养学生应用知识分析问题、解决问题的能力

数学建模能力是分析问题和解决问题能力的重要组成部分。数学建模的一般流程：创建问题情境，利用实例引导学生自主探索，建立数学模型，进行数学分析处理，解决实际应用问题。因此，学习和研究数学建模有利于学生探索数学的实际应用，激发学生应用数学的兴趣，培养他们在实际生活中能习惯性地想到用数学思维解决问题。

(三)培养学生创新的精神和能力

数学建模本身是对现实问题进行科学处理和创造的思维过程。数学建模的问题一般都来自于实际生活，有着明确的背景和条件，没有标准答案，主要看最后的结果能否经受得住实际检验。随着模型的建立与问题的解决，学生可以养成科学的态度，利用数学方法，逐步形成创新性思维，提高他们的创新能力。

(四)锻炼学生的搜集资料和自主学习的能力

数学建模是联系数学和实际问题的桥梁。学生为了解决数学建模问题就需要深入调查问题背景，查找相关文献资料，甚至在某些情况需要做实地调查，这些其实已经潜移默化地锻炼了学生搜集资料和自主学习的能力。

(五)培养学生团队协作的能力

数学建模是以小组为单位展开工作的，在这个过程中，要求小组团队要有一个明确的工作职责分配。学生成员之间保持沟通与合作，懂得欣赏，尊重彼此，相互倾听，在各种不同意见的争辩中共同找出最佳的解决方案。数学建模体现的是团队精神，培养的是团队协作的能力。

(六)激发数学学习研究的兴趣，增强撰写论文的能力

撰写论文的能力是数学建模的基本技能之一，也是科技人才的基本能力之一，是表现我们所做工作的唯一方式。撰写出来的论文，要能让读者清楚地知道文章中使用了哪些方法解决了哪些问题，结果怎么样，效果如何，等等。

(七)学生可以初步接触计算机软件的功能

建立数学模型需要创造性思维，也需要扎实的数学基本功与许多化学、生物、物理等其他学科知识，而求解数学模型常常离不开计算机。数学建模的很多问题中有大量的数据需要统计处理，有些数据量甚至多达几百页，必须借助计算机与数学应用软件来处理这些海量数据和求解复杂的数学模型。教师们要教会学生使用Matlab等常用数学软件来正确得到模型的解。在这个过程中，学生利用计算机制作图像、处理数据的能力得到了提升，也让他们体会到计算机学习的乐趣。

三、高中生数学建模的教学现状

新颁布的数学课程标准中，高中数学教学中培养学生的创新能力和提高学生的实践操作能力是新课程标准非常重要的组成部分，数学建模的教学活动正是实现这一标准的重要手段。目前，数学建模对于高中数学教学而言，还是相对新颖的事物，数学建模课程的教学现状主要有以下几个方面：

(一)高中数学课堂教学中对数学建模思想融入的重视度还不够

不少高中数学教师没有对学生进行研究性学习探索的引导，依然停留在数学教材内容的教学方面。教师们认为研究式数学建模教学实施起来非常困难，主要是因为平时的教学负担比较重，高中课程教学内容多、学时少，完成教学计划尚不十分从容，还要应付会考和高考。

(二)高中数学教师欠缺数学建模相关素养与经验

由于多数中学教师在大学期间并没有学习过有关数学建模的知识，没有参加过数学建模的比赛，所以他们对数学建模的概念和建模的意识都比较模糊。数学建模是在2003年才正式进入高中数学建模教学中，真正出现在高中教材的时间还是比较短的。近年来，不少中学邀请了相关专家进校以报告、讲座、论坛等形式对教师们进行培训，提升了中学教师们的数学建模意识和教学能力。

(三)高中学生还缺乏丰富的数学知识

虽然不少学生对数学建模思想融入课堂教学中表现出很大的兴趣，然而学生的知识储备还不够，因为它涉及的面比较广泛，包括线性规划、指数函数、幂函数、圆锥曲线等，此外还涉及物理学、化学、地理学等方面的知识。因此，在学生掌握了一定建模知识的基础上，教师才能实现数学建模思想融入数学课堂教学中。

四、将数学建模思想融入高中数学教学的策略

(一)编写相对合适的数学建模教材

当前适合高中生水平又与课本教学内容相结合的教材并不多，因此编写一套合适的数学建模校本教材显得尤为重要。建模教材应联系实际生活，涉及时事热点、市场经济，诸如成本、利润、储蓄、保险等都是中学数学建模的好素材。适当地选取这些素材融入数学课堂教学活动中，让高中学生掌握一些类型的数学建模方法，不但能培养他们正确的经济意识，而且还为日后主动以数学的方法处理问题提供了能力上的准备。而中学数学教学内容中的函数、方程(组)与不等式、概率统计、排列组合、多面体等定义也涉及了数学模型。作为中学数学建模的内容相当丰富，比如增长率、环境保护、规划、经济图表、市场预测、供求与存贮等问题，以及物理、化学、生物、医学等学科方面的问题，这些学科应用题都是很好的建模素材。中学数学教师们可以在充分讨论与通力协作的基础上，编写出适宜的应用性强的数学建模校本教材。

(二)深入挖掘高中教材内容蕴含的数学建模思想

教师们要转变观念，意识到数学课堂中融入建模思想的重要性。高中数学教材中很多环节都体现着数学应用的建模思想。教师们在备考课时需要认真研读教材内容，深入挖掘和拓展相关知识的背景，精心设计好课堂情景。比如，在讲授二次函数这节课前介绍炮弹的轨迹问题、数列的课前引入国王下象棋问题。教师们在讲授这些问题情景时，可以把课前引入设计成微型的数学建模活动，引导学生进行自主探究，建立数学模型，然后利用新知识对模型进行分析。在课本的数学定义、定理和公式的教学中，教师可以引导帮助学生找到实际生活中的原型，将数学知识和实际应用联系起来，设计一些对应性的练习题。比如，教师们在讲解完定积分内容后，可以设计一些关于计算变速直线运动路程或者变速功的练习题。在讲授“统计”这章内容时，教师们可以给学生布置实践作业来加强他们在日常生活中的数学体验。学生在这个过程中不仅可以对数学知识加深理解，同时也激发了学习兴趣。

