立足表达“理”清思维——基于核心素养的小学生数学说理能力培养探究

福建省霞浦县第一小学 程秋香

“数学是思维的体操”，在低年级的课堂教师鼓励学生说完整话，把意思说准确，就是通过语言载体将内在思维外显化、具象化的过程，学会用数学语言表述思辨过程，就是迈开了说理的第一步。中高年级的课堂教师善于制造时机引发学生自主质疑，互动中碰撞思维，在抽丝剥茧中建构数学知识本质，帮助学生学会学习。

一、结合生活，学会完整表达

小学生的思维以形象具体为主，一年级的小朋友由于识字量少，作为教学内容的情境图往往以趣味性、生活化的形式呈现，这些情境图蕴含着丰富的数学信息。但在教学中发现，不少低年级的孩子缺乏对图中信息的检索能力和解读能力，不是数据提取错误就是会错意，抑或忽略部分信息。在表述图意时，往往是“说半句话”，或者“甩一鞭走一步”，缺乏自主完整表述的能力，导致思维是断层的、碎片化的。教师要引导学生将碎片化的语言串起来，帮助学生学会完整表述。

如教学一年级《加减混合》，引导观察插图。

图1 加减混合

师：大家看到了吗？这里有两幅图，第一幅图的左下角标了一个点，第二幅图的左下角标了两个点，谁知道是什么意思？

生1：一个点是表示刚开始，两个点是表示过了一会儿。

师：是的，两幅图画的是同一个小朋友在做的事，我们给他起个好记的名字就叫小明吧。刚开始小明是怎样做的？后来呢？

生2：刚开始地上有6棵小树苗，后来又拿来了2棵小树苗。

师：说了第一幅图，那第二幅图呢？你能用上“过了一会儿”这个词吗？

生2：过了一会儿，小明栽好了3棵小树苗。

师：地上还有——

生2：地上还有5棵小树苗没有栽。

师：瞧，你用上了“刚开始”“过了一会儿”这样表示先后顺序的词，像讲故事一样，把小明正在做的事生动地描述出来了，真了不起！你能试着将两幅图连起来完整地说一说吗？

生2：今天小明上山种树，刚开始他拿来了6棵小树苗，后来又拿来了2棵小树苗，他一共拿了8棵小树苗。过了一会儿，他栽好了3棵，地上还剩下5棵小树苗没有栽。

师：这回，你们觉得他说得怎样？(学生鼓掌)这就是生活中的数学。谁还能像他这样说一说？同桌先互相说一说吧！

《加减混合》是学生在学完连加连减的进一步学习，教材以连环画的形式呈现了小朋友栽树的过程，教师首先引导学生观察图中标记，弄清组合型情境图表述的事件，再让学生用上表示先后顺序的词来串述图中的事件，使静态的组图变成动态的情境，帮助学生更形象地理解图意，准确提取信息。

低年级教材中看图解决问题的模型（如含有括线和问号的直观图或者对话式的情境图）教学莫不如是。如果学生能用数学语言正确、完整地表述图意，找准图中的已知条件和所求问题，那么理解计算的方法并列式解答，也就水到渠成了。

二、图式结合，领会分层算理

计算是数学的基础，计算教学占小学数学教学很大的一个版块。但是，在问卷调查和各类测试中，发现学生的计算说理能力偏弱。大部分学生只会计算，不懂原理；或者语言不详，说不清每一步计算表示的含义。

如《两位数乘两位数的笔算》中有一道这样的练习题：学校买21个热水瓶，每个23元。列竖式如下：

图2 两位数乘两位数的笔算

其中箭头指向的“46”表示什么意思？

A.表示买2个热水瓶要用46元

B.表示买2个热水瓶要用460元

C.表示买20个热水瓶要用460元

D.表示买20个热水瓶要用46元

本题中，大部分学生会笔算得出23×21的结果，却理不清每一层算式（特别是第二层算式）的含义，不少学生误把“46”的意义判断成A选项或者B选项。

计算课一直是很多教师最想逃避的公开课类型，究其原因，计算课比较枯燥，环节设计难以出彩。在日常教学中，计算课教学往往是以“出示情境图——引导列式——师生演算——总结计算法则——练习巩固”这样的模式展开。学生被动性接受知识，通过一定量的重复练习，大部分学生能掌握计算方法，而对于为什么要这样算，大抵因此非教学重点被教者忽略，偶有学生质疑，也以“数学规定”一言而蔽之，久而久之，学生对原理不甚了了，也就难免不解算式步骤含义了。

