细品教材中“1平方厘米”的定义

□郜舒竹 魏卫霞

一、引言

本刊2022年第6期上刊发的《“长×宽”为什么等于“长方形面积”》（以下简称“文1”），针对“长×宽”中乘法运算意义的进化，讨论了长方形“长与宽的乘积”与面积的关系，意在说明“长×宽”等于“长方形面积”并非是自然而然的结论，其中的“长”与“宽”已经超越了线段和长度的意义，偏重两个不同方向行与列的意义，把“长×宽”视为在确定面积单位基础上的“行数×列数”。

在此基础上，本刊2022年第7/8期上刊发的《“平方厘米”语义分析》（以下简称“文2”），从词汇的语义方面讨论了面积单位“平方厘米”中“平方”的意义，以及“平方”与“厘米”组合为“平方厘米”的意义，澄清面积单位“平方厘米”与长度单位“厘米”的关系，运用笛卡尔乘积模型，建立起长度单位与面积单位的因果关系，对“长×宽”等于长方形面积形成了与“搭配”问题意义一致的认识，拓展了“文1”所说长方形面积等于“行数×列数”的意义，体现出乘法运算因果相生、以数生数的建构特征。

无论是“文1”中的“长×宽”，还是“文2”中的“平方厘米”，都反映出数学语言“语境敏感”或“语境依赖”的特征［1］［2］。长方形的长与宽指向长方形相邻的两条边，从形的角度看是两条线段，从量的角度看是线段的长度。在“长×宽等于长方形的面积”的语境下，拓展出单位正方形构成的“行”与“列”这样新的意义，使得“长×宽”的意义从字面的“长度×长度”，改变为实际的“行数×列数”。

“文2”中的“平方厘米”也类似，单独看“厘米”，其意义指向的是长度单位，置于“平方厘米”的语境中，“厘米”的意义指向发生了本质的改变，“平方厘米”中的“平方”不是“厘米”的修饰者或限定者（Determining Adjective），而是“更改者（Modifying Adjective）”。如“玩具枪”一词，由“玩具”和“枪”组成，表达的不是“枪”，而是形如枪的玩具，玩具枪最临近的属概念不是枪，而是玩具，可以说“玩具枪”中的“玩具”改变了“枪”的属性，即“玩具”成为“枪”所表达意义的更改者［3］。如果把“长度单位”视为“厘米”最临近的属概念，那么“平方厘米”则失去了这一属概念的属性，不再表达长度单位的意义，最临近的属概念改变为类似于亩、平方米等的“面积单位”。“平方厘米”表达的既不是“平方和厘米”，也不是“平方的厘米”，而是与平方和厘米相关的一个新概念。像这样语境依赖的现象在人的日常活动中普遍存在，比如在地铁车厢中听到播音员说：

●××站到了，将开启右侧车门。

其中“右侧车门”是以声音“yòu cèchēmén”的形式传递的。现代语言学之父、瑞士语言学家弗迪南·德·索绪尔（Ferdinand de Saussure，1857—1913）在《通用语言学》一书中，把文本、图像、声音等均视为“符号”，符号本身并没有意义，是现实对象或抽象概念的代表，建立符号与其所代表具体对象或抽象概念关系的过程叫作“意指（Signification）”。类似于“右侧车门”这样的声音或文本符号的心理表象叫作“能指（Signifier）”，能指所涉及的现实对象或抽象概念称为“所指（Signified）”，意指就是建立能指与所指关系的过程［4］。

“右侧车门”的意指过程并不明显，原因在于“右”作为具身的方位词，具有语境依赖的特点，这时的语境不是文本意义的上下文，而是身体、思维与现实环境共存的“情景（Situation）”，所指“右侧车门”位置需要在身体、情景和思维的互动中确认。右侧车门中的“右”是相对于人身体的朝向而言的，当人身体面向车行驶方向时，“右手”指向车门位置；如果身体是背朝行驶方向，那么“左手”指向车门位置（如图1）。

图1 地铁车门位置相对性示意图

这表明能指的“右”可能是所指的“右”，也可能是所指的“左”，这也印证了索绪尔关于能指与所指关系的随意性原理，即能指与所指的关系并非是“必然的（Necessary）”，而是“随意的（Arbitrary）”［5］。

无论是教材中的文本、图像，还是教师的言语、课件、板书等，对于学生而言都是符号意义的能指，仅有看到或听到的过程并不是意指过程的全部，通常所说的读懂或听懂意味着需要经历意指的过程，也即建立能指与所指关系的过程。这就给教材中的文本、图像，以及实际教学中板书、课件设计指出了方向。下面以小学数学第二学段教材中面积单位“1平方厘米”的定义为例进行说明。

