VTI介质初至波多参数走时反演敏感核分析及反演策略

张建明， 董良国， 王建华， 汪燚林

同济大学海洋地质国家重点实验室， 上海 200092

0 引言

近地表模型在地震数据近地表校正和地震成像中起着关键的作用.由于初至波最先到达检波器，其中包含丰富的近地表介质结构信息，且能量强，易识别，因此，在实际地震勘探中普遍利用初至波信息来建立近地表模型(Zhu et al., 1992; Luo and Schuster, 1991; 张建明等，2021).而初至波走时信息又最为稳健，利用初至波走时残差建立的目标函数具有良好的凸性，且走时反演对初始模型依赖较低，因此，初至波走时反演目前被广泛应用于实际生产中.

传统的初至波走时反演方法(Olsen，1989；Luo and Schuster，1991；Sei and Symes，1994；Taillandier et al.，2009)普遍基于介质的各向同性假设.然而，地下岩层普遍存在各向异性特征(Crampin，1978；Helbig，1994；Thomsen，1986)，介质的各向异性对地震波传播的运动学和动力学特性都有严重的影响(Tsvankin et al.，1990，2010)，因此，构建近地表各向异性参数模型对于地震数据近地表校正和地震成像至关重要.尤其是近年来，随着“两宽一高”地震勘探技术的广泛应用(宁宏晓等，2019)，在大偏移距的地震数据中，介质的各向异性对地震数据的影响更加突出.若以传统的各向同性方法处理各向异性的地震数据，在成像道集上，表现为道集无法拉平；在成像剖面上，表现为绕射波无法收敛，成像分辨率低甚至成像错误(Han and Wu，2005).目前，在地震深部成像中已经考虑介质的各向异性(Weibull and Arntsen，2014；Mu et al.，2020)，但在地震数据的近地表校正中还普遍基于近地表介质的各向同性假设，已无法满足实际地震勘探的需求.

由于沉积压实作用，近地表介质往往表现为具有垂向对称轴的横向各向同性特征(即VTI介质)，这是最典型的一类各向异性介质.3个独立参数就可以描述VTI介质中声波的传播特征，最典型的参数化方式为Thomsen参数化模式(V0，ε，δ)，其中V0表示地震波沿VTI介质对称轴纵向传播的速度，ε定义了P波各向异性的特征，δ决定了垂直入射方向上的P波相速度函数的二阶导数(Thomsen，1986).VTI介质的参数反演是一类典型的多参数反演问题(Burridge et al.，1998)，多参数加剧了反演的非线性和不稳定性，最主要的原因就是多参数之间的交叉耦合问题(Operto et al.，2013；Alkhalifah and Plessix，2014；Djebbi et al.，2017)，即不同参数会产生相似的数据扰动(Operto et al.，2013)，这种数据上的相似性来自于不同参数的辐射模式在特定角度范围内的相互重叠.由于实际观测数据很难区分数据扰动来源于哪个参数的摄动，这种参数耦合就会引起不准确的反演结果.

目前，针对反演过程中的多参数耦合问题，有三类最常见的处理方法：

(1) 参数化模式的选择.全波形反演的参数化选择往往基于辐射模式的分析(Plessix and Cao，2011；Gholami et al.，2013；Priuex et al.，2013；Alkhalifah and Plessix，2014；Kamath and Tsvankin，2016；Pan et al.，2018a，b)，而走时反演中的参数化的选择往往从多参数的敏感核分析开始(Djebbi et al.，2017).辐射模式和敏感核可以在一定程度上揭示多参数之间的耦合效应，通过分析，最终找到最有利于多参数解耦的参数化方式.

(2)分级反演策略.传统的分级反演策略(Gholami et al.，2013；Alkhalifah and Plessix，2014)将反演分为不同的阶段，先固定弱参数反演强参数，待强参数反演结束后再固定强参数反演弱参数.这种分级反演策略在第一个反演阶段依赖于相对准确的弱参数模型，否则强参数反演误差会增大，导致第二阶段弱参数反演误差也增大.而优化的分级反演策略(杨积忠等，2014；刘玉柱等，2014)需要先进行一轮多参数同时反演，此时往往是强参数更新不足，弱参数更新过量.在第二轮同时反演时，使用第一轮反演得到的强参数模型作为初始模型，弱参数初始模型与第一轮反演的初始模型一致.这样，两轮反演后，强参数和弱参数反演结果均优于第一轮的反演结果.

