地磁场中电子束结构运动的横向约束与周期振荡

焦鹿怀, 葛亚松， 张援农， 郭英杰， 冯明航， 付松

1 武汉大学电子信息学院空间物理系， 武汉 430072 2 中国科学院地质与地球物理研究所， 北京 100029 3 中国科学院大学， 北京 100049

0 引言

地球磁层和电离层空间中存在着大量的带电粒子束结构.一般而言，自然形成的带电粒子束通常来源于波粒相互作用引起的粒子沉降或等离子体不稳定性(Boehm et al., 1995).这些带电粒子束通常具有很高的动能和很强的方向性，不仅会影响空间环境和空间天气，还可以通过充放电效应、辐射损伤和单粒子效应等对人造卫星和宇航员安全造成潜在危害(Hastings, 1995; Castello et al., 2018).科学家们通过观测、解析理论以及数值模拟来研究带电粒子束的形成、演化和消亡等物理过程，分析带电粒子束的时空分布演化及重要物理机制，进一步深入理解带电粒子束对地球空间环境和人类太空活动的影响.

相对论电子束的特性及其与空间等离子体的相互作用可以应用于诸多空间物理学基础问题的研究中.地面与空间等离子体实验中往往利用电子束作为自由能的来源，通过其与实验室或空间等离子体相互作用产生不同类型的等离子体不稳定性，从而激发与地球空间中类似的多类波动(Banks and Raitt, 1988; Reeves et al., 2020).以往研究发现电子束与等离子体相互作用可激发诸如哨声模、伯恩斯坦模、朗缪尔模等波模(An et al., 2016; Farrell et al., 1989; Reeves et al., 1988; Starodubtsev and Krafft, 1999; Starodubtsev et al., 1999; Winglee and Kellogg, 1990)，是研究空间等离子体波动激发与传播机制的一个重要手段.在地球磁层辐射带区域，这些波动与辐射带粒子的相互作用是地球辐射带粒子动力学演化的主要机制 (Thorne, 2010).辐射带是近地空间磁层区域由百keV到数十MeV电子质子组成的，地磁暴等地磁活动或者人为源可引起辐射带电子通量的剧烈变化，对地球空间环境安全造成危害(Baker, 2001; Horne and Thorne, 2003).来自太阳风和电离层的粒子在磁暴期间通过波粒相互作用和径向传输而加速，然后被束缚在1.5～5个地球半径区域(Horne et al., 2005; Shprits et al., 2008a,b).这些粒子中一部分会沉降到大气中(Bortnik et al., 2006; Green et al., 2004; Lorentzen et al., 2001; Millan et al., 2002; Millan and Thorne, 2007; O′Brien et al., 2004; Thorne et al., 2010).早期研究表明，波粒相互作用可以导致电子的投掷角扩散进而使它们沉降到大气中(Kennel and Petschek, 1966; Thorne and Kennel, 1971)，因此，理解波粒相互作用导致辐射带电子损失的物理过程与机理对认识辐射带时空变化具有重要的科学意义，对预报灾害性空间天气现象也具有重要的应用价值. 近期研究表明空间甚低频波动可以有效散射和沉降辐射带粒子(Fu et al., 2019, 2020; Gu et al., 2020; Hua et al., 2020; Inan et al., 1984, 2003; Ma et al., 2020; Ni et al., 2013, 2014, 2019, 2022; Zhang et al., 2018; Zhao et al., 2019)，然而如何将甚低频波高效地传输到辐射带以及其他能量粒子区域还是一个重要的挑战.自然环境中存在很多甚低频波段的波，比如嘶声波、合声波和闪电激发的哨声波，辐射带中0.1～10 MeV电子可以与0.1～10 kHz的甚低频哨声模波发生共振.如在地球等离子体层外，离散的哨声波组成的哨声模合声波频率范围为0.1～1fce(fce为电子回旋频率，约100 Hz～5 kHz).在赤道面附近激发的哨声模合声波可以与电子相互作用，造成10 keV量级电子的投掷角扩散和沉降，产生脉冲极光(Lessard, 2012).哨声模合声波在传播到高纬度区域后可与百keV和几个MeV量级电子产生共振而造成其投掷角扩散(Lorentzen et al., 2001; Horne and Thorne, 2003; Thorne et al., 2005).因此，甚低频哨声模波可在不同区域与较大能量范围的电子相互作用，并造成其散射沉降.

