以趣味活动提升数学核心素养——“阅读与思考：勾股定理的证明”案例分析

◎张丽珊

(福建省厦门市禾山中学，福建 厦门 361009)

“数学活动与阅读与思考”重在培养学生的综合与实践能力，对比当前的快节奏学习，它属于慢节奏式的教学，需要教师花时间让学生体悟科学研究精神数学活动有利于提高学生的动手能力，使学生经历数学的发现与创造过程，拓宽学生的数学视野，提升学生的数学审美意识，将知识向能力与智慧迁移，从而提升学生的数学核心素养笔者以人教版八年级下册“阅读与思考：勾股定理的证明”为例，与同行分享点滴思考

一、数学活动的有效开展

(一)文本分析

本节课主要介绍勾股定理的不同证法，教材中是从“阅读与思考”的角度来讲述，而笔者结合数学活动的形式，旨在培养学生的创新意识，通过拼图游戏培养学生研究性学习的思想，在知识与情境之间转换，培养学生的数学建模思想，提升学生的数学核心素养

在前面的学习中学生已经知道了赵爽弦图的证法，但有较大的困惑：古代数学家是怎么想到构造这样的图形来证明定理的呢？我们联想网格中计算图形的面积时采用的割补法，经过折叠或轴对称变换，学生自然而然地采用不同方法证明勾股定理教学设计结合数学活动，重点在于通过拼图游戏、动手操作、合作交流，提高学生学习积极性，从不同角度(拼图或等积法)提高学生综合能力，培养学生几何直观能力、探究意识，渗透数形结合思想，开拓学生思路，深度学习，培养学生思维能力及数学核心素养

(二)学情分析

对于初二的学生而言，用构造图形的方法证明定理存在较大的困难教师从具体的网格中的直角三角形入手，通过拼图的游戏引导学生探究，符合学生就近发展区，有利于学生自然而然地验证勾股定理教材以静态的情境呈现勾股定理的多种证法，教师应使学生的思考过程形象化，将知识动态化，借助于图形面积的研究，找到各证法之间的区别与联系，从而使学生领悟内容，达到深度学习思考的目的

(三)目标分析

1了解关于勾股定理的数学文化，经历勾股定理的探究证明过程，培养学生初步体会几何图形研究的思路和方法

2通过拼图游戏、动手实践、合作交流等教学活动，培养学生几何直观能力，让学生亲身经历定理的探究，体验数学知识的研究过程，积累数学活动经验

3感悟勾股定理的不同证明方法之间的联系，通过割补法构造图形证明勾股定理，进一步培养学生的探究意识，使学生体会数形结合思想，增强学生的逻辑推理能力,通过对我国古代及现代数学家研究勾股定理的成就介绍，激发学生的学习兴趣，培养学生的自信心及自豪感

二、数学活动的实施与落实

活动一：想一想

回顾勾股定理的探究过程

师：勾股定理是如何被发现并证明的呢？

生：是毕达哥拉斯从地砖图案发现的，他通过割补法求面积证明了该定理还有赵爽弦图证法

图1

图2

师：(多媒体展示图1、图2)那证明思路是什么？

生1：本质是正方形面积的不同表示方法

生2：图1中斜边=正方形(恰好是正方形的面积)，而正方形的面积也可以表示为正方形=-4(大正方形面积减掉4个全等的直角三角形面积)，列出等式，化简可得勾股定理

师：同学们表述得非常好，那么除了赵爽弦图证法之外，我们看看是否能从这些图形中获得启发，还有哪些勾股定理的证明方法？

设计意图：从学生已有的知识入手，重视知识的生成过程，允许学生有不同的表述方式，多媒体展示图片，形象直观，以问题为引领，将已学的知识转化为思路的来源，提供研究问题的方法，将未知转化为已知，培养学生几何直观能力

活动二：拼一拼

拼图游戏，展示不同的图形(图3～7)

师：你能否拼出含有正方形的图案？运用手中的四个全等的直角三角形纸片，动手试一试，比一比，看谁先拼出来4人小组合作交流，看看能拼出多少种图案，并探究这些图案是否都能验证我们的猜想

图3

图4

图5

图6

图7

师生活动：通过拼图游戏，拓展学生的思维，培养学生创新意识通过动手实践，从“形”的角度看“可拼”，从“数”的角度看“可算”，感悟数形结合的内涵，把静态的知识变成动态的思考，驱动学生动手、动脑，提升学生的数学核心素养，有效发掘数学核心素养价值

活动三：研一研

探究证明勾股定理的不同方法

多媒体展示学生所拼的图案(图8)及勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为,，斜边长为,则=+

图8

师：我们观察勾股定理等式的结构特征，这些图案中有以直角三角形的斜边为边长的正方形吗？

生：有

师：大家从中发现勾股定理的其他证明方法了吗？

生：我们只要将几个三角形重新拼接就可以证明

师：非常棒！很简洁的证法，这就是传说中的毕达哥拉斯的证法，看来同学们可以当数学家了还有其他证法吗？

生：也可以通过大正方形的图形面积得到(学生上台展示，如图9)

图9

师：非常好，同一张图，既可以用拼图证法，又可以用面积研究数量关系证法还有其他方法吗？

生：我们小组不需要4个直角三角形纸板，只需要两个，把一个正方形从中分成两半，变成直角梯形(图10)，通过梯形面积的不同表示方法可得：1梯形面积公式计算；2看成2个全等的直角三角形及一个等腰直角三角形的面积之和

图10

师：这证法非常有创新意识，这种证法也叫“总统”证法，是由美国第20任总统詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德证明，看来你们是未来的领导人！从前面几种证法中你们能否获得启发，思考还有没有其他证法？