(3) 基于Hessian矩阵的多参数同时反演策略(Operto et al.，2013；Wang et al., 2016；Pan et al.，2019).多参数反演中的Hessian矩阵呈现块对角占优的特征(Operto et al.，2013；Wang et al., 2016)，其中，对角线元素体现了地震波传播的几何扩散效应，非对角线元素体现了多参数之间的耦合效应.采用Hessian矩阵的对角元素来近似精确Hessian矩阵并不能有效解决参数之间的耦合(Operto et al.，2006).如果在反演中能够更多地利用Hessian矩阵的非对角线元素信息，在反演过程中就可以实现一定程度的多参数解耦(王义和董良国，2015；Wang et al., 2016；Pan et al.，2019).其中，Wang等(2016)在弹性波全波形反演(EFWI)中提出了一种块对角Hessian的预条件方法，该方法考虑了相同空间位置处不同参数之间的耦合效应.与此同时，基于二阶伴随状态法(Métivier et al.，2013)或改进的散射积分法(Liu et al.，2015)的截断高斯牛顿优化方法，通过迭代求解牛顿方程，将Hessian信息逐渐引入多参数EFWI反演中，可以更好地压制参数耦合并同时获取多种参数估计(Sun et al.，2017；刘玉柱等，2015，2019).

另外，Xu和McMechan(2014)提出了多步长的策略，以平衡不同参数之间的更新，进而压制参数之间的耦合性.纵横波场分解的策略在解决纵横波速度之间的耦合效应方面也具有良好的效果(Ren and Liu，2016；Wang and Cheng，2017).

然而，不同参数之间的耦合效应是地震波传播的固有特性，上述方法和策略尽管具有一定的效果，但耦合效应不可能完全消除.不同参数对于数据有不同的敏感度和耦合效应，不同观测方式得到的地震数据所体现出来的耦合程度也不同，地震数据中不同震相上也具有不同的耦合特征(Wang and Cheng，2017).因此，如何尽可能地减少参数之间的耦合效应，降低参数之间的交叉混叠假象，这是利用初至波走时进行VTI介质多参数反演、有效重建近地表介质的地震波速度和各向异性参数的关键问题.

本文聚焦上述第一类方法，通过分析VTI介质初至走时反演多参数敏感核的特征，合理选择参数化方式，发展有针对性的反演策略，从而提高近地表VTI介质多参数反演的精度.

国际上，Zhou和Greenhalgh(2005)从Christoffel矩阵出发，率先推导出了刚度系数对速度的一阶导数，其实质等同于多参数走时反演的敏感核.在国内，白超英等研究了弹性介质初至波走时对多参数的敏感性(黄光南等，2015；Bai et al.，2016；黄国娇等，2016；He et al.，2019).但是，上述研究缺乏分析多参数敏感核随角度变化的特征，而且只考虑Thomsen参数化和刚度系数(弹性系数)参数化的敏感核(Zhou and Greenhalgh，2005; Zhou et al.，2008；Bai et al.，2016；黄国娇等，2016；He et al.，2019)，缺少对其他参数化模式的分析.在应用层面，上述研究聚焦于井间弹性TI介质透射和反射波联合多参数走时反演的理论模型试验，而在实际地震勘探中，横波、反射波、转换波等多震相波形的走时信息拾取非常困难，降低了方法的实用性.Wang等(2013)和刘玉柱等(2014)对比了Thomsen参数化和三慢度参数化的多参数敏感核，认为三慢度参数化模式敏感核量级一致，是一种更优的参数化模式.然而该研究同样缺少对多参数的耦合效应的分析，所依据的Sayers(1995)群速度近似公式，误差也相对较大，而且他们推导得到的三慢度敏感核也存在偏差，研究得到的结论不完全正确.

为此，本文基于更高精度的Fomel群速(慢)度近似(Fomel，2004)，推导得到了声波VTI介质中16种参数化模式下走时反演的多参数敏感核解析解，详细分析了4种参数化模式的多参数敏感核随角度变化特征和多参数之间的耦合效应，并将子空间方法(Kennett et al.，1988；Baumstein，2014；Djebbi and Alkhalifah，2019)引入到VTI介质多参数走时反演中，提出了在全方位观测和地表激发接收两种观测方式下的最优参数化方式和多参数反演策略.理论分析和模型试验都证明了所提出的反演策略的正确性.