由于卫星对空间自然存在的甚低频波和辐射带能量粒子分布存在观测局限性，因此主动控制不同能量和投掷角的电子注入实验成为研究空间甚低频波激发机制和波粒相互作用过程的重要方法(Reeves et al., 2020).其中使用人工调制的(通过改变发射角和能量)相对论电子束来激发VLF波是一种能够将辐射带电子散射到损失锥的有效方法，是目前此领域一个非常活跃的研究方向.前期对人工注入相对论电子束的动力学理论、不稳定性和损失的研究(Pritchett et al., 1989; Khazanov et al., 1999a, 1999b, 2000)已经表明此类实验研究可加深我们对波粒相互作用过程的认识，并逐渐成为辐射带与空间环境研究中一个热点领域.

过去的电子束实验遇到了诸多挑战，例如在太空环境中电子束注入航天器表面时，航天器的快速充电效应会影响电子束本身的准确度，以及粒子束与背景等离子体的相互作用效果等(Scanchez et al., 2019).这些问题的解决需要我们对电子束和等离子体相互作用基本过程进行更加深入的了解，包括粒子鞘区的形成与波动场的扰动、等离子体与中性粒子的相互作用、波粒相互作用和非线性现象等(Neubert and Banks, 1992)，同时需要加深对电子束电荷电流中和问题的理解(Humphries, 1990).SCATHA航天器的电子束实验研究了磁层等离子体和keV电子之间的相互作用，发现对于较低能量束流，等离子体可以提供返回电流来保证航天器电势低于束缚电子束所需的电势，从而可以完成电子束的有效发射；但当电子束能量高于keV量级后，大部分电子会回到了航天器.这种情况下可能造成航天器损伤甚至失灵等严重后果(Scanchez et al., 2019).因此，对空间带电粒子束的动力学特性和物理机制的深入了解是进行电子束实验的理论基础.

空间带电粒子束在传播过程中的结构演化对其激发空间波动和波粒相互作用都有着重要的影响，尤其是其在地球磁场中的传播特性尚不清楚.空间中带电粒子束在运动过程中受到空间中背景磁场作用而偏转，粒子受洛伦兹力而绕磁力线回旋，粒子间因库伦斥力而相互远离即粒子束因空间电荷效应而发散，因此这是一个多物理机制耦合的物理过程.针对此问题常见的研究方法有基于粒子束传输的解析理论求解包络方程来研究粒子束的演化(Sacherer, 1971)，以及基于单粒子运动理论的试验粒子模拟方法求解单粒子运动轨迹来研究粒子束轨迹(Northrop and Marshak, 1964).第一种方法适用于研究无背景磁场下粒子束空间电荷效应，但难以描述粒子束对磁场的响应；第二种方法可以研究带电粒子束的运动对背景磁场的响应，但无法研究粒子间的空间电荷效应.粒子云网格法(particle-in-cell，PIC)方法可以有效弥补上述两种方法的不足，既可以描述粒子对磁场的响应，同时可以通过求解泊松方程来描述粒子束空间电荷效应.因此粒子云网格法能够有效地求解粒子的时空分布，已经被广泛应用于空间物理学、可控核聚变和天体物理学的研究中.

本文基于静电模式的PIC方法，对平行于背景磁场下的带电粒子束演化进行了模拟.发现了平行于强背景场(3900 nT)运动的带电粒子束在横向结构上出现了约束与振荡现象，并通过单粒子追踪对这一现象的驱动物理机制进行了分析讨论.

