基于再生核的样条插值求解积分方程

张瑞敏，林迎珍，张娇霞

（北京理工大学珠海学院数理与土木工程学院，广东 珠海 519088）

0 引言

近年来，求解第二类积分方程的数值解受到了许多学者的关注。这些方法可分为两种类型：一种类型是直接对解析解进行近似。如逐次逼近法、变分迭代法、Adomian分解法、Simpson公式和Gauss型求积公式等[1-5]；另一种类型是通过将方程转换为比原始方程更容易求解的形式。例如，泰勒展开配置法用于求解中的积分方程［6-8］。这些方法各有优缺点，而不断寻找更加有效、简单的方法是学者们一直关注的问题。

积分方程在力学、气象预报、振动理论、博弈论和粒子物理等学科中有着广泛应用。一次样条函数是工程技术中应用十分广泛的插值函数，具有高阶收敛性。文献［9-10］研究了样条插值在微分方程中的应用。本文算法的优点是简单易行，并且近似解的精度较高。

本文主要研究如下积分问题

其中积分核K(x，t)是[0，1]×[0，1]上的连续函数，f(x)是已知函数。利用再生核函数非常简便地构造了一次样条函数空间的一组基底，该基底适合于求解第二类积分方程；若是其他方程可选择不同的样条。

1 积分方程的样条插值法

提出一种求解第二类积分方程新的算法。

定义1[11]再生核空间W1[0，1]={u|u在[0，1]上绝对连续，u′∈L2[0，1]}，其内积为

其再生核函数为

定义2设函数S(x)∈W1[0，1]，π：0=x1＜x2＜…＜xn=1，若S(x)在每个小区间[xi，xi+1]上为不超过一次的多项式，则称S(x)为区间[0，1]上的一次样条函数[12]。

定义3记Snπ={S(x)|S(x)为一次样条函数，其中π：0=x1＜x2＜…＜xn=1}，称Snπ为一次样条函数空间。

定理1一次样条函数空间Snπ为n维空间。

证明一次样条函数S(x)在每个小区间[xi，xi+1]上有2个待定系数，在（n-1）个这样的小区间上共有[ 2(n-1)]个待定系数。由于S(x)∈W1[0，1]，故满足下式的（n-2）个条件：因此，S(x)的自由度为2(n-1)-(n-2)=n，即一次样条函数空间Snπ为n维空间。

定理2{Rx1(x)，Rx2(x)，…，Rxn(x)}为一次样条函数空间Snπ的一组基底。

证明根据定理1，只需证明Rx1(x)，Rx2(x)，…，Rxn(x)线性无关。设

下证C1=C2=…=Cn=0。

取gk(x)∈W1[0，1]，满 足gk(xk)=1，gk(xj)=0(k≠j)，1≤k，j≤n。式（4）两边 同 时 与gk(x)做内积，因为Ry(x)是W1[0，1]的再生核，由再生核函数的再生性，可得

得证。

定义4对定义在区间[0，1]上的函数u(x)，如果存在一次样条函数S(x)，有u(xi)=S(xi)(1≤i≤n)，则称S(x)为插值函数，u(x)为被插函数。

为了求解问题（1），以下将区间[0，1]做n等分，即。由定理2可知，一次样条插值函数S(x)可由空间Snπ的基底线性表示，即

把式（5）代入式（1），可得

令式（6）中x=xj(1≤j≤n)，得

求解式（8）可得C1，C2，…，Cn，从而可求得u(x)的插值解S(x)。

定 义 算 子L：W1[0，1]→W1[0，1]为则 式（1）等价于

引理1对于式（9），当式（9）的解存在唯一，可知(I-K)-1存在且有界[13]，故由式（8）得到的数值解S(x)是唯一的。

定理3设u(x)∈W1[0，1]为式（1）的解，S(x)为u(x)的一次样条插值函数，则S(x)是二阶收敛的，即

证明一次插值余项记由于将区间[0，1]分为n等分，故。

2 数值算例

本文利用再生核函数巧妙地构造了一次样条函数空间的一组基底，从而可以利用再生核方法解决一次样条函数空间的问题。下面给出用这种巧妙方法的一些算例。

例1考虑积分问题

表1 真解u(x)与近似解S(x)的最大绝对误差（例1）Tab.1 Maximum absolute error of true solution［u（x）］and approximate solution［S（x）］（Example 1）

例2考虑积分方程

其解析解为u(x)=sin(πx2)，最大绝对误差和收敛阶见表2。文献［16］是基于模糊划分的逆模糊变换与搭配技术相结合的方法求解的例2，从表2可知本研究计算结果优于文献［16］。

表2 真解u(x)与近似解S(x)的最大绝对误差和收敛阶（例2）Tab.2 Maximum absolute error and convergence order of true solution and approximate solution（Example 2）

3 结论

由再生核函数构造了一次样条空间的一组基底，在这个基底下研究了第二类积分方程的算法。该算法原理简单。通过两个数值算例，展示了该算法相比其他一些算法，收敛结果更好。因为研究对象为积分方程，所以本文选用的是一次样条插值。若是其他方程，可选择不同的样条。