1 VTI介质多参数初至波走时敏感核的解析解

在VTI介质中，地震初至波走时T可表示为

(1)

其中，Sφ是依赖于各向异性参数的地震波群慢度，φ代表初至波传播方向与VTI介质对称轴的夹角，即射线群角，L表示射线路径.当各向异性介质参数扰动时，由射线路径L变化引起的走时扰动相比于由参数摄动引起的走时扰动为二阶小量，可以忽略.因此，由参数摄动引起的一阶走时扰动ΔT可近似表示为

(2)

利用方程(2)中的走时残差ΔT来反演VTI介质的三个模型参数(α,β,γ)，可以使用基于程函方程的伴随状态反演方法(Bin Waheed et al.，2016)，而本文使用VTI介质中的射线追踪法.不管使用哪种反演方法，方程(2)右侧的敏感核函数Km在反演中都居于核心地位，对其性态的全面了解和把握是反演的前提.因此，本文聚焦该敏感核函数，详细分析VTI介质中全部16种参数化模式下多参数的敏感核，总结参数之间的耦合效应，提出了在全方位观测和地表激发接收两种观测方式下的最优参数化方式和多参数反演策略.

声波VTI介质走时反演的多参数敏感核可以基于不同的群慢度近似得到，由于Fomel群慢度近似在强各向异性介质中精度较高(Fomel，2004；Yuan et al.，2006； Zhang et al.，2013)，所以，本文推导均基于Fomel群慢度近似公式(Fomel，2004)：

(3)

利用(3)式，本文首次得到了VTI介质多参数初至波走时敏感核的解析解，见(4)式.

(4)

其中，

(5)

在不同的VTI介质参数化模式下，尽管初至波走时反演中多参数敏感核的解析解具有统一的形式(见(4)式)，但由于Q、A、C的表达形式不同，决定了在不同参数化模式下的VTI介质初至波走时反演的敏感核也不同.

2 VTI介质多参数初至波走时反演敏感核与耦合分析

2.1 参数化模式1：m=(S0，ε，δ)

(6a)

(6b)

(6c)

图1展示了参数化模式1中三个参数敏感核的数值算例(在计算敏感核时，选取的参数为S0=1/3000 s·m-1、ε=0.2、δ=0.1)，数值大小代表初至波走时对参数敏感性的相对强弱.在相同的参数化模式下，选取不同的参数得到的敏感核的形态基本类似.

为简单起见，在下文中的其他15种参数化中，不再列出走时反演敏感核的解析表达式，只展示根据敏感核解析表达式数值计算得到的敏感核形态.

可以发现，在该参数化模式下，垂向慢度S0的敏感性最强，ε次之，δ的敏感性最弱.由于δ参数的敏感性最低，对初至波运动学特性影响极其微弱，所以在反演过程中δ参数一般是作为已知参数通过测井资料直接提供(Alkhalifah and Plessix，2014)，从而只反演S0和ε两个参数.

角度代表初至波传播方向与VTI介质对称轴的夹角，即射线群角.本文将群角分为三个角度范围进行分析，分别为小角度范围(0～30°)、中角度范围(30～60°)和大角度范围(60～90°).由图1可见，S0在所有角度范围内敏感性基本一致，表现为近似各向同性特征.ε只在大角度范围内敏感性强，角度越大敏感性越强，90°时敏感性最强，0°时敏感性为零.所以说ε参数控制着大角度地震波的速度变化.δ在中角度范围内敏感性相对较强，小角度0°和大角度90°时，敏感性为零.因此，在小角度范围内，三参数的耦合效应最弱，0°时不存在三个参数的耦合问题.在中角度范围内三参数存在相对较强的耦合效应，其中，在接近45°时，S0和δ两参数耦合效应达到峰值.在大角度范围内，S0和ε两参数存在相对较强的耦合效应，90°时，S0和ε两参数的耦合效应达到最强.

图1 参数化模式1下(a)S0，(b)ε和(c)δ三个参数的敏感核Fig.1 Sensitivity kernels of the (a)S0，(b)ε and (c) δ parameter for parametric mode 1

可以预见，在炮点和检波点都在地表的常规观测方式下，地震初至波以中大角度范围穿过近地表的地层，由于初至波走时对S0和ε两参数都有相对较强的敏感性，而对δ参数敏感性弱，此时尽管存在参数耦合效应，在步长计算相对准确时，仍然可以通过多参数同时反演策略有效恢复S0和ε两参数模型.

2.2 参数化模式2：m=(Sh，η，δ)

根据各向异性参数之间的参数转换关系：

(7)

由图2可见，在m=(Sh，η，δ)参数化模式下，水平慢度Sh的敏感性最强，η和δ的敏感性相对较弱.Sh在全部角度范围内的敏感性大体一致，而η和δ只在中小角度范围内有相对较强的敏感性.角度越小，η和δ敏感性越强，0°时η和δ两参数的敏感性都达到峰值.