1 模型与方法

粒子云网格法被广泛应用于带电粒子束状态演化的模拟，可以同时定量计算由静电力产生的带电粒子自场效应和由洛伦兹力产生的带电粒子对背景磁场的响应，从而研究地球空间环境带电粒子束受自场和背景磁场的联合效应.我们开发了针对粒子束动力学过程的静电模式PIC程序(冯明航等，2021; 以下简称beamPIC)，具体实现方法如下：对计算空间进行网格化后，(1)将粒子电荷分配到格点上；(2)求解网格格点上的电磁场；(3)通过插值得到粒子处的电磁场；(4)使用Boris算法求解牛顿洛伦兹方程，对粒子位置进行更新.以上为一个时间步长上程序的主循环，当计算粒子束运动到达预设的终止距离或超出计算域边界时结束模拟计算.模拟中的关键部分包括场与粒子的耦合(即电荷与电磁场的分配)、空间电磁场的求解、粒子运动方程的求解.

1.1 场与粒子的耦合

粒子云网格法先把粒子电荷分配到网格格点上，然后将对整个空间中电磁场和粒子运动状态的求解转化为对有限的网格格点处电磁场的求解，再将电磁场分配到粒子处驱动粒子，大大降低了计算需求.实现网格上的电磁场和任意空间位置的粒子的互相耦合是粒子云网格法的核心思想，这种耦合过程在模拟中一个时间步上采用两次插值算法来实现.

(1)电荷的分配

将空间中的电荷分配到网格格点处，(1)式展示了分配方法：

(1)

式中xg为格点位置，xp为粒子位置，ρ(xg)为格点处电荷密度，ρp为空间中粒子的电荷密度，W(x)为权重函数.

在计算中采用广泛使用的权重函数CIC(Cloud In Cell)，其噪声明显小于更低阶方法噪声，而其计算量也远低于高阶方法并能获取类似的计算效果.CIC方法表达式如下:

(2)

(2)电磁场的分配

计算得到网格格点处的电磁场后，通过插值方法将其分配到粒子处.为了避免单个粒子产生对自身的作用力，电磁场的分配应采用和电荷分配同样的方法.以电场为例，分配方法如下：

(3)

其中权重函数W(x)为(2)式.

1.2 电磁场方程的求解

在本文研究的具体物理场景下，感生磁场相较于背景磁场可以忽略，因此使用背景磁场作为计算域的空间磁场.静电模式下针对空间电荷效应的PIC程序中，电场反映了粒子束的空间电荷效应，可以通过求解电势来间接得到.本文采用格林函数法求解泊松方程来获得空间中的电势分布.电势可以表示为

×ρ(x′,y′,z′)dx′dy′dz′，

(4)

其中，φ为电势，G为三维空间点电荷电势的格林函数，ρ为电荷密度分布函数，(x,y,z)为场点坐标；(x′,y′,z′)为源点坐标.本文研究的是自由空间中带电粒子束在磁场下的结构演化，因此选用开放边界条件，格林函数为

G(x,x′,y,y′,z,z′)

(5)

模拟的空间范围为三维空间中的长方体，三个方向上的尺寸分别为Lx,Ly,Lz,将三个方向分别离散化为Nx,Ny,Nz个格点，空间网格点上的电势可以由下式给出：

zk-z′n)ρ(x′l,y′m,z′n)，

(6)

1.3 粒子运动方程的求解

在我们的模拟中，粒子的三维空间坐标以cΔt为基准进行了无量纲化r= (x/cΔt,y/cΔt,z/cΔt)，粒子动量以mc为基准进行了无量纲化p=(px/mc,py/mc,pz/mc)，Δt为全粒子模拟的时间步长，c为真空中光速，m为电子静止质量.带电粒子运动满足牛顿-洛伦兹方程，其形式如下:

(7)

Boris算法具体过程分为以下几个步骤:

(8)

pt-Δt/2为t-Δt/2时刻的粒子动量，(8)式计算了半个时间步长上电场力对粒子的加速作用.

(9)

(10)

与(8)式相照应，(10)式计算了另半个时间步长上电场对粒子的加速作用，至此一个时间步长上粒子动量的更新完成，使用更新后的粒子动量计算一个时间步长上的粒子位移，即可得到新的粒子空间坐标.

