数学教学要让学生品味到数学的“味道”

徐海周

(海南省儋州市第一中学 571700)

随着我国数学课程改革的不断推进和数学教学改革的不断深入，我们的数学教学的确在帮助学生掌握基础知识、提升数学学业水平方面取得了可喜的成绩，但是我们却忽视了学生“讨厌数学”现象的发生，忽视了学生积极学习数学情感的快速消退．长此下去，最终会导致什么样的结局呢？有一个事实最能回答这个问题：21世纪教育研究院的杨东平院长在一次论坛上提到，中国从20世纪80年代中期就参与高中阶段的国际奥林匹克数学竞赛，拥有了很多金牌得主，但是几十年过后，人们发现很多人从数学领域消失了，而当年与他们同台获奖的其他国家的选手，有很多人已经成为数学大师．以上的事实足以说明我们的数学教学的生命力是如此脆弱、学生的可持续学习能力是如此低下！

为什么我们的数学教学会出现上述令人尴尬的局面呢？究其原因，许多数学教师受应试教育的影响，身心早已被“分数为王”的魔咒所禁锢，向学生灌输考点、教授解题套路、传授得分技巧成了教学的全部，在教学中有意加快进度、增大难度、提高强度，借此来提高分数．然而却忽略了数学味道的提炼与生成，从而导致本该充满力量的、自由的、唯美的、浪漫的、饱含故事的、应用广泛的数学变得单调、枯燥、乏味，这是多么令人惋惜的事实．《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确提出“数学教学要培养学生终身学习的能力”，这就要求数学教学不能再仅仅追求学生考取高分，更应该追求依附在高分之上的积极地学习数学的情感和态度．忽视这一点，恰恰是一些数学尖子从数学领域消失的真正原因．让数学教学回归本真，给我们的数学教学加点“料”，让学生能够品味到数学的“味道”，自然也就成为我们当前数学教学亟待改进的问题．

1 让学生品味到数学是“有力”的

数学是什么？数学是一种改变世界的伟大力量！数学支配宇宙(毕达哥拉斯语)！数学教学首先要让学生品味到数学的伟大力量．众所周知，指数函数的爆炸性增长能产生巨大的力量，为了能让学生感受到这种力量，在学习完指数函数的概念之后，我向学生抛出了这样一个问题：世界最高的山峰珠穆朗玛峰的高度是8 848.86 m(2020年12月8日测量)，而一张A4纸的厚度仅仅约为0.088 mm，对折1次其厚度增加为原来的2倍，对折2次其厚度增加为原来的4倍……假如纸张足够大，一直对折27次，那么此时的厚度能否超过珠穆朗玛峰的高度？问题一出，全班学生立即争论起来，大多数学生认为纸张的厚度不可能超过珠穆朗玛峰的高度，只有极个别学生认为能，但又无法提供证据．接下来我就让他们计算纸张的厚度，学生很快就算出其厚度约为 11 811.2 m，当看到计算结果时，那些认为不能的学生是一脸的惊诧，从他们惊诧的眼神中可以看出指数函数的爆炸性增长产生的力量在他们的内心深处产生了不小的震动．

数学的力量可以决定一场战争的胜负！在学习完有限样本空间与随机事件之后，我就给学生讲述二战时期英美两国利用概率知识赢得战争胜利的故事：太平洋战争初期，英美两国急需将坦克、火炮、汽油、枪支弹药等大量军用物资运送到大西洋彼岸的作战前线，为此，他们派遣了大量的护卫舰为运输船队护航，但是他们的舰队常常遭到德国潜艇的袭击，导致大量军用物资还未送到前线将士手中就沉入了海底．当时，英美两国又不可能增派大量护航舰只，如果运输船队不能及时将作战物资运送到战争前线，等待他们的只能是惨败．当时的美国海军请教几位数学家，数学家们运用概率论分析发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，它具有一定的规律性：一定数量的船只，编队规模越小，编次就越多，而编次越多，与敌人相遇的概率就越大．美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果，使原来被击沉25%的概率降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．故事讲完了，同学们也深深地被数学的力量折服了．

2 让学生品味到数学是“有用”的

数学是一门应用十分广泛的科学，我国著名的数学家华罗庚教授曾指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”华老的这番话深刻地揭示了数学应用的深入性与广泛性，可是数学的这些应用太过高深，只接受过高中数学教育的学生根本体会不到，要想使学生体会到数学是有用的，务必从学生身边的生活实际寻找实例．

