基于GeoGebra分析一道中考压轴题的源与流

赵玉叶

(江苏省苏州市吴江区盛泽第二中学 215228)

中考数学试题由专家组精心命制而成，而数学压轴题历来在数学中考中占有举足轻重的地位．有些试题看似超乎寻常，实则抽丝剥茧后都能寻到基本的“知识源”，拥有很深的基础性和生命力．GeoGebra数学软件(简称GGB)具有动态、交互、开放、共享、简单、易用等特点，可以创建开放的探究环境，发挥教师的主导作用，体现学生的主体地位，实现静态向动态教学的转变．本文基于GGB软件分析2021年连云港中考数学27题这道动点轨迹压轴题，旨在对其解法进行分析并给出一些初步的思考，从思路摸索中感悟模型的根源，从猜想验证中体验本质的提炼，从可视化探究中思考问题的推广，实现压轴题的“寻源”与“显流”．

1 试题呈现

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

图1

(1)△

ABC

是边长为3的等边三角形，

E

是边

AC

上的一点，且

AE

=1，小亮以

BE

为边作等边三角形

BEF

，如图1．求

CF

的长

.

(2)如图1，△

ABC

是边长为3的等边三角形，

E

是边

AC

上的一个动点，小亮以

BE

为边作等边三角形

BEF

，在点

E

从点

C

到点

A

的运动过程中，求点

F

所经过的路径长

.

(3)△

ABC

是边长为3的等边三角形，

M

是高

CD

上的一个动点，小亮以

BM

为边作等边三角形

BMN

，如图2．在点

M

从点

C

到点

D

的运动过程中，求点

N

所经过的路径长

.

图2 图3

(4)正方形

ABCD

的边长为3，

E

是边

CB

上的一个动点，在点

E

从点

C

到点

B

的运动过程中，小亮以

B

为顶点作正方形

BFGH

，其中点

F

，

G

都在直线

AE

上，如图3．当点

E

到达点

B

时，点

F

,

G

,

H

与点

B

重合．则点

H

所经过的路径长为

，点

G

所经过的路径长为

．第(1)小题是典型的全等三角形模型——“手拉手”模型．我们很容易证明△

BAE

≌△

BCF

(SAS)，求得

CF

=

AE

=1．

下面主要探讨第(2)～(4)小题．

2 寻源：方法初探——“按图索迹”

2

.

1 动点轨迹：模型归纳

后三小题考查的是动点的轨迹问题．初中数学中的动点轨迹有两种模型：直线型、圆弧型．受函数图象画法三步骤的指引，解决动点轨迹问题可以分为三步：(1)画图，取3个特殊位置(一般是起点、中点、终点)；(2)连线，判断曲直；(3)求解，求动点路径的线段长或弧长．

图4 图5

图6

新授课探讨函数图象至少是用五点来作图，但初中的动点轨迹最终只有线段和圆弧两种，所以3个点就够判断曲直．对于第(2)、(3)小题，如图4、图5所示，分别取动点

E

和

M

的起点、中点、终点三个位置就能分别画出线段轨迹

CD

和

EF

．容易证明△

BCD

是等边三角形，四边形

ABDC

是菱形．根据已知条件，可以计算出

CD

=

AC

=3，对于第(4)小题，如图6所示，同样取三个特殊位置就能画出点

H

和点

G

分别经过的路径：与再分别找到圆心

I

、半径

BI

和圆心

M

、半径

BM

，就能求得两个圆弧的长：

2

.

2 图形变换：本质提炼

上述常规解法需要画图确定动点的轨迹，所以比较费时费力．如果从图形变换的角度去思考动点轨迹的问题，往往可以发现从动点轨迹与主动点轨迹是有关联的．本题所有图形运动的实质都是旋转加位似，共同特征是正多边形共顶点．在这样的图形变换下都会形成“手拉手”模型．

如图7所示,第(3)小题中由围绕点

B

的四条“拉手线”

BA

=

BC

，

BM

=

BN

，就能找到△

BAM

≌△

BCN

(SAS)．所以点

N

的运动轨迹长等于点

M

的运动轨迹长

DC

．同理，如图8所示，第(4)小题中由围绕点

B

的四条“拉手线”

BA

=

BC

，

BF

=

BH

，能找到△

BAF

≌△

BCH

(SAS)，也就是点

C

，

G

，

H

三点共线．于是在Rt△

ACG

中，点

G

在以

AC

为直径的圆上，在Rt△

BCH

中，点

H

在以

BC

为直径的圆上．

图7 图8

解题的成功要依靠正确思路的选择，要从最接近它的方向攻克．解初中的几何题理所应当提倡“以图为纲，按图索迹”．对于动点轨迹问题，我们可以从局部去分析动点的轨迹模型，判断直线型或圆弧型；也可以从整体出发关注图形变换(平移、对称、旋转、位似)．点动成线，线藏于形，解题时双管齐下，方可使思路并蒂开花．

3 显流：深度拓展——“按图索GGB”

数学家波利亚指出：“当你找到第一个蘑菇后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的．”在进行完上述探究过程后，学生对本题的动点轨迹和图形变换有了一定的认识与掌握，此时教师可以利用信息技术工具，向学生展示点的动态运动，并对其他特殊动点和一般化图形作进一步推广．下文探究“按图索GGB”的可视化拓展，利用GGB展开探索．

3.1 验：验证动点的轨迹

利用GGB使试题中的动点轨迹可视化．如 图9～图11所示，利用GGB软件，我们可以动态演示出随着主动点的运动，第(2)、(3)小题从动点形成的确实是直线轨迹

CD

和

EF

，第(4)小题中从动点

H

和

G

形成的轨迹确实是和

图9 图10 图11

3

.

