用洛必达法则求参数取值范围的方法

广西防城港市北部湾高中（538000）覃宝锋

在数学学习的过程中，学生往往对不等式中求参数的取值范围的问题感到困难，但这类问题又是高考中常出现的题型。因此，我们很有必要去研究它。解决这类问题的通法是直接求导，然后对参数进行分类讨论。然而，运用此法，有的学生可能会出现对参数讨论不清或讨论不全的情况。有一些学生会采用分离参数的方法，通过分离参数求函数的最值，进而求解，这种求解往往对判断函数的单调性要求比较高，可能有些复杂，但一般都能得到结果。而有时用洛必达法则可轻松解决问题。

洛必达法则是高等数学的内容，运用洛必达法则要满足以下条件。

［例1］已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，

（1）当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

（2）若当x＞1时，f(x)＞0，求a的取值范围。

分析：根据已知条件，容易将参数a分离出来，接着构造函数g(x)，并对其进行求导，通过判断其函数的单调性，求g(x)的极值。我们发现g(x)在x=1 处没有意义，不能求出g(x)的极值，这时，可利用洛必达法则来求其极限值。

解：（1）略；

点评：在判断函数的单调性时，我们不一定要对整个函数进行二次求导，可对其中的一部分求导。

［例3］已知函数(x)=(ax-2)ex-e(a-2)。

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x＞1时f(x) ＞0，求a的取值范围。

解：（1）略。

点评：由上面的例子可知，求参数的取值范围，都可以分离参数，通过判断函数的单调性，运用洛必达法则进行求解。

［例4］已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0，其中a＞0。

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[ 0,+∞)有f(x) ≤kx2成立，求实数k的取值范围。

分析：对于第（2）问，可以将参数分离出来，通过判断函数的单调性，观察能否用洛必达法则进行求解。

解：（1）a=1，过程省略。

（2）由题意知，对任意的x∈[ 0,+∞)，当x=0时，f(x) ≤kx2恒成立，

（1）求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程；

（2）若x2f(x)+cosx≤mx2+1，求m的取值范围。

分析：含有三角函数的求导，在判断函数的单调性时显得比较困难，可视为恒成立求参数范围的问题，因此可通过分离参数进行求解。

解：（1）略。

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若x2f(x) ≤m对任意x≥1恒成立，求m。

分析：第（2）问，学生若用直接法则要对m进行分类讨论，会比较困难，因此可通过分离参数进行求解。

解：（1）略。

通过上述的例题可知，洛必达法则是解决未定式函数极值的一种非常有效的方法，但并不是所有的未定式函数极值都可以应用洛必达法则解决，如多次应用洛必达法则后，极值出现循环现象时，洛必达法则失效。

应用洛必达法则求极值，必须熟练掌握洛必达法则的结论，注意洛必达法则的条件要求，不能盲目地套用公式，以免出现解题错误。