如何让学生更深入地理解计算的道理，从而更有效地计算呢？华罗庚教授曾说过：数缺形时少直觉，形少数时难入微。教师可以利用直观图（如开水瓶单价图或点子图），让学生对照着圈一圈，自主体悟为何将乘数拆分为整十数和一位数进行计算，图式结合，让学生经历探索性的学习，说一说每层算式是表示图中的哪一部分价格。将直观的点子图与抽象的算式相对接，渗透位值原理，从而深入领会竖式算理。

三、自主建构，凸显算法优化

从数字的诞生到计算方法的探索，再到计算法则的总结，是先人在求知路上的探索经验。千百年来，我们接受并运用这些规定的计算法则去解决一个又一个问题，屡试不爽，却鲜少打破常规，质疑老规矩，创造新法则。

例如我们学习加法、减法以及乘法竖式时，都遵循从低位算起的规则，但在学习除法竖式时，又为什么规定要从高位算起呢？以三年级上册的“46÷2”为例，学生通过小棒分一分，6根小棒平均分成2份，每份是3；4捆小棒平均分成两份，每份是2，合起来就是23。从低位算起，同样简洁准确。但若以“52÷2”为例呢？我们将孩子分成两组，一组孩子从低位算起，另一组孩子从高位算起，低位算起的孩子的计算过程如下：①个位上2÷2＝1；②十位上5÷2＝2，余1，即1个十；③10÷2＝5，个位的商相加5+1＝6，商是26。从高位算起的孩子计算过程如下：①十位上5÷2＝2，余1，即1个十；②10+2＝12，12÷2＝6，商是26。两种方法对比，学生们发现当被除数高位上的数无法被除数整除时，从高位算起更方便。

数学绘本《猜一猜，除一除》中讲了这么一个故事：5个人帮忙隔壁的邻居大扫除，赚到了八百二十七元，怎么平分这些钱呢？先从八百里取出五张一百元，一人先分一百，再把剩下的三百换成六张五十元钞票，每个人就可以再分一张五十元钞票。分好了，还会剩下一张五十元钞票，把五十元换成五张十元的钞票，这样每个人又可以分到一张十元钞票。就这样分完了八百元，依照这样的方法再来分剩下的二十七元。生活中，我们对物品平均分配时，从大单位开始分往往比从小单位开始分更方便。因此，从大数据的算法来看，从高位算起的计算规则是通用法则，它适用于所有类型的除法。

计算法则的建立不是让学生机械式的套用，而是允许学生自然选择算法，自主建构法则，从而发现不管是加法、减法和乘法的低位算起，还是除法的高位算起，先人总结这样的计算法则无非是为了计算的通用性更广阔，计算的程序性更优化，计算的过程性更简洁。

四、拆数析理，探索规律特征

对于小学生来说，数学教师是他们进入数学世界的媒介，数学世界中奇妙的数学规律与丰富的数学知识都需要经由教师的帮助才能被他们深度理解。在教学中教师要善于启发，并引导学生用严谨准确的数学语言表达出来，分享探索的乐趣，培养学习的动力。

在学习《2、5的倍数特征》时，教材通过让学生在百数表中进行圈数、框数，在观察比较中探究发现2、5的倍数特征。但在教学《3的倍数特征》时，学生发现2、5的倍数特征无法迁移到3的倍数特征上。这是为什么呢？

从2、5的倍数特征上溯源，一个数如果2个2个地分，或者5个5个地分，刚好分完，没有余数，这个数就是2或5的倍数。为什么看个位的数就可以了呢？我们可以从位值制原理进行分析。一个多位数可以拆分为若干个千、百、十、个（一）组合的数，如果忽略个位上的数，其他数位上的数合起来最终都能转化为几个“十”，而10是2和5的倍数，所以2和5的倍数特征只要看个位上的数就可以了。那为什么3的倍数特征不能这样套用呢？从本质上看，个级以上的数拆分为几个“十”，10不是3的倍数，因此个级上的数是不是3的倍数则更加遑论。

