谓词逻辑系统MTL中公式的公理化真度

王波，惠小静，鲁星，

（延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000）

王波，惠小静*，鲁星，

（延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000）

命题逻辑及谓词逻辑计量化是逻辑系统的研究热点之一。在左连续三角模的谓词逻辑系统MTL中，利用公理化方法提出了MTL公式的真度，证明了该真度的MP规则、HS规则及交推理规则；同时在谓词逻辑系统MTL的一阶闭逻辑公式集中引入了相似度和伪距离，证明了关于相似度的一些良好性质，并讨论了逻辑运算关于伪距离的连续性问题。

谓词逻辑系统MTL；公理化真度；相似度；伪距离

0 引言

模糊逻辑作为非经典数理逻辑的一个重要分支，是逻辑系统的重要研究方向之一。HÁJEK［1］受连续三角模结构定理的启发，提出了基本逻辑（BL）的形式系统，将系统BL弱化就形成了系统MTL，系统MTL由ESTEVA等［2］提出，在此基础上又得到了一些研究成果［3-4］。

命题逻辑计量化从基本概念的程度化入手，引入命题逻辑公式的真度概念，并基于语义方法建立。但在谓词逻辑中，谓词逻辑的语义理论远比命题逻辑复杂，因此，通过语义的方法建立真度的概念难度很大。王国俊［11］用公理化方法建立了一类一阶逻辑公式的真度理论。本文在此基础上，首先给出谓词逻辑系统MTL的公理化真度，证明该真度的MP规则、HS规则及交推理规则，其次给出相似度的概念，最后在一阶闭逻辑公式集上引入了伪距离，讨论逻辑运算关于伪距离的连续性问题。

1 预备知识

定义1［3］谓词逻辑系统MTL的公理由MTL的10条公理及带有量词的公理组成。

（1）命题逻辑系统MTL的公理：

（2）带有量词的公理：

（i）MP规则［3］，由推出；

（ii）推广规则［3］，由推出；

（iii）HS规则［2］，可得。

定理1［3］在MTL中，有：

定义2［3］。

定义3［11］若

（K6）在计算公式的真度时，原子公式中的变元可相互替换；

定义4［12］若与均为逻辑有效公式，则称与逻辑等价，记作。

2 谓词逻辑系统MTL中公式的公理化真度

定义5若

（G6）在计算公式的真度时，原子公式中的变元可相互替换；

命题1设，，有

由定义5，易证明命题1成立。

定理2设，，，，，有

（3）由于交推理规则的证明需用到一个引理，而此引理需借助相似度的概念，因此将在第3节中给出（3）的证明。

推论1设，，，

3 谓词逻辑系统MTL中公式的公理化相似度

定义6设，，令，称为与之间的相似度。

命题2设，，，有

由定义6和命题1，易证明命题2成立。

定理3。

由命题2（1），知

得证。

推论2。

定理4。

由命题2（1），知

得证

推论3。

例1计算的值，其中在中不自由出现。

例2计算的值，其中在和中不自由出现。

解 由命题2（1），知

由例1及（G1），知

由定理4，知

由例2的结果，可知下列引理成立。

引理1设，，则。

证明 由引理1，知

由命题1（5），知

所以

由MTL4及G2，知

由命题1（4），知

所以

再由引理1，得

得证。

4 谓词逻辑系统MTL中公式的公理化伪距离

定义7设，，令，称为与之间的伪距离。

命题3设，，，则。

由命题2（3），易证命题3成立。

引理2若是定理，是定理，则是定理。

证明①（定理1（4））；

引理3若是定理，是定理，则是定理。

定理5在谓词逻辑系统MTL中，

由定理1（1）和定义4，易证得上式成立。

第2步，证明

第3步，证明

第3步的证明类似于文献［12］中的证明，在此不再重复。

由命题3，知

由（G2）及命题1（4），有

第2步的证明类似于第1步。

由命题3，知

定理6在谓词逻辑系统MTL中，中的运算关于伪距离不连续。

所以由（G2），知

5 结束语

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WANG G J. Introduction to Mathematical Logical and Resolution Principle［M］. 2nd ed. Beijing：Science Press， 2006.

Axiomatic truth degrees of formula in MTLpredicate logic system

WANG Bo, HUI Xiaojing, LU Xing

（Mathematics and Computer Science College，Yanapos;an University，Yanapos;an716000，Shaanxi Province，China）

The quantification of propositional logic and predicate logic is a research hotspot. Based on left continuous triangle norm,the concept of truth degree of formulas in MTLis introduced by the axiomatic method .The MP rule,HS rule and meet inference rules of this truth degree are proved. Meantime,the concept of similarity degree and pseudo-distances of first order closed logic formulas in MTLpredicate logic system are introduced,some good properties about similarity degree are proved. Furthermore, the continuity problem of logical operators about this pesudo distance is discussed.

predicate logic system MTL; axiomatic truth degree; similarity degree; pseudo-distances

O 141.1

A

1008⁃9497（2022）05⁃521⁃06

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.001

2022⁃02⁃14.

国家自然科学基金资助项目（11471007，61763045）.

王波（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-9438-2094，男，硕士研究生，主要从事数理逻辑与不确定性推理研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/ 0000-0001-6778-2631，E-mail：xhmxiaojing@163.com.