二、表述的“模糊性”

作为能指的“1平方厘米”，其意指过程需要建立与所指的关系，也就是要回答“‘1平方厘米’代表什么”。这就需要将“1平方厘米”置于某种语境中，教材中的定义或图像就是对这种语境的设定。人教版教材（2012年）三年级下册“面积”单元中，对面积单位“1平方厘米”的定义用以下文字进行表述。

定义1：边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米。

这样的表述为“S是P”的结构，与下面定义2的表述意义一致。

将“1平方厘米”置于这样上下文语境的定义表述中，作为能指的“1平方厘米”对应的所指自然成为“边长1厘米的正方形面积”（如图2）。

图2 “1平方厘米”能指与所指示意图

由此看来，“1平方厘米”所指对象包含“面积”和“边长1厘米的正方形”两个元素。“面积”所指是图形的大小，属于“量”的范畴；而“正方形”的所指是形状，属于“质”的范畴。事实上，“1平方厘米”表达的是面积作为量的单位，其所指并不包括图形形状。这一点与长度单位不同，如果一条线段的长度是1厘米，那么所有长度为1厘米的线段形状都一样，换言之，就是所有长度为1厘米的线段都是全等关系，都可以通过运动实现重合［6］。二维的平面图形则不同，同时具有“形”与“量（面积）”的双重属性，可能出现“形同量等”的全等关系，也可能出现“形异量等”的非全等等价关系。“1平方厘米”可以表示正方形的面积，从量的意义说，也可以表示非正方形图形的面积。图3中如果左图正方形面积为1平方厘米，那么变形后右图长方形的面积也是1平方厘米。

图3 “1平方厘米”变形示意图

教材中对“1平方厘米”的定义实际是一个具有肯定意义的判断或命题，其表述具有“模糊性（Vagueness）”的特征。19～20世纪美国著名的哲学家、物理学家、数学家皮尔士（Charles Sanders Santiago Peirce，1839—1914），曾对模糊性有过一个经典的解释：“当命题中的事物出现若干可能时，尽管说话者对这些可能进行了仔细的斟酌，但仍不能确定地把哪些可能排除或归属于这个命题，这时候，这个命题就是模糊的。这里所说的不能确定，并不是解释者的无知，是因为说话者语言本身就是模糊的。”[7]“1平方厘米”是表达面积单位的符号，其所指应当属于“量”的范畴，而定义表述中出现了正方形作为形状“质”的意义，自然会给读者带来混淆与困惑。

“1平方厘米”的所指不是“一个”图形的面积，而是“一类”具有量等关系的图形的面积。“边长1厘米的正方形”是“1平方厘米”概念形成的“原型（Prototype）”，是“一类”中最典型的“一个”代表［8］。教材中关于“1平方厘米”定义表述的模糊性表现为其所指为“一个”与“一类”对象的混淆，需要在“1平方厘米”所指对象中排除“形状”的意义，归属所有与原型正方形面积相等的图形，让“1平方厘米”所指为表示“一类”图形面积的概念，而不仅是“一个”具体图形的面积。这样的排除与归属是理解“1平方厘米”定义必要的认知活动，自然应当是教材编修过程中需要重视的内容。

三、难以实现的“好”定义

19～20世纪英国两位伟大的哲学家、数学家怀海德（Alfred North Whitehead，1861—1947）与罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970），在合著的《数学原理》中指出，“定义”实际就是命名的过程，用新的术语或符号“P”表达某类具有共同属性的对象“S”，P与S分别叫作“被定义项（Definiendum）”和“定义项（Definiens）”，用定义项“S”确定被定义项“P”的意义，表述为“S是P”。用索绪尔的术语说，被定义项与定义项分别相当于能指与所指，定义实际就是建立二者关系的意指过程。

教材中的定义是将“边长1厘米的正方形面积”命名为“1平方厘米”，用新的术语“1平方厘米”表达“边长1厘米正方形面积”，用“边长1厘米正方形的面积”确定“1平方厘米”的意义。因此“1平方厘米”是定义中的被定义项，“边长1厘米的正方形面积”是定义项。

定义的表述是人为规定的命题，这样的命题一般不用“正确与错误”或“真与假”进行区分，更关注“优与劣”或“好与坏”的差别。19～20世纪法国著名 数 学 家 庞 加 莱（Jules Henri Poincaré，1854—1912）在其方法论著作《科学与方法》中，针对“什么是好的定义”，给出了简明的答案：“它应当应用且仅应用于被定义的对象，是符合逻辑的。”［9］