图2 参数化模式2下(a)Sh、(b)η和(c)δ三个参数的敏感核Fig.2 Sensitivity kernels of the (a) Sh，(b) η and (c) δ parameter for parametric mode 2

说明在中小角度范围内，三个参数之间存在强烈的参数耦合效应，尤其在0°时，三个参数间的耦合效应达到最强.而在中大角度范围内，参数耦合效应随角度增大而逐渐减弱，90°时无参数耦合效应，初至波走时只对Sh参数敏感.这意味着，利用中大角度传播的地震波走时，可以有效反演Sh参数，且此时受η和δ参数耦合影响非常小.即在地表激发接收的观测方式下，该参数化模式是反演Sh参数的最佳参数化方式.

2.3 参数化模式3：m=(Sn，η，δ)

由图3可见，在该参数化模式下，慢度Sn敏感性最强，η和δ的敏感性相对较弱.Sn在全部角度范围内都有较强的敏感性，δ只在中小角度范围内敏感性较强，角度越小敏感性越强，0°时达到峰值.η只在中大角度范围内有较强的敏感性，角度越大敏感性越强，90°时达到峰值.

图3 参数化模式3下(a)Sn、(b)δ和(c)η三个参数的敏感核Fig.3 Sensitivity kernels of the (a) Sn，(b) δ and (c) η parameter for parametric mode 3

说明在中小角度范围内，Sn和δ两参数的耦合效应较强，角度越小耦合效应越强，0°时最强.在中大角度范围内Sn和η两参数的耦合效应较强，角度越大耦合效应越强，90°时最强.

上述分析表明，在地表激发接收的观测方式下，当地震初至波以中大角度范围穿过近地表时，初至波走时对Sn和η两参数都有较强的敏感性而对δ敏感性很弱，因此该参数化模式适合Sn和η两个参数反演.

2.4 参数化模式4：m=(S0，Sh，Sn)

由图4可见，在该参数化模式下，三慢度敏感性量级基本一致，Sn稍弱.S0只在中小角度范围内有较强的敏感性，且角度越小敏感性越强，0°时敏感性最强.Sh只在中大角度范围内有较强的敏感性，且角度越大敏感性越强，90°时敏感性最强.Sn只在中角度范围内有相对较强的敏感性，接近50°时，敏感性最强.

图4 参数化模式4下(a)S0、(b)Sh和(c)Sn三个参数的敏感核Fig.4 Sensitivity kernels of the (a) S0，(b) Sh and (c) Sn parameter for parametric mode 4

上述分析说明，S0和Sh两个参数之间没有太强的参数耦合效应.Sn参数敏感性相对较弱，且在中角度范围内与S0和Sh两个参数存在较弱的耦合效应.这就意味着，在这种参数化模式中，当介质模型被全方位角度的初至波照明时，三个参数分别影响不同角度范围的初至波走时，三参数之间的耦合效应最弱，最有利于多参数反演.但是，当射线覆盖角度只有中大角度(如地表激发接收的观测方式)时，利用这种参数化模式同时反演三参数极具挑战性，S0参数的反演尤其困难，Sn也因敏感性相对较弱难以反演，所以，在这种情况下三慢度的参数化模式并非最优.

通过对比分析上述4种以及附录中其余的12种参数化模式的敏感核特征，可以发现，对于不同的参数化模式，都有两个明显特性：(1)在不同的参数化模式下，三个参数的敏感性强弱不同，慢度参数总是强参数，敏感性大于其他各向异性参数.(2)在同一种参数化模式下，三个参数的敏感性具有明显的角度特性.也就是说，在不同的参数化模式中，不同参数的敏感性不同，参数之间的耦合效应特征也不同.其中，在参数化模式4中三个慢度参数之间耦合影响相对微弱，在其他参数化模式中存在两个参数耦合影响微弱的情况，如参数化9中的S0和Sh两个参数之间的耦合效应相对较弱，参数化11中的Sh和Sn、δ两个参数之间的耦合效应比较弱，参数化14中的S0与Sn、η两个参数之间的耦合效应比较弱，参数化15中的S0、Sh两个参数之间耦合效应较弱，参数化3中的η和δ两个参数之间耦合效应较弱.除上述几种参数化模式外，在其他参数化模式中没有明显的两参数解耦或三参数解耦情况存在.这也意味着，反演不同的参数需要根据敏感核和参数耦合效应特征，有针对性地选择合理的参数化模式，同时也需要考虑不同的观测方式，因为观测方式影响地震初至波的传播角度.

