基于学科核心素养的高中数学教学原则

蒋永鸿，张 静

(西北师范大学附属中学，甘肃兰州，730070)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。[1]具体而言，数学学科核心素养包括以下四个层次的内容。第一层次，掌握“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，以及学会“四能”，即发现问题、提出问题、分析问题和解决问题；第二层次，培育“六核”，即数学抽象、直观想象、数学推理、数学运算、数学建模、数据分析，以及提升“三会”，即用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界；第三层次，铸造数学精神(情感、态度与价值观)。[2]本文主要探讨基于学科核心素养开展高中数学教学的原则和策略。

一、教学原则

(一)情意原则

课堂教学既是知识的传授过程，又是师生情感的交流过程。基于学科核心素养的课堂教学，就必须把师生情感和数学知识的趣味性有机结合在一起，教师的创造性劳动就在于把数学原理变换为活生生的情感，把数学知识变成充满吸引力的精神食粮，把数学教学变成不断探索真理有情趣的意向活动，给学生以乐此不疲的力量，让学生在迫切的要求下愉快学习，把兴趣变成乐趣，并上升为经久不衰的志趣。

在教学“空间直线与平面垂直关系”时，教师可以创设以下情境。首先映入学生眼帘的是一幅画，湖水碧波荡漾，湖边垂柳依依。接着展现一首唐诗：碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦。不知细叶谁裁出，二月春风似剪刀。这样的情境可以把学生带入春意盎然的生命时空。教师可以重点突出“垂下”二字，让学生感受生活中线面垂直的现象，继而以轻松愉快的心情进入线面垂直的探索活动。

又如，在教授“反证法”时，教师可以一幅古人弹琴的画面、一段悦耳动听的琴声和一首发人深思的诗词(若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣？若言声在指头上，何不于君指上听？)引入教学，并让学生思考这首诗用了什么样的推理方法，从而把学生引入对反证法的探究活动中。

因此，教师用巧思点燃学生的热情，用知识的意趣增添学生的兴趣是情趣原则的根本。

(二)序进原则

学生的认知是一个从简单到复杂、从单一到综合、从片面到全面的循序渐进的发展过程。[3]因此，教师要把教材提供的内容按学生的认知规律进行组织加工，既要重视归纳、分析、类比、概括、演绎等抽象思维活动，也要重视表象、直觉、想象等形象思维活动，要为学生构建一条从具体到抽象、由此及彼、由表及里、由个别到一般、由片面到全面的思维通道。深奥问题浅显化，隐蔽问题明朗化，繁杂问题条理化，疑难问题简单化，教师需要设计和组织好一个有层次的认知序列，让数学的发生序、教材的编写序、学生的思维序、教学的活动序有效融合，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰、从具体到抽象、从直觉到逻辑的过程。例如，在教学“等比数列前n项和公式”时，教师可以为学生设计以下认知通道。

1.以故事生趣，激发求知欲望

首先，为学生讲述和国际象棋有关的“棋盘麦粒”传说：

一位国王非常喜欢玩国际象棋，他决定奖励国际象棋的发明者，并让发明者自己提出要求。发明者提出：在国际象棋的棋盘上放麦粒，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，依次放下去，最后一格放263粒。国王原本以为这个奖赏很少，最后发现所需麦粒铺在地面上可以把地球表面铺上三厘米厚的一层。

