核心素养视角下项目学习的教学设计——以新定义题的解决为例

毛孟杰

(海曙区集士港镇中学，浙江 宁波 315171)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》在学业水平考试的命题原则中明确指出：以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养．……题目设置要创设真实情境，提出有意义的问题，实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查.因此，在一些中考试卷中，常常会出现新的试题类型——“新定义题”．所谓新定义题，是命题者通过设置新的问题情境，定义新的概念或图形，让学生通过已学的“四基”探索新的概念或图形的性质，然后运用新获得的知识发现、提出、分析和解决问题的一类题型，它突出了对学生的数学抽象、推理能力和数学模型等核心素养的考查．于是，培养学生对新定义题的解决能力，已成为亟须解决的课题．笔者认为，运用项目学习方法是提高学生对“新定义题”解决能力较为有效的途径之一．

数学项目学习是以数学核心概念为载体设计项目主题，以任务推进和知识发展为主线，注重情境带入，关注数学核心素养发展的学习过程[1]．由于项目学习注重问题引领，关注学生思维脉络，聚焦学生核心素养，因此，它与新定义题的教育功能是比较吻合的．下面，笔者以一道涉及圆与三角形等核心知识的新定义题的解决为例，进行项目学习的教学设计．

1 学情目标与素材选取分析

1.1 学情目标分析

本设计是基于学生学习浙教版义务教育教科书《数学》九年级上册之后，学生已基本具备三角形、四边形、圆和相似三角形等几何基础知识，积累了三角形全等、轴对称和平移等图形变换的数学活动经验，具备一定的抽象能力、逻辑推理和运算能力等数学核心素养．但学生对新情景下的问题解决能力还比较薄弱，缺少对已做过的例题和习题进行数学抽象和数学建模的意识，因此在解决“新定义题”时，常会束手无策，一筹莫展．

为了改变学生的学习现状，笔者选择了一道课本习题作为项目学习的背景素材，让学生经历抽象概括给出定义、归纳推理探究性质和数学模型应用提升等项目学习的全过程，从而提高他们解决“新定义题”的能力；在学生对新概念给出定义、探索性质和尝试应用的探究过程中，优化学生的思维品质，培养他们的核心素养．

1.2 素材选取

基于以上分析，笔者选取浙教版义务教育教科书《数学》九年级上册第3.5节“圆周角”的一道习题作为项目学习的设计素材．

图1

2 教学过程

2.1 呈现问题，概括定义

问题1已知：如图1，AB是⊙O的一条直径，半径OP平行于弦AC．

1)根据题目的图形和条件，请观察并叙述半径OP的特征；

2)尝试给半径OP下定义．

教学活动1)引导学生进行观察、思考和交流，叙述半径OP具有以下特征：弦AC与直径AB有共同的端点；半径OP与弦AC在直径AB的同一侧；OP∥AC；整个图形呈字母“F”形等．

2)在让学生尝试给半径OP下定义时，教师先引导学生在各自叙述的基础上进行精简和提炼，然后概括出“弦的F形半径”的概念：一个圆中，有公共端点的弦与直径构成的图形内，在直径的同一侧且平行于这条弦的半径称为这条弦的F形半径．

设计意图教师把课本的一道习题进行适当改编，保持题目的条件和图形不变，隐藏了求证的结论，让学生自主观察、思考和概括研究对象的数学特征，然后进行数学抽象给出它的定义．这种处理方法，比较符合新课标教学建议中主张的“强调情境设计与问题的提出”的教学方式．由于问题1的素材取材于课本习题，但提问的方式和指向与学生已有的认知结构、思维水平和数学活动经验不同，因此它容易引发学生的认知冲突，从而激发学生的学习动机．在学生对抽象新概念定义的探究过程中，始终体现了教师对学生数学抽象意识培养的教学主张．