1.4 模拟设定

我们以粒子束前进方向为z轴正方向，建立三维笛卡尔坐标系.平行于z方向为纵向，垂直于z方向为横向.在本工作的全粒子模型中，我们使用的网格数为128×128×128.由于我们所模拟的是电子束的运动传输过程，我们以电子束结构的参考粒子为中心，使用可变的模拟区域，让模拟区域的尺寸随电子束所占据的空间尺寸变化而变化.具体而言，在一个时间步上，我们可以计算得到电子束所有粒子的空间位置坐标，再以粒子束所占据最大空间范围(3个维度)的120%为下个时间步的模拟区域.这样，每个时间步上的模拟空间区域均集中在电子束结构的附近并覆盖电子束所在空间区域，从而最大化地节省空间网格所占用的计算资源.

在束流理论中，针对粒子束运动过程中的空间分布、发散情况等有一系列参数用以衡量粒子束的运动状态，本文主要考察粒子束的RMS(Root Mean Square，均方根)横向尺寸和RMS偏转角这两个参数.定义这两个参数，需要选取参考粒子作为基准，本文取全部粒子的空间坐标的平均值作为参考粒子的坐标.

RMS横向尺寸用于衡量粒子束在横向的空间分布情况，RMS横向尺寸越大说明粒子束粒子在横向的空间分布越分散，以x方向的RMS尺寸为例，其定义式如下:

(11)

式中uxi=xi-xrefer，i=1, 2,…,N.uxi表示任意一个粒子的空间坐标相对于参考粒子坐标的差值，描述了该粒子相对于参考粒子在空间上的偏离程度.

RMS偏转角用于衡量粒子束在横向的发散趋势，RMS偏转角越大说明粒子束在接下来的运动中横向的空间分布会变得更发散.以x方向的RMS偏转角为例，其定义式如下:

(12)

初始粒子束共有电子50×104个.粒子的能量为0.1 keV，能量分散为1%.粒子位置、动量的横向初始分布为高斯分布，横向均方根尺寸为5 mm，横向均方根偏转角为0.001 mrad，粒子纵向均方根尺寸5 mm.具体而言，在模拟计算中，各个电子初始位置坐标受横向和纵向均方根尺寸(5 mm)约束并满足随机的高斯分布.以下的所有模拟计算均以此为粒子束初始分布.

1.5 可靠性验证

为了验证我们所开发的粒子云模拟算法的可靠性，我们将beamPIC的模拟结果与ASTRA(A Space Charge Tracking Algorithm)(Floettmann, 2017)进行了对比分析.ASTRA程序是由德国电子同步加速器研究所(Deutsches Elektronen Synchrotron，DESY)发布的一套基于PIC算法的空间粒子束运动模拟程序，能够计算带电粒子束的空间电荷效应等集体自场效应，被广泛应用于带电粒子束的仿真研究.需要说明的是，ASTRA根据粒子束流的特性对计算进行了假设与简化.ASTRA基于束流空间电场缓慢变化的假设，并没有在每一个时间步上都对空间电荷效应重新计算，而是根据电子束的分布对电磁场系数进行缩放.ASTRA程序通过对计算的假设与简化节约了计算的时间成本，但牺牲了部分计算精度.beamPIC程序在每个时间步上都进行了全三维空间的计算，模拟精度更高，适用范围更广.

粒子初始分布均采用1.4节给出的初始分布，设定背景磁场为0 nT，两种算法的模拟结果如图1所示.图1展示了无背景磁场条件下，初始分布为高斯分布的0.1 keV 电子束的ASTRA结果(红色实线)与beamPIC结果(蓝色圆圈).以RMS横向尺寸和RMS偏转角作为对比项，在电子束运动100 m距离上进行比较.beamPIC结果和ASTRA结果RMS横向尺寸随电子束前进距离变化都接近线性增长，在电子束前进至100 m时，RMS横向尺寸约为1.1 m.RMS偏转角都先迅速增加，然后在电子束前进至5 m后逐渐趋于稳定，在电子束前进至100 m时，RMS偏转角约为11.2 mrad.上述结果表明beamPIC与ASTRA两套程序计算结果有良好的一致性.

