数学建模课程混合式教学设计与实践

齐 静 孙丽萍

数学建模是研究如何将数学方法用于解决实际问题的一门实践类课程，是高校数学类本科专业的一门必修课程。数学建模能力是许多理工科专业学生需要具备的一项实践能力。通过对该课程的学习，学生能够掌握数学建模的基本方法，同时培养联想、洞察和综合分析能力，培养创新意识。经过多年的教学改革与实践，数学建模课程教学已从传统的课堂讲授，逐步转变为理论与实践相结合的多形式教学模式，这就需要利用多元化的教学平台和教学方式。

一、混合式教学发展趋势与需求

信息化时代，互联网技术的飞速发展对高等教育不断提出新的挑战，线上课程资源应运而生。2008年，加拿大学者Dave Cormier 和Bryan Alexander首次提出MOOC（大规模开放在线课程）这一名词，作为一种新型的开放式网络课程，MOOC 迅速在全球范围内普及。当前，我国有中国大学MOOC、超星尔雅、学堂在线、高校一体化教学平台等众多在线课程平台。特别是新冠肺炎疫情暴发后，各类在线学习平台风靡一时，国内在线课程资源增长迅速。

（一）混合式教学发展趋势

随着在线教学的普及，单一的在线教学模式的弊端也暴露出来[1]，因此，传统的课堂教学方式不能完全被在线教学模式所替代，线上、线下教学模式各有利弊，应合理利用，充分发挥二者优势，由此诞生了混合式教学模式。在我国，混合式教学最早由北京师范大学何克抗教授于2003年提出，之后迅速在全国教育界流行。混合式教学既强调教师引导、启发、监控教学过程的主导作用，又注重学生作为学习主体的主动性、积极性和创造性，将教师的“教”和学生的“学”共同调动起来，实现教育优化[2]。目前，我国高等教育数字化改革不断深化，高校教师使用混合式教学比例已经从疫情前的34.8%提升至84.2%，形成了包括理念、技术、标准、方法、评价等在内的中国特色高等教育数字化发展方案[3]。

（二）混合式教学需求与设计

相比传统教学模式，混合式教学模式对教师角色、教学技能和教学设计提出了新的、更高的要求。

第一，教师角色的转变。在传统教学模式下，教师是课堂教学的实施者、主管者和监控者，处于主导地位，学生则是知识的接收者，属于被管理和被监控者。在混合式教学模式下，教师是课程线上教学和线下教学的设计者和组织者，需要重新构建教学模块，既要吸引学生主动自主完成线上学习环节，又要引导学生在课堂教学中自主思考、积极讨论和深入研究。第二，教师能力的新要求。在混合式教学模式下，教师除了需要具备基本教学能力，还需要具备系统化教学设计的能力、信息技术的应用能力和线上线下教学组织实施管理能力等，即需要全能型教师。第三，教学环节的重构。混合式教学模式要关注教师“如何教”，更要关注学生“如何学”，教学环节中学生处于主导位置，教师需要引导学生自主学习、积极思考和加入讨论交流，提升学生的主动性，使学生实现由“被动学”到“主动学”的转变。因此，混合式教学设计应包括教学模块的设计、线上学习资源的设计，课堂教学环节中知识整理、课堂讨论和总结的设计，以及教学评价的设计。

二、数学建模混合式教学设计

根据笔者对数学建模课程多年的教学总结，结合近几年的线上线下教学模式的探索与实践，以MOOC 为平台，进行数学建模混合式教学设计。

（一）线上教学资源设计

数学建模课程不单是数学相关专业的必修课，也是各理工科专业人才培养的一门重要的开放性素质教育类课程。为了更好地服务于各专业，满足不同层次学生的自主学习需求，在线上资源建设规划中，对课程内容进行模块化设计，分为基础知识模块、实验训练模块和能力提升模块（见图1）。

图1 数学建模在线教学资源模块设计

基础知识模块包括数学模型与数学建模的一般概念、初等微积分模型、微分方程模型、线性规划模型、概率统计模型、图论模型等，这一部分可采取学生线上自学、教师课堂辅助讲解重难点的方式，要求学生能够理解模型方法原理并简单应用数学模型，属于必修部分。实验训练模块一般包括各类软件（MATLAB、SPSS、Python 等）的应用、数据的插值与拟合、数据统计分析等，这部分主要是通过讲解、演示与实践，让学生自主练习，培养学生模型求解的动手实践能力和分析能力，也属于必修部分。能力提升部分作为开放性模块，包括各类优化算法、多元分析和部分案例分析等（知识面较广），这部分对学习者基础和能力水平要求较高，属于选学内容。在MOOC 平台上，也可以使用其他高校现有优质资源进行补充，丰富在线教学资源。在线教学资源模块化设计，使得课程学习个性化、开放化，学生根据自身学习需求，能够较自主地选择感兴趣的内容。

教师应合理利用在线教学资源，了解学生自主学习需求，使学生明确课程教学计划，做好课前学习规划。教师还应提前发布课程的学习清单，布置好线上学习任务（例如观看在线教学视频、完成基础知识测试等），使学生明确学习任务，做好准备工作，这一过程需要教师投入较多精力准备[4]。