其中“应用且仅应用”阐释的是定义中定义项“S”与被定义项“P”之间的关系，如果把“S”看作是“P”的条件，那么这样的条件应当同时满足“充分性”和“必要性”。条件的充分性指的是“有之则必然”。如果把面积单位定义表述为：

●如果一个平面图形是边长为1厘米的正方形，那么这个图形的面积是1平方厘米。

此时“边长1厘米的正方形面积”就成为“1平方厘米”的充分条件。条件的必要性表达的是“无之必不然”或“必不可少”的意义，文字表述中体现为“S是P”与“P是S”同时成立。比如对于数学中“质数”的定义，下面两种表述方式就是同时成立的。

“一个自然数恰有两个因数”就成为“这个自然数是质数”的充分条件，同时也是必要条件，称为充要条件。因此，质数定义的表述符合庞加莱好定义的标准，这样的好定义表现为被定义项与定义项在表述中可交换位置。“1平方厘米”的定义则不同，如果承认如下“S是P”的表述成立：

那么反过来“P是S”并不成立，即“边长1厘米的正方形面积”是“1平方厘米”的充分条件，但不是必要条件，并非是“必不可少”的。一个平面图形不是边长1厘米的正方形，其面积也可能是1平方厘米。这就是说，1平方厘米的定义不能表述为：就 像“我是教师”这句话不能说成“教师是我”。对于“S是P”的表述，人们习惯于“S=P”或“S＜P”的关系，排除“S＞P”的情况。前面关于质数的定义中，“质数”与“恰有两个因数的数”就是“S=P”的关系；“教师”一词所指为“全体”职业为教师的人，“我”所指为“一个”职业为教师的人，因此符合“我＜教师”的关系。“边长1厘米的正方形面积”所指为“一个”确定形状和大小的正方形面积，而“1平方厘米”所指为不确定形状的“一类”平面图形的面积，因此“边长1厘米的正方形面积”与“1平方厘米”就是“S＜P”的关系。

教材中关于“1平方厘米”定义的表述应当说是符合“S＜P”关系的，但并不符合数学中好定义的标准。数学中好定义至少应当符合两条标准。

标准1：定义中同时包括定义项S和被定义项P。

标准2：定义项与被定义项的所指相同，即具备S=P的关系。

“1平方厘米”定义的困难在于平面图形存在着“形异量等”的现象，而且这样形异量等的图形是无限多、无法穷举的。指定任何一个或一类形状都无法囊括所有面积为“1平方厘米”的图形，这样的现实使得标准2难以实现。如果不指定确定形状的图形，就会使得定义中缺失定义项，违背了标准1。因此对“1平方厘米”给出一个“好”的定义，似乎是难以实现的。

四、应当避免的“坏”定义

北京出版社2013年出版的教材（以下简称“京教版”）三年级下册“长方形和正方形的面积”单元中，直接用指数幂的符号作为平方厘米定义的被定义项，将定义叙述为：“边长是1厘米的正方形，面积是1厘米2，也可以写作：1cm2，读作：1平方厘米。”为了行文方便，不妨把定义的主干表述为定义3的形式。

定义3的句式结构与前面类似，是将“边长是1厘米的正方形”作为定义项（S），符号“1厘米2（1cm2）”作为被定义项（P）。这样的表述并未消除定义项与被定义项所指不一致的模糊性现象，同时还会使逻辑意义自相矛盾。同单元在《面积和面积单位》之后出现《长方形与正方形的面积》，其中正方形面积公式写为：正方形的面积=边长×边长。

按照这一公式，定义3中“边长1厘米的正方形面积”就应当成为：1厘米×1厘米=(1厘米)2，这样就出现了命题1。

对比定义3与命题1可以发现，“边长1厘米的正方形面积”既是“1厘米2”，又是“(1厘米)2”。同一个主语出现了两个不同的表语P1和P2，表述为命题2。

命题2：

形式逻辑中的无矛盾律要求“是”与“非”不能同时为真，如果“S是P”为真，那么“S是非P”就为假。“S既是P，又是非P”的情况，就被视为违背无矛盾律。对于命题2“S既是P1，又是P2”的情况是否合乎逻辑，关键要看P1和P2之间是什么关系。

用索绪尔的术语说，“1厘米2”与“（1厘米）2”是两个不同的能指。“1厘米2”是表示“1平方厘米”的符号，所指为量的范畴，是任意形状的“一类”图形的面积，其中的“1”所指是面积。图4中如果右下角正方形面积是1厘米2，那么其他四个图形面积分别与之相等，均为1厘米2。