图1 ASTRA(红色实线)与beamPIC(蓝色圆圈)模拟的电子束运动过程中的RMS横向尺寸与RMS偏转角Fig.1 The RMS transverse size and RMS deflection angle of the moving electron beams simulated by ASTRA (red solid line) and beamPIC (blue circle)

2 模拟结果

2.1 电子束平行于强背景磁场运动的横向振荡

选取地球偶极子场模型L-shell为2时的地球磁场作为背景磁场(此时背景磁场大小为3900 nT，下文中称强磁场)，同时取背景磁场大小的十分之一作为新的背景场(下文中称弱磁场)用以对比.我们对比了电子束平行于背景磁场运动时，不同强度背景磁场下电子束的演化，发现在强背景磁场下，电子束横向尺寸先发散后收缩，电子束存在横向振荡现象.图2展示了无磁场(0 nT)、弱磁场(390 nT)、强磁场(3900 nT)三种背景场下电子束运动方向与背景磁场方向平行时运动100 m过程中RMS横向尺寸与RMS偏转角变化.无背景磁场时粒子RMS横向尺寸接近线性增加，在电子束前进100 m时RMS横向尺寸约为1.1 m.弱磁场下RMS横向尺寸在电子束前进0～50 m时比较接近无背景场情况，50 m之后开始明显小于无磁场情况，在电子束前进100 m时RMS横向尺寸约为1.05 m.强磁场下RMS横向尺寸在电子束前进至28 m时到达峰值约0.19 m，然后在前进至55 m时下降至接近0 m，接着在前进至82 m时到达峰值约0.19 m，呈现先增大后减小的周期性变化.三种背景场条件下RMS偏转角均先迅速增加，然后在电子束z向前进至5 m后逐渐保持稳定.强磁场下电子束z向前进至55 m时RMS偏转角有小扰动.由图2还可以清楚看到，强背景磁场(3900 nT)下，从RMS横向尺寸的结果上，我们可以明显看到电子束的横向振荡现象，RMS横向偏转角有小扰动，发生扰动时电子束恰好完成一次振荡循环.而在无背景场和弱背景磁场(390 nT)下，从RMS横向尺寸的结果上，没有观察到电子束的横向振荡现象.

图2 0 nT(红色星标)、390 nT(蓝色圆圈)和3900 nT(黑色实线)三种背景磁场下电子束运动过程中的RMS横向尺寸与RMS偏转角Fig.2 The RMS transverse size and RMS deflection angle of the moving electron beams with three different magnetic fields: 0 nT (red star), 390 nT (blue circle), and 3900 nT (black solid line)

为了更清晰地展示横向振荡现象，图3给出了横向振荡过程中电子束横向分布.图3a展示了电子束前进0～100 m过程中RMS横向尺寸变化，t0时刻电子束处于初始状态；t1时刻电子束前进至14 m处，处于第一个RMS横向尺寸上升区间；t2时刻电子束前进至28 m处，达到第一个RMS横向尺寸峰值；t3时刻电子束前进至41 m处，处于第一个RMS横向尺寸下降区间；t4时刻电子束前进至55 m处，达到第一个RMS横向尺寸谷值，完成一个振荡周期；t5时刻电子束前进至69 m处，处于第二个RMS横向尺寸上升区间；t6时刻电子束前进至82 m处，达到第二个RMS横向尺寸峰值；t7时刻电子束前进至95 m处，处于第二个RMS横向尺寸下降区间.图3b—i展示了t0至t7时刻电子束的横向分布.t0至t2时刻电子束横向尺寸不断变大，在t2时刻横向尺寸达到最大，半径约为0.4 m.t2到t4时刻电子束横向尺寸不断变小，在t4时刻最小，此时完成一次振荡循环，之后电子束横向尺寸如此往复变化.在电子束平行于背景磁场运动过程中，电子束在横向明显出现了先膨胀后收缩的周期性变化，即横向振荡现象.

图3 电子束运动过程中横向尺寸和空间分布的演化情况其中(a)电子束运动中RMS横向尺寸变化，t0-t7为选取的特征时刻； (b)—(i) 对应(a)中t0-t7时刻的电子束空间分布情况.Fig.3 The evolution of RMS transverse size and spatial distribution of the travelling electron beam(a) shows the change of the RMS transverse size, here t0-t7 are the selected characteristic moments; (b)—(i) show the evolution of the spatial distribution at t0-t7 defined in (a).