（二）课堂教学设计与实施

课堂教学的主导者是教师，在学生课前线上学习的基础上，教师需要对课堂教学进行有效组织、实施和管理。在课堂教学中，可将教学环节分为三部分。

一是知识点梳理与重难点讲解。教师首先在课堂上对课前要求学生在线学习的数学模型知识进行简单回顾，对教学内容中的重难点进行归纳和讲解，使学生对该数学模型有更深入的理解。

二是课堂小组讨论。针对数学模型的建模方法和应用案例，设置讨论题目，将学生分成小组（每组4—6 人）进行讨论，可设置讨论时间（如6—10分钟），教师也可选择随机加入。通过小组讨论，学生畅所欲言，彼此之间交流观点，产生头脑碰撞，有利于进行创造性思维培养。

三是教师点评与总结。在课堂教学的最后，教师可对各小组讨论结果进行梳理，总结观点，并进行点评，强化学生对模型的理解和应用。在表1 中，笔者以建模课中微分方程模型课堂教学为例，提出了教学设计方案。

表1 微分方程模型课堂教学设计

（三）课后巩固及拓展

第一，模型应用实践。在课堂教学环节结束之后，教师可通过布置书面作业或在线作业的方式，要求学生对模型应用及建模方法进行实践练习。作业内容可以是课堂讨论的继续研究，或者是新的应用型问题，也可以安排实验任务，可采取小组（一般3 名学生）形式提交作业或实验报告，以提升学生建模能力和团队协作能力。

第二，在线答疑与交流。为了便于课下师生交流与沟通，教师可安排线上答疑、讨论和交流，有效利用线上平台，促进学生和教师对模型方法的深层次研究，提高学习效果。

第三，案例收集。通过收集各类数学建模竞赛问题及优秀论文丰富线上学习资源，以便于学生利用课余时间自主选择练习，进行建模训练，提升建模能力。

第四，数学建模混合考评方案。数学建模课程教学方式以学生实践为主，以教师讲解和引导为辅，充分发挥学生的主观能动性。结合课程混合式教学模式的特点，建立包括线上学习过程考核、线下学习过程考核和期末考核在内的考核体系，综合考评学生学习效果。

一是线上考核。线上考核可基于在线学习平台（如MOOC）的量化评价，包括课前观看线上视频教学资源、完成线上单元基础测试和线上讨论的参与情况等[5]。这部分主要考查学生课前的知识储备情况。

二是线下考核。线下考核主要是课堂教学参与和作业，课堂教学参与情况可按小组讨论次数统计，作业可采取教师批改或学生互评的方式登记成绩。这部分主要检验学生在课堂上的学习效果。

三是期末考核。期末考核是对课程整体学习效果的考核，一般采取大论文的形式，论文主题由教师指定，可以是对某一建模方法的应用实践过程的记录，也可以是对某一数学模型的深入分析，教师可以设定多个考核主题，由学生选择完成。

教师可根据课程教学计划和各部分学时安排来确定混合式考核的成绩构成比，通过过程考核激励学生的过程性学习。

三、混合式教学实践

2020年春季由于疫情的影响，国家号召停课不停学，全国大中小学都采取了线上教学方案。利用MOOC 平台上现有数学建模线上教学视频资源，笔者对数学建模课程开始初步尝试混合式教学。在进行教学设计时，线上部分采取异步SPOC（小规模限制性在线课程），基础模型部分限时要求学生提前学习线上课程资源，教师采取在线直播的方式进行部分讲解，并安排在线讨论，形式类似于课堂教学。实施过程中部分学生如果没有自主提前学习课程内容，在讨论过程中就无法顺利参与其中，也就影响了其过程考核。后期根据数学建模课程的教学需求，团队基于MOOC 平台建立了相应的线上教学资源库，包括线上视频课、单元测试题、作业题库，实验演示、案例分析资源库，以及建模竞赛问题库等。在教学实施中，尝试将课堂讨论题目在课前提前布置，在课堂教学过程中针对讨论问题加入小组发言环节，这样可以提高学生的积极性和参与度。经过几个学期的探索与实践，逐步形成了较完善的混合式教学实施方案。在线教学资源的建设与丰富的内容，给学生自主学习提供了方便，结合课堂教学管理与组织举办竞赛，大大提高了学生学习数学建模的积极性和主动性。以数学建模公共课为例，学校选数学建模课的学生从原来每学期约200 人增长到每学期近500 人。

综上所述，随着信息技术的快速发展和自媒体时代的到来，将传统教学方式和线上教学资源有机结合的混合式教学模式已成为高等教育发展的必然趋势。数学建模课程具有综合性和实践性，混合式教学模式更能激发学生主动学习的欲望。因此，教师需要在教学过程不断探索与实践，重视各环节的教学设计，结合数学建模课程设计和竞赛等活动激发学生的学习兴趣，提升不同层次学生的创新能力，提高学生的综合素质。