对一道动态平衡问题的深入探析

蒋 敏 陶朗毅 魏继红

（1.西南大学附属中学校，重庆 400700；2.重庆南开中学校，重庆 400030）

高中物理无论是力学，还是电学，经常用动态平衡问题来考查学生的理解能力、知识迁移能力、分析综合能力和利用数学知识解决问题的能力.一般说来解决三力动态平衡问题方法有图解法与解析法.[1]

图解法往往比较直观、形象.当物体受3个力的作用平衡时，将3力的矢量（有向线段）平移使它们依次首尾相连，必定构成封闭三角形，此时三角形3条边的边长分别对应3个力的大小.在动态平衡问题中，物体所受3个力有变化，因此3力构成的封闭三角形的形状也逐渐变化，可以通过边的长度与方向的改变来判断对应力的大小与方向变化.但有时题目中的力之间的大小方向关系不够直观，图解法无法解决问题，这时往往就要用到解析法.解析法就是根据平衡条件列出方程，得出解析式再进行分析，这种方法比较严密.运用解析法时，可能用到直角三角形、相似三角形的知识，有时还会用到正弦定理.[2]对于由解析法得出的表达式较为复杂的问题，可能还要通过函数作图找到其变化趋势，甚至通过求导等方法分析其变化规律.下面通过一道例题加以说明.

1 例题呈现

例题.如图1所示，水平天花板上固定有AO和BO两根不可伸长的轻绳，它们系在同一点O，且AO＞BO，一只蜘蛛通过吐出的丝使自己静止悬挂在O点，此时BO沿竖直方向，AO绳刚好绷直.现将A端缓慢向左移动，则

图1 蜘蛛悬挂示意图

（A）AO绳的拉力大小一直增大.

（B）AO绳的拉力先增大后减小.

（C）BO绳的拉力大小一直增大.

（D）BO绳的拉力大小一直减小.

解析：先进行受力分析，蜘蛛受重力G，AO绳的拉力F1，BO绳的拉力F2.刚开始时F2的大小为蜘蛛的重力G，F1的大小为0.在A缓慢向左移动过程中，可认为蜘蛛始终受力平衡，作出力的矢量三角形的变化如图2所示.由图2可以看出，F1随AB距离的增大而一直增大，F2随AB距离的增大先减小后增大，所以（A）选项正确.

图2

对力的矢量三角形进行进一步的分析.当F1与F2方向相互垂直时，F2＜G，所以F2一定有减小的阶段.当F1与F2方向接近水平时，F1与F2都应该趋于无穷大，所以F1与F2最后的阶段都应该增大，因此，从最简单的角度来考虑，应该有F1从0逐渐增大，F2先减小后增大.但是，这一分析并不严密，图2只是确定了3个状态的矢量三角形：最初F2竖直向上时，中间F1与F2方向相互垂直时，F1与F2方向接近水平时，3个状态之间的过程分析并不清晰.

如果作出如图3所示力的矢量三角形，这种情况F1就是先增大后减小再增大，F2就是先减小后增大再减小再增大.由此可见，采用矢量三角形分析这类问题，由于F1、F2大小方向的关系在图像上并不直观，分析的结果因作图过程而具有任意性（这一问题在学生独立分析时尤其突出），因此不可能严格准确地分析出拉力F1、F2的变化，甚至很容易得到完全错误的结论.对于拉力F1、F2具体的变化情况，必须用解析法进行详细分析.

图3

2 求拉力表达式

如图4所示为O点的受力示意图，G为蜘蛛重力大小，AO绳的拉力F1与竖直方向夹角为β，BO绳的拉力F2与竖直方向夹角为α.在水平与竖直方向分别列出受力平衡方程，有

图4

由（1）式可以看出，由于β＞α，所以F1始终小于F2，而且F1与F2的比值决定于α与β的大小，由于α与β在逐渐变化，所以F1与F2的比值可能也在改变.

由（1）、（2）两式，解得

从（3）、（4）式可以看出，由于蜘蛛重力G一定，拉力F1、F2的变化规律决定于夹角α与β的变化.同时分析α与β的变化非常麻烦，但α与β并不是相互独立的，它们有几何关系的制约，可以将β用α表示，进而将F1与F2表示成α的函数关系.

设AO绳长为l1，BO绳长为l2，有几何关系

3 函数图像与理论分析

A端缓慢向左移动过程中逐渐增大，F1、F2随着夹角α变化的关系式（6）、（7）比较复杂，其单调性不易得出，先取一些特殊的参数，画出F1、F2变化的函数图像进行分析.

取蜘蛛重力G=0.2N，分别取k=0.2、0.5、0.8，以F1为纵坐标，α为横坐标，作出F1随α的变化规律如图5所示.由图5可以看出，F1随着α的增大从0逐渐增大，当α较大时F1增大得越来越快，当α趋近时，F1趋近正无穷.

图5 F1随α变化的规律

以F2为纵坐标，α为横坐标，作出F2随α的变化规律如图6所示.由图6可以看出，F2随着α的增大先减小后增大，当α趋近时，F2趋近正无穷.

图6 F2随α变化规律

4 结束语

以一个典型的两绳悬挂物体的模型为例，在悬挂点移动的情况下，先运用图解法根据矢量三角形的变化进行了定性分析.然后运用解析法进行了定量计算，得出拉力随角度改变的表达式，并借助作图软件展现了拉力的变化趋势.最后，通过拉力单调性的讨论进一步证明了拉力随角度的变化规律.该问题的分析过程有一定的代表性，可以培养学生严密思考的物理思维，为学生强基题的解答提供参考方法.