2.2 单粒子运动轨迹追踪与分析

为了探究平行于背景磁场运动时电子束横向振荡现象形成的物理机制，我们随机选取粒子，追踪电子束平行于背景磁场运动过程中该粒子的横向位置、动量和所受作用力等物理信息.追踪粒子的横向初始位置为x0=0.0078 m,y0=0.0071 m, 追踪粒子的横向动量以mc为基准进行了归一化处理，px/mc=2.6408×10-8,py/mc=2.1115×10-8，下文所讨论的追踪粒子均以此粒子为例.图4a—c展示了追踪粒子的横向偏移距离、横向的位置与动量信息，t0至t4时刻与图3中t0至t4相同.图4d中蓝色实线为追踪粒子的第一个振荡周期的轨迹拟合成的圆，蓝色星标为t0至t4时刻追踪粒子的位置.如图4a所示，振荡过程中随着z向距离增加，粒子的横向坐标变化呈现周期性，形状类似正弦曲线；粒子横向动量在初始的一段时间迅速增大，这是由于空间电荷效应电子间库伦斥力使电子加速，之后呈现周期性变化，形状类似正弦曲线；粒子轨迹在x-y平面接近圆，于是我们推测磁场在粒子振荡过程中占主导作用.

图4 追踪粒子在运动过程中横向截面上的位置、动量和轨迹变化(a) 追踪粒子在横向上偏离参考粒子的距离； (b)和(c) 分别为追踪粒子在横向截面上的位置和动量； (d) 为追踪粒子在横向截面上的运动轨迹.Fig.4 The evolution of the position, momentum, and trajectory of the selected particle in the transverse plane(a) shows the distance between the tracing particle and the reference particle at the transverse plane; (b) and (c) show the evolution of the position and momentum of the selected electron at the transverse plane; (d) shows the trajectory of the electron at the transverse plane.

为了进一步分析电子束振荡过程的物理机制，验证粒子振荡过程中磁场的主导作用，我们分析了追踪粒子的受力情况.图5(a，b)分别展示了追踪粒子的x向和y向所受洛伦兹力、电场力以及合外力，其中洛伦兹力由追踪粒子速度和背景磁场计算得到，电场力由粒子间相对位置计算得到，合外力为二者之和.以图4d中蓝色实线所代表的粒子轨迹拟合圆的圆心为原点，构建圆坐标系，图5c展示了追踪粒子在圆坐标系中径向和切向受力，图5d展示了追踪粒子在径向所受洛伦兹力、电场力以及合外力.从图5(a，b)中可以看出在开始 0～2 m距离内，电子所受静电斥力(红色实线)开始远大于洛伦兹力(蓝色实线)，电子总受力(绿色实线)由静电斥力支配，而且静电斥力随着电子束横向尺寸变大而迅速降低.之后2～100 m距离中，电子所受静电斥力一致接近于0， 而电子总受力由洛伦兹力支配.只有在电子束完成一个振荡周期时(即55 m附近)，由于电子束的横向尺寸变小汇聚，因此静电斥力才相对变大.综上可知，静电斥力主要是在电子束运动的初始发散阶段起主要作用，而洛伦兹力在之后的电子束横向振荡过程中起主要作用.从图5c可以看出粒子前进5 m后，粒子受力主要在径向且几乎保持不变，结合图5d中径向受力的贡献主要来自洛伦兹力，这也证实了电子束振荡过程中洛伦兹力占主导作用.

图5 追踪粒子的横向受力情况(a)和(b) 分别为横向截面上追踪粒子运动过程中在x和y方向上所受洛伦兹力(蓝色实线)、静电斥力(红色实线)和合力(绿色实线)； (c) 为追踪粒子在运动过程中的径向受力(蓝色实线)与切向受力(红色实线)； (d) 为追踪粒子径向所受的洛伦兹力(蓝色实线)、静电斥力(红色实线)和合力(绿色实线).Fig.5 Transverse force of the selected electron(a) and (b) show the Lorenz force (blue solid line), electrostatic force (red solid line), and total force (green solid line); (c) shows the radial force (blue solid line) and the tangential force (red solid line); (d) shows the Lorentz force (blue solid line), electrostatic force (red solid line), and total force (green solid line) along the radial direction.