3 VTI介质多参数初至波走时反演策略及数值试验

在不同的观测方式下，地震初至波穿过模型的角度覆盖范围不同.加上不同的参数化模式中多参数的敏感性随角度变化特征不同，因此，对于不同的观测方式，应该有针对性地选择不同的参数化模式以反演不同的参数，并制定相应的反演策略.

下面将重点讨论全方位观测和地表激发接收两种观测方式下的参数化选择和反演策略.同时需要说明，本文在模型试验中涉及慢度(速度)参数时，均是采用慢度更新方式，但为方便阅读，显示的模型均是速度模型.

3.1 全方位观测反演策略及试验

在全方位观测方式下，地下介质会被不同角度的地震初至波所照明，地震初至波走时对不同参数化模式的三个参数都会有不同程度的响应，不同参数化模式中的三个参数之间的耦合效应不一致.此时，只需要选择一种三个参数之间耦合效应最弱的参数化模式，在不需要其他反演策略的情况下就可以有效同时反演得到三个参数.前面的多参数敏感核与耦合分析已经表明，在三慢度参数化中，三个参数之间的耦合效应最弱，且三个参数的敏感性强弱基本一致，为全方位观测方式下的最佳参数化模式.下面，采用异构的球状模型来验证上述理论分析的正确性.

设计的异构模型如图5，而初始模型为V0=2000 m·s-1、Vh=2366 m·s-1、Vn=2192 m·s-1的均匀模型.网格数nx=nz=401，网格间距dx=dz=10 m.四周布满400个炮点和1600个检波器，通过匹配这些检波器处的初至波走时与相应位置的“观测”走时，使走时误差的平方和达到最小，从而得到反演结果，见图6.

图5 三慢度参数化下的多参数真实模型(a) V0模型; (b) Vh模型; (c) Vn模型.Fig.5 True models of the three parameters for 3-slowness parametric mode(a) V0 model; (b) Vh model; (c) Vn model.

图6 三慢度参数化下的多参数反演结果(a) V0反演结果; (b) Vh反演结果; (c) Vn反演结果.Fig.6 The inversion results of the three parameters for 3-slowness parametric mode(a) V0 model; (b) Vh model; (c) Vn model.

从反演结果来看，V0(图6a)和Vh(图6b)参数反演结果比较精确，Vn(图6c)参数反演尽管一定程度上还是受V0和Vh参数耦合的影响，但也得到有效更新.这是因为在迭代反演的过程中，V0和Vh两参数几乎没有参数耦合效应，可以不断被有效更新，当V0和Vh两参数得到充分更新后，走时残差主要由Vn参数引起，Vn参数在迭代反演后期也得到了有效更新.但是，从前面的参数化模式4的敏感性分析结果可以看出，相对于V0和Vh，初至波走时对Vn的敏感性相对较弱，容易受到V0和Vh参数的影响，因此在最终的反演结果上，Vn参数的反演仍然存在一定的误差.

如果将图5所示的异构模型通过关系式(7)换算为Thomsen参数化(S0，ε，δ)进行反演，再将反演结果换算为三速度模型(图7)进行对比，可以发现，在Thomsen参数化下三参数反演过程中存在较强的参数耦合效应，导致三个参数的反演结果相互串扰，尤其是弱参数ε(图7b)和δ(图7c)受V0(图7a)参数耦合影响尤为突出.通过本实验，验证了在观测系统完备情况下，前面敏感核分析得到的三慢度参数化模式为最佳参数化模式的结论的正确性.

图7 Thomsen参数化下的多参数反演结果(a) V0反演结果; (b) ε反演结果; (c) δ反演结果.Fig.7 The inversion results of the three parameters for Thomsen parametric mode(a) V0 model; (b) ε model; (c) δ model.

3.2 地表观测反演策略及试验

在激发点和检波点均位于地表的观测方式下，地震初至波只会以中大角度范围在近地表传播.观测系统的不完备性，加剧了反演的非线性和不稳定性，同时反演三个参数尤其困难.根据前文中参数化模式4的敏感性分析发现，在地表激发和接收的观测方式下，利用三慢度的参数化模式并非最优，此时应有针对性地选择不同的参数化模式分别反演不同的参数.