在学习完基本不等式之后，我给学生设计了一个问题：油价经常波动，给汽车加油，“每次加300元”与“每次加40升”，哪一种加油方式更省钱？接着，我就引导学生分别计算这两种方式加油的平均油价，在假设“两种方式各加了两次油，价格分别为

a

元

/

升、

b

元

/

升”的前提下分别算得它们的平均价格分别为学生根据所学的基本不等式的知识很快得到这时学生才明白还是“每次加300元”的方式更划算．

在学习了概率的基本性质之后，我给学生设计了一个问题：美国曾搞过一种电视大奖游戏，有3扇关闭着的门，其中2扇门后面各有一只羊，另一扇门后面有一辆汽车，一个游戏参与者和一个主持人．游戏参与者随机选定了一扇门，在不打开此扇门的情况下，主持人打开另一扇有羊的门，此时，主持人问游戏参与者是否更改自己刚才的选择．这时，我问学生假如你就是那个游戏参与者，你是否更改自己刚才的选择呢？问题一出，学生个个犹豫不决，于是我就引导学生利用所学的对立事件的概率知识计算“改”与“不改”这两种选择获得汽车大奖的概率，学生很快算得它们的概率分别为当得出概率结果后一切也就真相大白了．虽然只是应用数学知识解决了日常生活中的一些小事，但是学生依然能够品味到数学是“有用的”．

3 让学生品味到数学是“美”的

英国数学家罗素指出：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美．”法国著名雕塑家罗丹也曾指出：“美是到处都有的，对于我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现．”相比于其他事物的美而言，数学的美是理性的美、深邃的美，不易被发现、更不易被品味．如果在教学中教师不给予学生机会与指导，学生是很难发现、感知、品味到数学的美的．因此，在教学中，运用数学学科知识展现数学的美、揭示事物美的原理，理应成为数学教学不可或缺的一部分．

在学习椭圆的方程时，我一改以往带领全体学生一起推导椭圆的标准方程的做法，而是将全班学生分成两组：第一组“以直线

F

F

为

x

轴，以过点

F

且垂直

F

F

的直线为

y

轴”建立平面直角坐标系推导椭圆的方程；第二组“以直线

F

F

为

x

轴，以线段

F

F

的垂直平分线为

y

轴”建立平面直角坐标系推导椭圆的方程．推导完毕后，要求这两组学生分别将推导的方程展示到黑板上：(

a

-

c

)

x

+2(

a

-

c

)

cx

+

a

y

=(

a

-

c

)①；(

a

-

c

)

x

+

a

y

=

a

(

a

-

c

) ②．没有比较就没有发现，这两种方程一比较，学生就容易发现方程②的简洁美了．但如果教师不引导，学生对于椭圆方程美的品味也只能至此而已．为了发现方程更多的美，接下来我又引导学生将方程②中的

a

-

c

换成

b

，这时方程②变为方程

b

x

+

a

y

=

a

b

③．此时，方程的美又提高了一个层次，但还不够美，接着再引导学生将方程③的两端除以

a

b

，终于得到了椭圆最美的方程至此，椭圆的标准方程的对称美由此显现．这样做虽然占用了一些宝贵的课堂教学时间，但我认为这是值得的，因为英国理论物理学家狄拉克告诉我们：“使一个方程具有美感，比使它去符合实验更重要．”

4 让学生品味到数学是“自由”的

德国著名数学家康托尔曾指出：“数学的本质在于他的自由．”高中数学的很多知识是自由开放的，而教材只展示了其“冰山一角”，还有很大一部分内容可供学生自由思考与自主探究．不要让教师的思维、观念与眼界限制了数学的自由．教学时可以鼓励引导学生大胆地去探究发现，让数学的自由在学生的脑海里发挥到极致．

在学习完等差数列和等比数列这两个章节后，我就启发学生思考：有没有等和数列、等积数列或者其他数列呢？学生通过查阅资料研究发现的确有等和数列与等积数列，只不过它们都是过于简单的周期数列，没有研究价值所以才没有给予太多关注．除此之外，学生们还发现了“从第三项起，每一项等于它的前两项之和的”斐波那契数列、“从第四项开始，每一项都是前面两项与前面三项的和”的帕多瓦数列、Prufer数列……学生对数列的认识与思考一下子也就自由开朗了许多．在学习完椭圆和双曲线这两个章节后，我也启发学生思考：有没有“到两个定点的距离之商等于一个常数”“到两个定点的距离之积等于一个 常数”的曲线呢？学生通过查阅资料研究发现的确有以上两种曲线，它们分别为“阿波罗尼斯圆”与“卡西尼卵形线”．有好几个学生对此非常感兴趣，还用几何画板或GeoGebra画出了不同形状的卡西尼卵形线．虽然这些知识高考并不一定涉及，但通过我的引导，数学自由的味道也就深入人心了．