为了更清晰地展示追踪粒子运动过程中所受场的作用，图6展示了随着时间的推进，参考粒子在z向前进0、0.5、1 和2 m时空间中电子束结构的电场分布情况.左边两列为以参考粒子为中心，电子束结构在x-y平面(即横向截面)上Ex和Ey，第三列为x-z平面(即纵向截面)上的Ez.需要说明的是，第三列的横坐标Δz为相对于参考粒子的z向空间坐标.红色(或绿色)圆圈指出了追踪粒子的位置.追踪粒子位置处的电场值如表1所示，将表中电场值的等值线在图6中用白色虚线表示.以追踪粒子位置处的Ex为例，参考粒子前进0、0.5、1和2 m时，对应的Ex分别为5.5414、2.2650、0.7338和0.1904 V·m-1，可以看出随着粒子的前进，粒子周围电场迅速下降，验证了图5中电场力在模拟开始的0～2 m内占主导作用且在迅速下降这一结论.等值线对应的电场值是由图5中电场力(即根据粒子位置计算得到的静电斥力的解析值)计算得到.图6中电场分布是由全粒子模拟得到的.追踪粒子恰好位于电场等值线上，表明全粒子模拟得到的电场与解析方法计算得到的电场一致，验证了beamPIC程序的可靠性.

表1 追踪粒子分别位于0、0.5、1和2 m处所对应的横向电场Table 1 Transverse electric fields on the tracing particle at 0, 0.5, 1 and 2 m, respectively

图6 电子束的参考粒子运动至0、0.5、1和2 m时束结构的空间电场分布(a)—(d) 表示参考粒子从0运动至2 m，从左到右三列依次代表横截面上的电场Ex和Ey以及纵截面上的电场Ez，颜色代表电场强度.圆圈代表追踪粒子所处位置，白色虚线为电场的等值线.Fig.6 The spatial distribution of the electric field when the reference particle reaches 0, 0.5, 1 and 2 m(a) to (d) show the electric field when the reference particle moving at 0 to 2 m, respectively. From left to right, the three columns represent the electric fields Ex and Ey on the transverse plane, and Ez on the longitudinal plane, respectively. The color represents the electric field strength. The circle shows the position of the tracing-particle, and the white dash line is the contour line of the electric field.

2.3 不同背景磁场下验证对横向振荡现象的物理解释

为了证实平行于背景磁场运动的电子束横向振荡现象是洛伦兹力所驱动，我们增大背景磁场强度，并将结果与原振荡现象进行对比分析.图7展示了将背景磁场分别调整为原来(3900 nT)的2倍(7800 nT)和5倍(19500 nT)后与原来RMS横向尺寸的对比.电子束仍出现了振荡现象，RMS横向尺寸随背景磁场增强而减小.背景磁场为7800 nT时，RMS横向尺寸的谷值出现在电子束前进28、55和82 m处，平均一个周期内电子束前进距离为27.33 m；当背景磁场为19500 nT时，RMS横向尺寸的谷值出现在电子束前进11、22、33、44、55、66、77、88和99 m处，平均一个周期内电子束前进距离为11 m.

图7 不同背景磁场下电子束的RMS横向尺寸对比蓝色实线, 红色实线以及绿色实线分别代表背景磁场为3900，7800以及19500 nT的结果.Fig.7 Comparison of the RMS transverse sizes of electron beams with different magnetic fields Blue solid line, red solid line, and green solid line represent the results of 3900, 7800, and 19500 nT, respectively.