那么如何探索3的倍数特征呢？我们同样可以从位值原理拆数分析。例如222个小方块可以拆分为2个百、2个十和2个一。我们将2个百再拆分为100+100，100÷3，最后还余下1，2个百就余2。同理，2个十分为10+10，10÷3，最后余1，2个十就余2。最后将百位、十位上和个位上剩余的2相加等于6，6是3的倍数，所以222是3的倍数。

也就是说，一个数，按数位从高到低，我们可以将它拆分为若干个计数单位相加（如四位数abcd=1000a+100b+10c+d），再把这些计数单位上的数拆分成若干个最小的单元（如9百拆分为9个1百），然后把最小单元（如1000、100、10）除以3，最终都会剩下1，有几个最小单元就剩下几（如9000就剩下9，700就剩下7，60就剩下6……）因此，3的倍数特征是看各个数位上的余数之和还能否继续被3整除。

五、实践操作，深化面积本质

罗鸣亮老师在《做一个讲道理的数学教师》中提出：数学教学不但要向学生展示既定的数学知识，而且必须能够解释其中的道理。

数学知识是抽象的,小学生的思维以形象性为主，如何化解其中的矛盾？动手操作是沟通其中的桥梁之一。组织实践操作、自主探究，让学生在手脑并用中发现、思考、分析、归纳思维，从而获得概念、深化认知。

例如《长方形和正方形的面积》一课，在教学之前有些学生对长方形的面积公式已经烂熟于心，但对这公式是怎么来的却鲜为人知。

为此，在教学中，我将重点调整为引导发现公式的由来。课堂中我让学生剪下若干1平方厘米的小正方形进行铺填活动。并结合课本附页的格子图让学生说说自己的实践思路：

1.我勾画的格子图长是几厘米？宽是几厘米？

2.我用面积单位为1平方厘米的小正方形进行铺填，一行摆了几个小正方形？为什么只能摆这么多个？可以摆几列小正方形？为什么只能摆这么多列？

3.我一共用了几个小正方形将格子图铺满？怎样计算？就是多少平方厘米？

4.铺填的小正方形的总面积与长方形格子图的面积有什么联系？

本节课中，我立足学生已有的认知基础，以问题为驱动，以操作表征思维，使学生对知识进行深层思考，通过实践操作，学生理解了长方形的长与每行的小正方形个数、宽与每列的小正方形个数的对应关系，以及行与列的小正方形个数与小正方形总个数的关系，小正方形总个数的面积与长方形格子图面积的对应关系。从而深化长方形的面积本质就是“数一数、算一算有几个这样标准的面积单位”，为后续学习其他平面图形的面积推导公式找到生长点。

六、综合运用，提升空间思维

长方形的面积公式是平面图形基础，我们在学习三角形、平行四边形、梯形的面积时，无一不是将它们转化为长方形再计算。

六年级的练习中有一道题：在下面的平行线间画一个三角形、一个平行四边形和一个梯形，使它们的面积相等。

图3 平行线

这是一道典型的“等积变形”模型。两条平行线之间的距离是相等的，也就是说所画的三角形、平行四边形和梯形，它们是共高的，并且三个平面图形面积相等，变量就是它们底边的长度。回顾三角形和梯形的面积公式推导过程，都可以用两个完全相同的三角形或者梯形拼成一个平行四边形，因此三角形和梯形的面积公式都是底（梯形上、下底的和统称为底）×高÷2。

反观上面的练习，在等积共高的条件下，三角形和梯形的底边长度应该一致。在教学中通过课件直观演示，将梯形上底的一个端点演绎为一个动点，当这个动点平移到上底与下底相等的距离时，梯形就变换成了平行四边形，平行四边形可以看作上底和下底相等的梯形；动点继续平移，当动点与上底的另一个端点重合时，梯形就变换成了三角形。三角形可以看作是上底为0的梯形。

通过变形演示，学生观察发现梯形的面积公式（上底+下底）÷2是万能公式，它兼容低配版的平行四边形、三角形公式，甚至基础版的矩形面积公式。因此，在共高的条件下，只要三角形、平行四边形、梯形的底边之和都相等，这三个图形的面积就相等。

史宁中教授说：智慧体现在过程之中。在本质上，智慧并不表现在经验的结果上，而表现在经验的过程中，表现在思考的过程中。讲道理的方式是思考的过程、是经验的总结。讲道理的习惯要从小培养，讲道理的课堂要一以贯之，引导学生在知理、析理、明理、说理中培养思维的清晰性、批判性、深刻性，提升数学学科素养。