基于多种参数化的多参数敏感核分析，可以发现以下三个特征：(1)在敏感性如图1的Thomsen参数化模式(S0，ε，δ)下，初至波走时对S0和ε两个参数均有更强的敏感性，而对δ参数的敏感性非常弱.说明δ参数对初至波走时影响微弱.因此，尽管在反演中即使采用错误的δ模型，仍然可以有效反演S0和ε两个参数.(2)在参数化模式(Sn，η，δ)下，由图3的敏感性特征可见，当初至波以中大角度范围穿过模型时，初至波走时对Sn、η两个参数敏感性较强，而对δ参数敏感性弱.因此，在反演中即使采用错误的δ模型，也可以有效地反演Sn、η两个参数.(3)同理，在参数化模式(Sh，η，δ)下，由图2的敏感性特征可见，初至波走时只对Sh参数敏感而对η和δ两个参数不敏感，因此，尽管反演中使用错误的η和δ模型，也可以有效反演得到Sh参数.

下面，通过数值模型试验，证明上述反演策略的正确性.

试验采用的VTI模型如图8，其中V0、ε、δ三个参数的真实模型为BP模型，η、Vn、Vh三个参数的真实模型由V0、ε、δ通过参数换算得到.初始的V0、Vn、Vh模型均为相同的常梯度速度模型(图9a)，初始的ε、η、δ参数模型的数值均为0(图9b).可见，六个参数的初始模型距离真实模型都比较远.网格数nx=801，nz=116，网格间距dx=dz=20 m.地表均匀布设满401个炮点和801个检波器，炮点和检波点的水平间距分别为40 m和20 m，最大偏移距为8 km.

图8 BP真实模型(a) V0模型; (b) Vn模型; (c) Vh模型; (d) ε模型; (e) η模型; (f) δ模型.Fig.8 The true BP models(a) V0 model; (b) Vn model; (c) Vh model; (d) ε model; (e) η model; (f) δ model.

图9 初始模型(a) 速度(V0、Vn、Vh)模型; (b) 各向异性参数(ε、η、δ)模型.Fig.9 The initial models(a) Velocities (V0，Vn，Vh); (b) Anisotropy parameters (ε，η，δ).

首先验证了参数化模式1中不同参数的扰动对走时影响的强弱.图10a展示了不同参数扰动时第1炮走时场的等走时线分布，图10c是对应地表检波器处初至波走时.图10b展示了δ参数扰动与真实模型下走时场的误差.由图10可见，V0和ε两个参数的扰动都会对初至波走时产生明显影响，而δ扰动对走时几乎没有影响.在实际模型试验的偏移距(8 km)范围内，最大走时误差为毫秒级(图10b)，与实际地震勘探噪声引起的走时误差同等量级，因此，δ参数对走时的影响可以忽略，反演δ参数没有实际意义.

图10 BP模型参数化模式1下不同参数扰动对地震波走时的影响(a) 对应不同参数模型的走时场, 黑线：真实三参数模型走时场；红虚线：V0为初始模型、ε和δ为真实模型时的走时场；蓝虚线：ε为初始模型、V0和δ为真实模型时的走时场；洋红色虚线：δ为初始模型、V0和ε为真实模型时的走时场; (b) δ为初始模型时的走时场与真实模型走时场残差; (c) 对应(a)的地表检波器接收走时.Fig.10 Influence on traveltime of parameter perturbation on BP model in parametric mode 1(a) Traveltime fields corresponding to different parameter models, black line: traveltime field of true models; Red dotted line: the traveltime field of the initial V0 model with the true ε and δ models; Blue dotted line: the traveltime field of the initial ε model with the true V0 and δ models; Magenta dotted line: the traveltime field of the initial δ model with the true V0 and ε models; (b) The residualtraveltime field between the initialδ model and the true models; (c) Traveltime on the receiver position corresponding to Fig.(a).

针对不同的参数，分别采用三种不同的参数化模式进行反演.其中采用参数化模式1反演得到的V0和ε两个参数的反演结果分别如图11a和图11d，走时目标函数变化如图12a.采用参数化模式3，反演得到的Vn和η两个参数的反演结果分别如图11b和图11e，走时目标函数变化如图12b.采用参数化模式2，反演得到的Vh参数的反演结果如图11c，走时目标函数变化如图12c.当参数化模式1和2下的反演都充分收敛后，就可以由V0(图11a)和Vn(图11b)换算得到δ模型(图11f).