(三)从数学应用题到数学建模题

数学家张奠宙曾经说过：“应用题的本质是数学建模”。高中数学应用题一直是教学的重点与难点，应用题可以说是简单初级的数学建模题，在实际问题中如果找出数学的模型，也就是纯数学的问题，然后解决这个数学问题，再回到实际问题，也就解决了实际问题。

例如，下面这个关于价格与利润的问题：

顾客第一次在商店购买件商品共花费了元，第二次去购买该商品时单价下跌，120件商品降价80元，第二次购买的商品比第一次多了10件，一共花费20元。如果该顾客第一次购买时至少花费10元，问他第一次至少购买多少件商品？

这个题目的情景反映了顾客两次购买的总件数和消费的价格之间有着等式意义上的关联性，所以可以使用方程模型进行求解，也即是，每件商品的价格×所购商品的数量=总花费。方程思想是高中阶段数学学习的一个重要思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程(组)来求解问题。

(四)组建数学建模实验室，分小组学习

以自愿为原则组织学生报名，在学校的支持和配合下成立中学数学建模实验室。高中生必须在教师的指导下进行数学建模活动，对学生们进行分组，每组由一个教师负责指导，同时确定上课的教师，学生在一开始估计对数学建模都不是很清楚，所以在第一节课中，主要让学生对数学建模有一个宏观的了解，使得学生知道数学建模并不陌生，在生活学习中很多地方都在用这种建模思想，之后的课程主要让他们掌握一些建模的方法。通过对数学建模思想方法的学习，学生或许跃跃欲试，想自己进行数学建模。另外，上课时也可以向学生展示往届学生的优秀建模论文，使学生们更有信心和动力地进行数学建模。

由于高中生知识能力有限，让他们自己找感兴趣的问题进行数学建模比较困难，所以事先可以给出一些问题让他们挑选自己感兴趣的内容，在选好需要进行建模的问题后，由每一组的组长分工先找相关资料，周末大家到实验室进行讨论。此时教师正确引导很重要，不能过分要求数学建模过程的严密性、结果的准确性。及时评价学生在数学建模的表现，让他们重过程、重参与，主动地参与数学建模活动，获得应用数学的体验和成功的喜悦非常重要。在教师的启发、引导下，学生最终通过小组讨论，完成模型选择和建立、计算、验证等过程，最后用小论文的形式呈现自己的研究成果，教师还需要对学生建模中的表现进行评价。在“教师给定问题型”的数学建模的实践中，学生将经历建模的全过程，其中在模型的求解这一环节，往往需要借助计算机选择一个合适的数学软件平合，通过数学实验来求解模型。

在这种数学建模实践中，学生的研究结果必须会用论文进行表达，会表达自己的研究思路及结果是一个学生综合素质的体现。由于数学建模论文的撰写有一定的格式要求，这种格式要求是为了让作者更好地展现自己的研究结果，也是对论文质量的保证。所以，教师们在教学中需要对学生论文撰写的格式进行专门的辅导。

(五)优化高中生数学建模活动的评价设计

数学建模活动不同于求解数学题目，学生在数学建模活动中所采用的方式是一种动态的表现，采用总结性的或者传统意义上的形成性评价方式都难以测量和评价。教师们可以通过现场观察、作品上交或研究报告撰写开展评价活动，依据数学建模活动的特点，注重过程性的评价与交流。以数学建模活动的特点作为参考依据，教师们可以从选题、数学知识的应用、数据分析和处理、信息技术等工具的使用、交流和表达、数学建模的结果这六个角度进行评价设计。

高中新课程标准还指出，对于评价需要遵守的原则：重视学生数学学科素养的达成，以数学学科核心是素养的达成作为评价的基本要素；重视评价的整体性和阶段性，把教学评价的总目标合理分解到日常教学评价的各个阶段。因此，教师们可以分阶段、多维度地对数学建模活动展开评价，从形式上看，除教师评价之外，还可以是学生的互评或者自评。无论采取何种方式，最终目的都是一致的，通过数学建模活动提升学生的综合素养，为高中学生的终生发展奠定基础。

结语

严士健教授曾经在《数学教育应面向21世纪而努力》的报告中指出：我国中学生所学的数学知识与学生的日常生活及他们具有的其他知识和经验联系太少，无疑会给他们以后的工作发展造成阻碍。由此可知，在高中阶段开展数学建模活动是很有必要的，教师们要根据中学生数学建模能力的水平和现状，研究出符合本校学生数学建模能力发展的实践活动与教学设计。

学校要根据目前人才培养和教学革新的需要，尽力给学生们提供自主学习的环境。符合学校实际情况的数学建模活动，可以帮助高中学生体验数学思维在解决实际问题中的意义与价值，在日常生活中体验数学与其他学科之间的关联，感受运用综合知识解决实际应用问题的过程，有利于激发高中学生数学的学习兴趣，提升他们的动手能力和创新意识。数学建模活动的开展有利于增强学生的形象思维能力，给他们创造力和团队协作力的发展提供了极好的情境，同时帮助学生意识到数学存在于实际生活中的很多地方，数学对解决很多问题都是有用的，要学好数学知识并且学会用数学解决实际问题。