2.2 探究性质，建立关联

教师通过设计进阶问题链，引导学生探究新概念的性质，与已有的知识发生实质性的关联，从而让学生建立起较为完善的知识体系．

问题2已知：如图2，AB是⊙O的一条直径，OP是弦AC的F形半径．

图2

1)可以得到哪些结论，请证明之；

2)若添加一些线段，则可以得到哪些结论，请证明之．

①若联结AP,则AP是∠CAB的角平分线；

②若联结OC,则OP是∠COB的角平分线；

③若点Q是射线OP上的一点，联结CQ,BQ,则CQ=BQ，特殊地，当点Q与点P重合时，等式仍成立，即CP=BP；

④若联结BC,则OP垂直平分BC；

……

接下来教师引导学生对新定义概念的性质进行逆向思考，设计出问题3，让学生自然生成新概念的判定方法．

问题3已知：如图3，AB是⊙O的一条直径，点P是⊙O上的一点，点Q在射线OP上．

图3

2)若CQ=BQ，则OP是弦AC的F形半径吗？请予以证明．

3)请你探究：OP是弦AC的F形半径的条件．

教学活动1)学生已经具有了解决问题2的数学活动经验，因此在证明第1)小题时，他们很自然地想到联结OC，实现“从弧相等到圆心角相等，最后到内错角相等”的转化；在证明第2)小题时，也会想到联结OC，通过三角形全等归结为第1)小题的证明．

2)第3)小题具有一定的开放性，学生在探索“OP是弦AC的F形半径”的条件时，教师可引导学生从以下两个角度进行思考：若在原图中不添加任何辅助线，则需要什么条件；若在原图基础上添加辅助线，则又需要什么条件．学生经过教师的指导，探索到“OP是弦AC的F形半径”需具备以下条件之一：

①若OP⊥BC,则OP是弦AC的F形半径；

②若OP平分弦BC,则OP是弦AC的F形半径；

③联结BP，延长BP交AC的延长线于点D,若AB=AD,则OP是弦AC的F形半径；

……

设计意图基于核心素养的数学教学，是需要在数学抽象的基础上，强调数学的抽象结构．所谓数学抽象结构，可以表示为“研究对象+”的形式，其中“+”的内容可以是性质、关系和运算[2]．因此教师通过设计问题链，引导学生对新定义的概念进行性质的探究．问题2的设置是对结论进行开放，学生在探究过程中，发现新定义的概念性质与“垂径定理”是密切关联的，图形呈局部轴对称；问题3的设置是通过对问题2进行逆向思考，是对条件进行开放、探索新定义概念的判定方法．设计这样的问题链，有利于学生理解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，建立起较为完整的数学知识体系，同时在探究过程中培养了学生的几何直观、推理能力和数学建模等核心素养．

2.3 应用模型，解决问题

图4

预设1)条件中同顶点的∠CAD与∠BAD的数量关系，如何转化为在同一个三角形的两个内角的数量关系？

2)根据“两个内角有二倍角关系且较大角是锐角的三角形能分割成两个等腰三角形”的解题经验，我们如何添辅助线构造等腰三角形？从而能求出哪些线段的长度？

3)如何作辅助线可以把CD搬到OD的右侧？怎样添辅助线能得到直角三角形，从而计算出AE的长度？

教学活动教师通过一系列的预设，引导学生联结线段OE,DB和BE．

因为OP∥AC，所以

于是

DE=OE=OA=5.

根据F形半径的性质，可得

从而在Rt△BDE中，

在Rt△ABE中，

设计意图问题4的设计，旨在使学生获得“怎样解剖题目中的复杂图形，如何直观辨析出其中的一些基本图形，从而应用已有的知识(包括新定义的概念及性质)解决几何问题”的活动经验．教师通过问题4的解决，让学生把新定义的概念及性质融入已有的知识体系，并且提高了他们的几何直观、推理能力、数学计算和数学建模等数学素养，在教学中真正实现教学内容与发展核心素养的关联．