图11 图8模型多参数走时反演结果(a) V0反演结果; (b) Vn反演结果; (c) Vh反演结果; (d) ε反演结果; (e) η反演结果; (f) δ转换结果.Fig.11 The inversion results corresponding to the models in Fig.8(a) V0 model; (b) Vn model; (c) Vh model; (d) ε model; (e) η model; (f) δ model.

图12 不同参数化模式下走时反演目标函数下降曲线(a) 参数化模式1; (b) 参数化模式3; (c) 参数化模式2.Fig.12 Decrease of traveltime objective function for different parametric modes(a) Parametric mode 1; (b) Parametric mode 3; (c) Parametric mode 2.

图13展示了7 km处对应的模型剖面，本文将传统三慢度参数化下三参数同时反演结果作为对比.由图可见，利用本文策略得到的多参数反演结果(图11)和对应的模型剖面(图13蓝线)都可以反映宏观的背景模型.δ参数尽管误差相对较大，反演结果偏高，也依然可以反映背景模型的宏观变化.然而，利用传统三慢度参数化三参数同时反演策略得到的结果(图13a、图13b和图13c红线)中，V0(图13a红线)在模型浅部数值偏高而深部数值偏低.Vh(图13c红线)恰好相反，浅部数值偏低而深部数值偏高.这与图4对应的敏感核分析一致.反演结果的剖面对比说明了三慢度参数化在地表激发接收的观测系统时并非最优参数化方式，同时也说明本文所提出多种参数化反演策略的正确性.

图13 图11模型多参数走时反演结果7km处模型剖面(a) V0模型; (b) Vn模型; (c) Vh模型; (d) ε模型; (e) η模型; (f) δ模型.Fig.13 The model profiles at x=7 km from the multi-parameter traveltime inversion results corresponding to the models in Fig.11(a) V0 model; (b) Vn model; (c) Vh model; (d) ε model; (e) η model; (f) δ model.

图14展示了不同炮点位置处基于真实模型(黑线)、初始模型(蓝线)以及最后反演得到的V0(图11a)、ε(图11d)和δ(图11f)模型(红线)计算的初至波走时数据.由图可见，初始模型(蓝线)与真实模型(黑线)的初至波走时数据匹配较差，而反演结果(红线)与真实模型(黑线)的初至波走时数据匹配良好.反演结果和走时匹配也证明了本文提出的参数化选择和参数反演策略的正确性.

图14 第(a)100炮; (b) 200炮; (c) 300炮位置初至波初至波走时黑线:真实模型; 蓝线:初始模型; 红线:反演模型.Fig.14 First-arrival traveltime data at the (a) 100th shot; (b) 200th shot; (c) 300th shot locations Black line: true model; blue line: initial model; red line: inversion model.

4 讨论

(1)在地表观测方式下，反演V0和ε两个参数也可以选择参数化模式5：m=(S0，ε，η).因为在参数化模式5下，走时对η参数的敏感性与参数化模式1中走时对δ参数的敏感性类似，都非常微弱.因此，选择参数化模式5，在η参数模型偏离真实模型时也能反演得到较准确的背景V0和ε模型.

(2)本文推导得到的16种参数化模式中多参数敏感核的解析解与前人经数值计算所得到的波动方程(或有限频)走时反演敏感核数值解在角度变化特征基本一致，可以互相印证.例如，在参数化模式2、3、13中三个参数的敏感性随角度的强弱变化特征，与Djebbi等(2017)得到的敏感核数值解在0°、45°和90°时强弱变化特征一致，说明本文提出的反演策略可以推广至波动方程(或有限频)走时反演.

(3)VTI介质只是一种特殊的(具有垂直对称轴)TI介质，当地下介质具有倾斜对称特征时(TTI介质)，相应的多参数的敏感核特征也会旋转相应的倾斜角度.因此，本文得到的VTI介质多参数敏感核及分析方式同样适用于TTI介质多参数敏感核分析.TTI介质的多参数反演更具有挑战性，也更具有实际意义，因此TTI介质的多参数反演将是我们下一步重点研究的内容.

5 结论

本文基于VTI介质中的Fomel群慢度近似，推导得到了16种参数化模式下初至波走时反演多参数敏感核的解析解.理论分析表明：

(1)在不同的参数化模式下，初至波走时对同一个参数的敏感性强弱以及随角度的变化特征不同.

(2)在同一种参数化模式下，三个参数敏感性的强弱程度不同，慢度(速度)参数为强参数，其他各向异性参数为弱参数.三个参数的敏感性随角度变化的特征也不同.

(3)在不同的参数化模式下，三个参数之间的参数耦合效应互不相同.