5 让学生品味到数学是“有故事”的

数学是一门既古老又年轻的科学，年轻是因为数学在不断地发展创新，古老是因为其历史悠久．很多数学知识都像一位饱经沧桑的老人，一路走来伴随着许多“故事”，但因其被发现的年代太过久远，导致无法从字面上去认识、理解和接受它．比如高中数学中的“函数”这一概念，从17世纪被德国数学家莱布尼兹最先以“几何量”的形式提出，到19世纪被我国清代数学家李善兰翻译成中文的“函数”，其间200多年的历史长河中经历了五次重大的演变，如果不给学生介绍它的历史故事，学生是很难体会到如今数学教材中“集合对应说”定义形式是何等的严谨与简约！为了能够让学生了解这一漫长曲折的历史，在带领学生学习完这一概念后，我就以问题为抓手给学生讲好函数的故事：

(1)已知两个函数

f

(

x

)与

g

(

x

)，若当

x

>0时，

f

(

x

)=

g

(

x

)，那么，当

x

<0时，

f

(

x

)与

g

(

x

)是否相等，若相等，说明理由；若不相等，请举例说明．(借助学生思考回答此问题的机会，教师可以向学生讲述一场发生在18世纪有关函数定义的“解析说”与“变量依赖说”之争的故事)(2)现有这样一个解析式请判断这个解析式能否作为一个函数的解析式？若能，请指出它的“三要素”；若不能，说明理由．(可以告诉学生这个函数是德国数学家狄利克雷给出的，因此被称为“狄利克雷”函数

.

借助学生思考回答此问题的机会，教师可以向学生讲述一场发生在19世纪有关函数定义的“变量依赖说”与“变量对应说”之争的故事)以上事实证明，在我们的日常数学教学中适时地给教学增添一些史料以使其更具“故事”味，不仅能帮助学生加深对数学知识本质的理解，更能增强学生的数学历史责任感，促使他们更加珍惜这些来之不易的人类智慧的结晶

.

无怪乎法国数学家朗之万曾提出：“在数学教学中，加入历史是有百利而无一弊的．”

6 让学生品味到数学是“浪漫”的

数学不仅仅有冰冷枯燥的一面，更有温情浪漫的一面！数学的味道不仅蕴藏在我们的课堂教学里，更是弥漫在我们的日常生活里，教师在适当的时候让学生嗅一嗅，则能达到意想不到的效果．青葱少年，情窦初开，向异性表达爱意是他们最想干的事，但又是最不擅长的事．浙江大学数学系教授蔡天新曾指出：“数学是最浪漫的，它比世界上任何语言都要煽情．”因此，在教学之余，向学生展示一下用数学语言写的情诗还是挺受学生欢迎的．在学习完圆锥曲线之后，我就给学生布置了两个动手的作业：

(1)利用几何画板或GeoGebra在同一个坐标系中画出方程所表示的曲线；

(2)利用几何画板或GeoGebra在不同坐标系中画出方程

x

=-6|sin

y

|所表示的曲线．

图1

图2

当学生绘制出图1和图2时，一个个惊讶、激动、兴奋不已，原来用数学知识也可以写情书，真是太可爱了！

在学生高三即将毕业时，我就利用数学中的名词给他们写寄语：忧愁是可微的，快乐是可积的，在未来趋于正无穷的日子里，幸福是连续的，对你的祝福是可导的且大于零，祝你每天快乐 的复合函数总是最大值．这样，将情感用数学来 表达，让数学味弥散到学生生活的每一个角落，用数学“浪漫”的味道点亮学生枯燥乏味的求学生活．

7 结语

在数学教学中，广大一线数学教师只有凭借丰富的数学“味道”去征服学生求知的“味蕾”，学生才会对数学从“动手”“动脑”到“动心”着迷，未来我们的学生才有可能成长为数学家，因为法国数学家努瓦列斯提醒我们：“数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学．”