实验验证和数值仿真一个弹簧摆问题

朱国强 姚梦真 陈峻峰

（1.浙江省萧山中学，浙江 杭州 311200；2.金华市第八中学，浙江 金华 321000；3.杭州市萧山区第三高级中学，浙江 杭州 311200）

1 试题错解

轻弹簧和小球是高中物理的两个常见模型.小球和轻弹簧拴连在一起，在竖直平面内运动，构成一个组合模型——弹簧摆.

高中物理教学中，弹簧摆模型常被设计为考察能量守恒和牛顿定律的试题.

1.1 典型试题

例题.如图1所示，有一小球拴在不计质量的弹簧的一端，弹簧另一端固定在C点，该弹簧的自然长度为l0=0.14m.起初弹簧位于水平位置A，并保持自然长度；然后释放小球，当小球落下经过竖直位置P时，弹簧被拉长为l=0.30m.求该时刻的小球速度.（答案：1.47m／s）

图1 弹簧摆示意图

1.2 流行解答

1.3 错因分析

错解的原因在于解题者额外添加了一个条件：在竖直位置P点时小球的速度沿水平方向.也就是想当然地、简单地认为小球在竖直位置一定是弹簧摆的最低点.

如果不加这一条件，牛顿定律的式（2）不能列出，只能列出能量守恒的式（1），如此一来，在中学知识范围内就不能解出该时刻小球的速度.

1.4 深入思考

既然对于弹簧在竖直位置时，小球的速度方向是否沿水平方向证据不足.那么，我们应该设法确定下面3个问题.

（1）P点是最低点吗？如果不是，那么弹簧摆的最低点在何处？

（2）P点小球的速度方向水平吗？如果不水平，那么P点小球的速度方向与水平方向夹角是多少？

（3）弹簧摆被自由释放后，小球的运动轨迹是怎样的？

2 实验验证

2021年10月 ，萧山三中陈峻峰老师在浙江省朱国强名师网络工作室组织的研讨会中展示了弹簧摆实验照片.弹簧摆由电磁铁和铁夹固定位于水平位置，并保持自然长度，如图2所示.利用频闪照相技术，拍摄了电磁铁断电后，小球在弹簧的约束下的运动轨迹，如图3所示.

图2 弹簧摆固定位置图

图3 小球运动轨迹图

实验的频闪照片表明：

（1）弹簧摆悬挂点（铁夹所在点）竖直线上的P点不是弹簧摆小球运动的最低点.

（2）P点时小球的速度不是水平的，而是斜向下.弹簧摆的最低点在弹簧摆悬挂点竖直线的另一侧.

（3）小球的运动轨迹是曲线，一种未知名的曲线，看上去比较复杂，会往复运动.

3 理论求证

实验已经充分表明P点时小球的速度不是水平的，上述试题解法中的式（2）不成立，确实是一种错解.那么，弹簧摆小球的运动究竟是什么样的呢？我们用牛顿力学和分析力学进行求解.

3.1 牛顿力学解法

以小球为研究对象，建立坐标系，如图4所示，根据牛顿运动定律列方程

图4 弹簧摆运动示意图

根据几何关系，

联立得

3.2 分析力学求解

4 实验仿真

这两个动力学二阶微分方程没有解析解.为了便于进行数值计算，需进行降阶处理.

4.1 降阶处理

将两个二阶微分方程降阶处理，得到4个一阶微分方程.

如果给定4个初始条件，初始时刻位置2个，初始时刻速度2个，这个一阶微分方程组可用计算机进行数值求解.

4.2 数值仿真结果

MATLAB绘制的弹簧摆的运动图如图4所示.

图4 弹簧摆运动图

弹簧摆的小球由点（1.4，0）由静止释放，第1次位于最低点在（-0.65，-3.50），弹簧悬挂点正下方的左侧.而小球到达弹簧悬挂点正下方时的位置为（0，-3.0），速度方向斜向下，不是水平方向.

由表1数据还可以求出摆球的速度，小球的运动轨迹的数值仿真与实验的结果一致.

表1 弹簧摆运动实验数据记录表

5 相关结论

弹簧摆作为由弹簧和重物组成的单摆系统，其运动呈一种复杂的非线性运动形式.

每次从右往左运动，都出现一个“最低点”，“最低点“的竖直坐标发生变化，如图6所示，第2次的“最低点”比第一次低.随运动时间流逝，如图7所示，第3次的“最低点”比第1次、第2次要高些.所以弹簧摆的最低点究竟在何处？较难确定.

图6 弹簧摆运动图

图7 弹簧摆运动图

随着时间继续流逝，还出现了更低的“最低点”，如图8所示.所以弹簧摆的最低点难以预测.

图8 弹簧摆运动图

如果改变弹簧摆的参数，比如仅改变质量为m=0.02kg，弹簧摆的运动发生明显改变，如图9所示.

图9 弹簧摆运动图

弹簧振子与单摆运动分析是物理教学的重要内容.但是弹簧振子与单摆的组合运动，运动复杂，会出现混沌现象.中学阶段命题时需要考虑到其运动的复杂性，保障试题设问的科学性和适切性.