2.4 反思总结，分享成果

教师引导学生进行以下的反思与总结：

1)解决新定义题的基本流程是什么？对我们以后解题有哪些启示？

2)新定义题的解决过程与课本中的大概念学习过程有哪些相似之处？

设计意图在教学中，教师应该留出一定的时间和空间让学生进行反思和总结．以本节课的教学为例，学生总结出解新定义题的基本流程是“理解定义，探索性质，运用模型”；在解题过程中，应该让学生自觉养成“对典型习题特征进行分析、抽象并形成数学概念，继而构建数学模型”的习惯；让学生意识到新定义题的解决与课本中的大概念学习过程是一致的，都是按照“背景—概念—性质—应用”的主线进行探究．学生通过不断反思与总结，积累数学学习经验，优化思维品质，提高学生的元认知水平和数学核心素养．

2.5 设置习题，评价效果

习题定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

1)如图5，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD,AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．

图5 图6 图7

2)如图6，在5×4的方格纸上，点A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，点E，F在格点上．

3)如图7，在第1)小题的条件下，取EF的中点M，联结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC与点N.若N为AC的中点,DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．

(2019年浙江省宁波市数学中考试题第25题)

设计意图教师选择了中考卷的一道新定义题，对学生解决新定义题的流程和策略进行全方位评价．譬如，通过第1)小题的证明，评价学生是否理解邻余四边形的关键特征是相邻的两个内角互余；通过第2)小题的作图，评价学生是否探索到“它的性质是延长其中两条对边构成直角三角形”；通过第3)小题的计算，评价学生能否综合应用“邻余四边形”的模型、直角三角形和相似三角形性质等进行推理和计算．因此，习题的设置是遵循教学中的“教、学、评”一致性的教学原则．通过学生对习题的解决过程的思考、交流与创意的表达，教师有效地评价项目学习成果的质量．

3 3点思考

数学项目学习是在真实的情境中学生自主生成知识，发展关键能力，最终提高数学核心素养[3]．笔者认为，教师要做好数学项目学习的教学设计，需要做好以下3个方面的工作．

3.1 确定学习主题，筛选活动素材

数学项目学习，教师应先确定学习主题，然后筛选活动素材．比如，本课例设计的学习主题是为了让学生掌握“新定义题”解决的流程、策略和解题经验，从而教师选取教材中的一道习题作为活动的素材．由于情境是教师从学生熟知的素材改编得到的，因此它在学生的认知结构中是真实的、感兴趣的，是学生乐于探究的．笔者认为，教师对教材的例题、习题进行改编、抽象和拓展，学生的思维不会仅局限于“如何解决题目”上，长期下去，他们会逐渐养成对习题的结构、解法和拓展等多方面进行思考的习惯．

3.2 设计进阶问题，形成学习流程

教师把选取好的素材进行适当的改编，形成思维不断进阶的问题链．学生在解决问题链的过程中，自主生成解决问题的策略性知识，从而形成数学学习的基本流程．比如，在本课例中，首先教师设计问题1，让学生观察和思考题目的结构特征，抽象出新的数学定义；其次教师设计问题2和问题3，让学生结合已有的基础知识、基本技能、基本思想和基本数学活动经验，把获得新概念的内涵、性质与现有的数学知识进行关联，使他们形成比较完善的知识体系；最后教师设计问题4，让学生通过数学模型思想解决问题．这种通过问题链呈现的“背景—概念—性质—应用”新定义题解题流程，同样也是学生数学学习的基本流程．

3.3 关注核心素养，优化思维品质

数学项目学习，教师应该把优化学生的思维品质和注重学生核心素养的培育作为终极目的．比如，在本课例中，教师设计问题1，旨在引导学生多角度观察题目的特征，从而提高学生思维的广阔性，通过学生概括“弦的F形半径”新定义的过程，培养数学抽象的核心素养；问题2和问题3的设计使得学生新概念性质的探究与发展思维的灵活性同步，这两个问题探究都需要学生的几何直觉和推理能力的核心素养；在学生综合运用知识解决问题4的过程中，发展了思维深刻性，同时也形成了数学建模的核心素养．

笔者认为，本课例的最大亮点是问题5的设计，它的设计能有效地、及时地评价数学项目学习的成效，真正实现了“教、学、评”一致性的教学原则．