生：我们从毕达哥拉斯的证法获得启示，可以用拼图解释勾股定理

师：厉害！这种证法也是印度数学家婆什迦罗的证法(图11)

图11

生：我们还发现了两幅图可以用来验证完全平方公式(+)-2=+(∵斜边=+)

师：同学们非常棒，大家真正做到了用心思考，体会知识之间的联系

师生活动：从众多不同的图案中选取适用于验证猜想的图形，有向有序观察思考(斜边→正方形面积)，培养学生的目标导向意识教师引导学生通过前面割补法的图形联想到拼图构造正方形，通过面积的不同表示方法得到定理的证明教师在几种证法之后对古代数学家对勾股定理的研究进行介绍，开阔学生视野，使学生感受数学的趣味与价值，提升学生的数学核心素养面积证法本质是等积法，是正方形面积的不同表示(整体与局部)，学生从中感悟图形的巧妙拼接，体会数形结合之美从补到割的图中，我们可将其看成直角三角形沿斜边折叠的过程或是轴对称的变换过程，而“总统”证法则是由正方形分割而成

设计意图：通过拼图活动，重视学生的动手实践能力，做到“低起点”，有趣味，激发学生学习的积极性，重视学生几何直观能力的培养，使学生体会从数到形(如斜边→正方形面积)，再从形到数(如4个直角三角形→2表示)的数形结合思想，为学生未来学习一次函数打下基础通过对数学家的介绍，拓展学生数学视野，增强学生学习热情通过了解不同的证明方法之间的联系，体会数学之美，发展学生的想象能力及数学核心素养

活动四：说一说

归纳小结

师生一起回顾整堂课所学的主要内容，请学生回答以下问题：

1勾股定理的内容是什么？它有什么作用？

2在探究勾股定理的过程中，我们是如何探究的？

师生活动：一起制作本节课的思维导图并展示

设计意图：让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受数学文化之美，体会数形结合的数学思想以问题为引领，以旧有知识为启发，注重知识的生成过程，提升学生数学思维能力，并通过制作思维导图促进学生深度学习，感悟数学研究方法并内化迁移学习经验

活动五：做一做

1(广东·中考)如图12①，已知小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原方法延长一倍得到正方形(如图12②)……如此下去，则正方形的面积为________

图12

2通过上网或到图书馆等方式查找有关史料及其他有趣的不同证明方法

设计意图：考查学生运用勾股定理的能力以及分类讨论的数学思想，渗透方程思想，延伸课后阅读，培养学生自主学习的能力

活动六：思一思

在拼图游戏探究的过程中时间较多，除了古代数学家的研究，教师可介绍青朱出入图或运用全等三角形及等底等高证明《几何原本》中的证法等(图13)

图13

三、数学活动对于初中数学教学的价值与意义

(一)数学活动有利于提升学生的核心素养

教师通过活动，给予学生充分时间探索、独立思考、合作交流，激发学生探索的欲望，重视教材的价值，对教材资源灵活运用，将“阅读与思考”与“数学活动”相结合数学活动及探究过程从易到难，拾级而上，数学思想方法丰富，有联想、分类讨论、数形结合、符号意识等；系统有条理，从特殊到一般，猜想→验证→应用，培养学生探究意识，研究问题的方法，让课堂知识学习转化成能力培养，从而达到深度学习，提升学生的数学核心素养

(二)数学活动课对于初中数学教学的价值

数学活动课通常是通过借助三角板、纸板等作图工具或一些模型及计算机技术等，让学生操作(折纸、拼图等)，亲身体会知识形成，激发学生学习积极性，培养其几何直观能力、动手操作能力及综合实践能力，有效发掘数学核心素养的价值，这在几何教学中常发挥令人意想不到的作用以人教版八年级上册第53页第十二章数学活动2——用全等三角形研究“筝形”为例：

活动一：(“拼一拼”“找一找”)

问题1：如图14所给图形，请同学们以小组为单位，上台展示自己所拼的图形

图14

追问1：以四人为一小组，将所拼的图形记录下来哪些图形是大家熟悉的？哪些是不熟悉的？

追问2：请同学们说一说我们拼出的这些图形分别是什么

引出“筝形”概念：两组邻边分别相等的四边形

活动二：小组合作，探究性质(“探一探”“做一做”)

图15

问题2：那么我们研究一个图形，可以从哪方面进行研究(回顾研究思路)？

追问1：构成“筝形”的元素有哪些？

追问2：能否从这些元素出发，研究“筝形”有何性质？

活动三：师生共同总结“筝形”的性质

活动四：动手实践，验证猜想

问题3：对于“筝形”，从定义出发，你能得出它的性质吗？运用所学，验证猜想并用A4纸剪一个“筝形”

教师利用三角形纸板引导学生通过活动，经历概念的探究过程，在活动中通过细致观察、动手操作、合作交流、大胆猜想、证明猜想等教学环节探究“筝形”具有哪些性质，完成对“筝形”认识的同时体会几何图形研究的一般思路和方法在折纸活动中，教师激发学生兴趣，引导学生主动探索数学知识，鼓励创新性思维(不同的折纸方法表示不同的逻辑推理)，培养学生自主发展能力，重视学生素质的可持续发展，进而提升学生的数学核心素养

(三)数学活动课的意义

学生通过趣味活动与综合实践课寻找普遍适用的思考方法，并且分享发现和创造的喜悦教师为何不直接给出概念，而是从收集到的东西寻找条件呢？这是因为根据不同的分析方式，学生有可能得出不一样的结论，经过和小伙伴们讨论，靠自己的能力得出答案时，他们能从中学会思考问题的方法和步骤，并获得发现的喜悦