图4 1厘米2所指示意图

“（1厘米）2”则不同，是表示“1厘米的平方”的符号，同时具有形和量的双重意义，所指为边长1厘米正方形的面积（如图5），其中的“1”指向正方形的边长。

图5 （1厘米）2所指示意图

如果把“1厘米2”与“（1厘米）2”中的数字1换为2，那么“2厘米2”与“（2厘米）2”不仅意义不同，表示量的数值也不相等（如图6）。（2厘米）2表示边长2厘米正方形的面积，等于4厘米2，即（2厘米）2=4厘米2。

图6 2厘米2（左）与（2厘米）2（右）所指示意图

因此，“（1厘米）2”与“1厘米2”是两个所指不同的符号，正如代数运算中“ɑ2厘米”不同于“（ɑ厘米）2”，如果把二者混淆，就会出现“1万米=1米”的逻辑悖论。

综上所述，京教版中用符号“1厘米2”作为面积单位的被定义项，会形成“1厘米×1厘米=（1厘米）2”的认识，给教师的教学带来困难。为了避免这样的混淆，需要进一步认识“1厘米2”与“（1厘米）2”的关系。

五、“1厘米2”与“（1厘米）2”的关系

“1厘米2”与“（1厘米）2”并非是非此即彼的相斥关系。从量的角度看，“1厘米2”与“（1厘米）2”表示的面积相等；从形的角度看，“1厘米2”表示任意形状，而“（1厘米）2”仅表示正方形。因此“1厘米2”与“（1厘米）2”符合包含与被包含的种属关系，这样的种属关系可以从图4明显看出。下面从代数运算的角度来看“1厘米2”与“（1厘米）2”的关系。

用代数的眼光看，名数“ɑ厘米”表示“1厘米的ɑ倍”，即“ɑ厘米=ɑ×1厘米”，不带系数的“厘米”默认的意义就是系数为1的“1厘米”。因此，厘米2所表达的“厘米×厘米”可以看作是“1厘米×1厘米”，也就是“（1厘米）2”。表示为如下等式。

●1厘米2=1×（厘米×厘米）=1×（1厘米×1厘米）=1×（1厘米）2

其中“1厘米2”表示“1平方厘米的面积”，“1×（1厘米）2”表示“边长1厘米正方形面积的1倍”。因此“1厘米2”与“（1厘米）2”的关系可以用语言叙述为：1平方厘米的面积是边长1厘米正方形面积的1倍。以此类推，“2厘米2”与“（2厘米）2”的关系为：2平方厘米的面积是边长1厘米正方形面积的2倍。更进一步“ɑ厘米2”与“（1厘米）2”的关系可以用语言和等式分别表示。

●ɑ平方厘米的面积是边长1厘米正方形面积的ɑ倍。

●ɑ厘米2=ɑ×（1厘米）2

由此可知，表达“平方厘米”的“厘米2”，不仅是面积单位的符号，同时具有代数运算的意义。因此对“厘米2”这一符号的认识，实质是对代数运算的初步感知，是实现小学与初中数学课程内容一致性认识的一个重要衔接点。因此需要在教材编修过程中引起足够重视。

总之，数学课程内容的抽象性决定了教材中概念与符号具有“不确定性”［10］。按照皮尔士的观点，这样的不确定性主要体现为意义的“广泛”与“模糊”两个方面［11］。“广泛”指的是所指对象的意义是清晰的，但有较多的可能，就像“1平方厘米”所指面积大小是清晰的，但可以是无数形状图形的面积，会出现“1平方厘米既不是正方形面积，也不是三角形面积”的其他情况，使得习惯的排中律思维难以应用；“模糊”与广泛略有差异，所指对象往往是确定的，但在某语境中难以确定对信息的“取”与“舍”，用“正方形”面积定义“1平方厘米”，使得这一词汇渗入了形与量的双重意义，具有了难以取舍的模糊性，具体表现为“1平方厘米既可以是正方形面积，也可以不是正方形面积”，“是”与“非”同时为真，违背了无矛盾律。

因此，“1平方厘米”这一术语具有意义的一般性，教材中关于“1平方厘米”定义的表述具有语义的模糊性。这种一般性与模糊性可以概括为所指的不确定性，成为一线教师的教学困难和学生的认知障碍。

总之，细品教材中“1平方厘米”的定义，旨在说明我国目前教材中的问题是普遍存在的。教材是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源，教师、学生、家长视之为宝典，奉之为圭臬。因此教材编修应当慎之又慎，重视并仔细斟酌、诊断问题，唯有如此才有可能使教材质量得以提升。