基于本文中所提出的洛伦兹力支配电子束振荡现象这一物理解释，我们可以计算电子回旋周期作为电子束振荡周期，进而推断出一个振荡周期中电子束前进距离的预期值.我们还可以推断出当背景磁场为原来的n倍时，振荡周期变为原来的1/n，一个振荡周期中电子束前进的距离会变为原来的1/n.例如，0.1 keV电子的速度为5.93×106m·s-1，在平行于3900 nT的背景磁场运动时，电子回旋周期为9.16×10-6s，在一个横向回旋周期内前进的距离为54.32 m，模拟结果中电子束RMS横向尺寸的谷值出现在55 m处，与此相吻合.当背景磁场由3900 nT增大至2倍即7800 nT时，电子回旋周期变为4.58×10-6s，模拟结果中平均一个周期内电子束前进距离为27.33 m，与理论值54.32/2 m=27.16 m较为吻合.当背景磁场由3900 nT增大至5倍, 即19500 nT时，电子回旋周期变为1.83×10-6s，模拟结果中平均一个周期内电子束前进距离为11 m，与理论值54.32/5 m=10.86 m也较为吻合，进一步验证了振荡现象是洛伦兹力支配电子运动产生的集体效应.

3 结论与讨论

本文基于PIC方法，对平行于背景磁场运动的电子束结构的时空演化进行模拟，发现强磁场(3900 nT)下电子束出现了横向振荡现象，并进一步对该现象背后的物理机制进行了探究，给出了合理的解释并予以证实.在相同输入的条件下，我们计算对比了我们所开发的beamPIC程序与开源ASTRA程序的结果，证明了beamPIC程序的可靠性.对比无磁场、弱磁场(390 nT)和强磁场(3900 nT)下的模拟结果，我们发现强磁场下电子束横向尺寸先发散后收缩，电子束存在横向振荡现象.为了进一步探究电子束横向振荡现象的形成原因，我们随机追踪了模拟过程中某个粒子的位置和动量变化，发现在模拟过程初期的短时间内，粒子动量迅速增加，之后粒子动量和位置呈周期性变化，形状类似正弦曲线，且粒子的横向轨迹十分接近圆.我们对追踪粒子的受力分析结果表明电子束的静电自场力是初期电子动量快速增加的主要原因，之后洛伦兹力是产生电子束振荡现象的主导因素.通过增大背景磁场强度，我们发现电子束振荡周期与理论预期吻合很好，进一步证实了振荡现象是洛伦兹力支配粒子运动产生的集体效应.

本文主要结论如下：

(1)基于PIC方法对平行于背景磁场运动的电子束结构演化进行了模拟，发现在强背景磁场(L=2,B0=3900 nT)情况时电子束(Ek=0.1 keV)出现了横向方向上的约束与周期性振荡现象.当电子束沿磁力线运动时，其RMS横向尺寸先变大，到达峰值后又逐渐变小，然后再变大，如此反复.

(2)通过追踪电子束中单个电子并分析其空间坐标、动量和受力情况，我们发现在电子束前进0～2 m过程中，粒子间电场力占主导作用，且随电子束前进距离迅速下降，在电子束前进2 m后，洛伦兹力占主导作用，振荡现象主要发生在这一阶段，说明是洛伦兹力驱动振荡现象.

(3)改变背景磁场强度，发现电子束横向振荡周期符合理论预期，证实了振荡现象是洛伦兹力支配粒子运动产生的集体效应.当背景磁场为原来的n倍时，振荡周期变为原来的1/n，一个振荡周期中电子束前进的距离变为原来的1/n，模拟结果符合理论预期.

上述研究结果表明特定能量(本文中为0.1 keV)的电子束在沿着特定背景磁场(本文中为3900 nT)运动中其横向运动会出现振荡现象，这种振荡现象是由洛伦兹力支配粒子运动所产生的集体效应.为了简化问题，本文只探讨了电子束前进方向与背景磁场方向夹角为0、电子束能量为0.1 keV这一特定情况，同时验证了beamPIC模型可以准确有效地模拟带电粒子束在地球磁场环境下的运动特征和结构演化.在接下来的研究中我们将进一步研究不同夹角、不同能量的粒子束空间结构在不同背景磁场强度和分布情况下演化情况，以获取人工调制带电粒子束在真实地球磁场下的传播特性.