基于对VTI介质中多种参数化敏感核和参数耦合的分析，本文提出了在全方位和地表观测方式下的两种反演策略，并通过模型试验证明了提出的反演策略的正确性.

在全方位观测方式下，地下介质被全方位的地震初至波照明，不同参数化模式中的三个参数都会对初至走时数据产生不同程度的响应.此时，只需要选择三个参数之间耦合影响最弱的参数化模式，在无需额外的反演策略的情况下就可以同时反演得到较好的三参数模型.相比其他参数化模式，三慢度参数化中的三个参数之间的耦合效应最弱，因此，在全方位观测方式下，三慢度参数化为最佳参数化模式.

在地表观测方式下，本文通过分析VTI介质中16种参数化模式下的初至波走时敏感核，提出了一种新的多参数三步法初至波走时反演策略.即，选择参数化模式(Sh，η，δ)反演Sh参数；选择参数化模式(Sn，η，δ)反演Sn和η两个参数；选择参数化模式(S0，ε，δ)反演S0和ε两个参数.最后，通过参数换算关系将S0和Sn换算为δ，即可较好地建立近地表VTI介质的S0、Sh、Sn、ε、η和δ六个参数的模型.

附录 剩余12种参数化模式的敏感核

对于剩余的12种参数化模式，相应的敏感核分析方式与正文中的4种分析方法一致，不再赘述，在这里只列出每种参数化模式中由各向异性参数决定的因式Q、A、C和对应的敏感核解析解的形态，并作必要的说明.

参数化模式5：m=(S0，ε，η)

附图1 参数化模式5下(a)S0、(b)ε 和 (c)η三个参数的敏感核Fig.A1 Sensitivity kernels of the (a) S0，(b) ε and (c) η parameter for parametric mode 5.

参数化模式6：m=(S0，η，δ)

附图2 参数化模式6下(a) S0、(b) η 和(c) δ三个参数的敏感核Fig.A2 Sensitivity kernels of the (a) S0、(b) η and (c) δ parameter for parametric mode 6

参数化模式7：m=(Sh，ε，δ)

附图3 参数化模式7下(a) Sh、(b) ε和(c) δ三个参数的敏感核Fig.A3 Sensitivity kernels of the (a) Sh、(b) ε and (c) δ parameter for parametric mode 7

参数化模式8：m=(Sn，ε，δ)

附图4 参数化模式8下(a) Sn、(b) ε和(c) δ三个参数的敏感核Fig.A4 Sensitivity kernels of the (a) Sn、(b) ε and (c) δ parameter for parametric mode 8

参数化模式9：m=(S0，Sh，δ)

附图5 参数化模式9下(a) S0、(b) Sh和(c) δ三个参数的敏感核Fig.A5 Sensitivity kernels of the (a) S0、(b) Sh and (c) δ parameter for parametric mode 9.

参数化模式10：m=(S0，Sn，ε)

附图6 参数化模式10下(a) S0、(b) Sn和(c) ε三个参数的敏感核Fig.A6 Sensitivity kernels of the (a) S0、(b) Sn and (c) ε parameter for parametric mode 10

参数化模式11：m=(Sn，Sh，δ)

附图7 参数化模式11下(a) Sn、(b) Sh和(c) δ三个参数的敏感核Fig.A7 Sensitivity kernels of the (a) Sn、(b) Sh and (c) δ parameter for parametric mode 11

参数化模式12：m=(Sn，Sh，ε)

附图8 参数化模式12下(a) Sn、(b) Sh和(c) ε三个参数的敏感核Fig.A8 Sensitivity kernels of the (a) Sn、(b) Sh and (c) ε parameter for parametric mode 12

参数化模式13：m=(Sh，ε，η)

参数化模式14：m=(S0，Sn，η)

附图9 参数化模式13下(a) Sh、(b) η和(c) ε三个参数的敏感核Fig.A9 Sensitivity kernels of the (a) Sh、(b) η and (c) ε parameter for parametric mode 13

参数化模式15：m=(S0，Sh，η)

附图10 参数化模式14下(a) S0、(b) Sn和(c) η三个参数的敏感核Fig.A10 Sensitivity kernels of the (a) S0、(b) Sn and (c) η parameter for parametric mode 14

参数化模式16：m=(Sn，ε，η)

附图12 参数化模式16下(a) Sn、(b) ε和(c) η三个参数的敏感核Fig.A12 Sensitivity kernels of the (a) Sn、(b) ε and (c) η parameter for parametric mode 16