2 探：探索其他的动点

问题1-1

第(2)小题中等边三角形

BEF

的各边中点形成了怎样的轨迹？

图12

先利用GGB探究：输入等边三角形

ABC

→在边

AC

上任取一点

E

→连结

BE

，输入等边三角形

BEF

→输入中点

K

,

N

,

H

→分别选择中点

K

,

N

,

H

关于动点

E

的轨迹．如图12，可发现各边中点的轨迹也是线段．

证明

中位线

NI

中位线

HM

易证明△

BCD

是等边三角形，则菱形

ABDC

的中位线

KL

问题1-2

若将第(2)小题中等边三角形

ABC

和等边三角形

BEF

都换成一般三角形，那么第三个顶点的轨迹会有怎样的变化？

图13

先利用GGB探究：输入任意三角形

ABC

→在边

AC

上任取一点

D

→连结

BD

，标记∠

BCD

为

α

→顺时针旋转△

BCD

，旋转角为

α

→作位似三角形

BED

→选择点

E

关于动点

D

的轨迹．如图13，可以发现点

E

的轨迹不再与

AB

边平行，但保持直线型轨迹．

证明

因为△

CAB

∽△

FCB

，所以可由求出点

E

的轨迹长

CF

．

问题1-3

若将第(2)小题中等边三角形

ABC

和等边三角形

BEF

都换成一般三角形，那么各边中点的轨迹会有怎样的变化？

图14

先利用GGB探究：输入中点

H

,

M

,

L

→分别选择中点

H

,

M

,

L

关于动点

D

的轨迹．如图14，可发现各边中点的轨迹也是线段．

证明

中位线

LJ

中位线

MK

中位线

HI

问题2

若将第(3)小题的中点

D

换成一般位置的点，其轨迹会有怎样的变化？

图15

先利用GGB探究：输入等边三角形

ABC

→在边

AB

上任取一动点

D

→连结

CD

，在边

CD

上任取一动点

E

→连结

BE

，输入等边三角形

BEF

→选择点

F

关于动点

E

的轨迹．如图15，拖动点

D

可发现点

F

的起点

G

随之运动，终点

H

保持不变，轨迹依旧呈现直线型．拖动点

E

，点

F

随之在线段

GH

上运动．

证明

根据

BD

=

BG

，利用“手拉手”模型，我们容易证明△

BDE

≌△

BGF

(SAS)，所以点

F

的轨迹长

GH

等于点

E

的轨迹长

CD

．

问题3

若将第(4)小题中动点

E

从边

BC

换到直线

BC

上，那么点

G

与

H

的轨迹会怎样变化？

图16

先利用GGB探究：输入正方形

ABCD

→在直线

BC

上任取一动点

E

→连结

AE

→过点

B

作

BF

⊥

AE

于点

F

→以

BF

为边作正方形

BFGH

→选择点

G

关于动点

E

的轨迹、点

H

关于动点

E

的轨迹．如图16所示，可发现点

G

、点

H

的轨迹由圆弧变为整圆周．

证明

在Rt△

ACG

中，点

G

在以

AC

为直径的圆上；在Rt△

BCH

中，点

H

在以

BC

为直径的圆上．

数学解题总是从分析已知元素和未知元素开始，二者的关联越不明显，就越值得探究．本道中考压轴题难度较大，区分度明显，学生很难观察出从动点与主动点的直接联系，更难将轨迹和图形变换分析出来．但运用GGB，学生能够直观地“看到”动点间的联系和要求的动点轨迹．具象化地展示试题的完成和拓展可以帮助学生认清试题本质、理解数学问题，有助于其养成反思的好习惯，落实“低起点，高落点”的目标．

4 结语

中考数学命题十分重视回归教材、重视基本知识，而中学数学教学的目的在于使学生掌握基础知识和基本技能，培养学生的数学能力，形成正确的解题思路和看题观点，这是中学数学教学的本源．弗赖登塔尔认为：“数学知识不是教出来的，而是研究出来的．”学生解决问题的能力何尝不是如此呢？只有亲历问题的探索过程、锻炼科学的思维方式，才能在实践中逐步具备丰富的策略方法．教师根据教学内容和教学目标适时、适量地使用信息化平台，能够突破数学“难以意会，无法言传”的障碍，真正做到“教懂、教活、教深”，引导学生将更多精力集中在高层次的数学思考上，实现有意义的解题教学，促进学生的思维发展．