这一故事情境可以像磁石一样吸引学生，使他们迫不及待地想知道怎样算出需要这么多麦粒。这时，教师可以水到渠成地引入多比数列的求和问题。

2.从定义联想，发现证明方法

由于学生带着强烈的探索欲望，教师可以通过精心设计问题串，启发学生发现比教材更容易想到的推导方法。

师：等比数列的定义是什么？用等式表示。

师：由等式①与和等比定理可以联想到什么？

师：在等式②中能否用Sn简化分子、分母，分母并且用a1，q表示出Sn？

对定义的复习可以温故知新、奠定基础，学生由连等式与和式联想到等比定理，可以有效实现新旧知识的同化。

3.因结论设问，培养严谨思维

在等比数列前n项和公式的应用中，学生容易犯的错误是忽视q=l的情形而且屡纠屡错。为纠正这一易错点，教师可以设计诧异情境，“欲擒故纵”。

师：前面推导等比数列前n项和公式的过程是否严谨？

生：推导完全正确。

师：求等比数列：2，2，2，…，2的前n项和。

这一情境不仅可以使学生完成公式推导，而且能有效训练思维的严谨性。

4.带疑念阅读，剖析方法规律

学生自己发现的公式推导方法与教材上的不一样。教材上的推导方法是“错位相减法”，这是一种十分重要的数列求和方法，不仅可以推导等比数列的求和公式，而且可以解决一类特殊数列的求和问题。教师可以引导学生总结这种方法的步骤。

设和：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①

错位：两边同乘以q：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②

为使学生进一步理解和掌握这种方法，教师可以设置练习：求数列a,2a2,3a3,…,nan的前n项和。

这一教学过程的设计步步深入、环环相扣，学生不仅可以很好地掌握公式，而且可以很好地掌握推导公式的数学思想与方法。

(三)活动原则

课堂教学是师生有计划、有目的、有步骤地去完成既定目标的认知活动，也是师生的思想碰撞和情感交流活动。数学是对事物的数量关系和结构关系的研究，课堂教学必须凸显学习的活动性特征，让学生在操作活动中掌握知识、形成能力、交流情感。例如，在教学等差数列这一概念时，教师可以设置以下循序渐进的活动过程。

1.从特殊到一般，定义让学生下

为了使学生在头脑中建立起对有关事物的特征与联系的感觉、知觉，从而获得对数列的一些具体或感性的认识，可设计“l，2，3，4…”“1，3，5，7…”“2，5，8，11，14…”“l，2，4，6，8…”四个数列，引导学生分析、比较相邻项的关系，让他们自己发现前三个数列的共同特征，从而得出等差数列的定义。这样可以加深学生对这一概念的本质特性的理解，同时培养学生归纳猜想的能力。

2.从具体到抽象，通项让学生写

为了使学生的认识由具体形象思维上升到抽象逻辑思维，教师需要引导学生用数学语言来定义，即an-an-1=d(n≥2，n∈N+)。同时，又要让学生根据定义抽象出用首项与公差d表示的an关系式，即通项公式an=a1+(n-1)d，训练学生抽象概括的能力。

3.从感性到理性，性质让学生找

对定义教学，如果不能从定义的词句中让学生看到其蕴含的本质属性，那么学生的理解始终会停留在表象阶段，更谈不上从理论到实践的应用。因此，教师可以在等差数列的定义教学中引导学生发现下列性质：若n1,n2,n3,…,nn成等差数列，则an1,an2，an3……也成等差数列；若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。这一做法可以让学生对定义的内涵有更深刻的理解。

4.从理论到实践，练习让学生做

学生的学习始终遵循着由理论到实践的规律，学习的目的在于应用。学生对上述定义、通项、性质的认识程度，只有通过练习才能鉴别、巩固和深化。因此，笔者在课后为学生精心配置了练习题。

(四)反馈原则

课堂教学是由教师、学生、教材、教法等多种因素组成的一个动态生成系统，要想使系统有活力，就必须有信息的及时交换与畅通，有对系统活动的有效调节与控制。一方面，教师的教是以学生现有水平和潜在水平为基础的，这种信息的接收要靠良好的反馈渠道。如果课堂教学缺少信息交流渠道，或不重视信息交流渠道的设计，那么教师的教就可能因缺乏信息的支持而失去“准头”。另一方面，学生的学主要是在课堂上接收来自教师和教材的知识信息，不同的学生对同一知识的掌握所需要时间不同，理解的深浅程度不同，反应的快慢也有差异。[4]因此，课堂教学应遵循反馈原则，精心设计反馈渠道，促使教与学的信息收发同步、接收同频，进而达成共识、共享、共进的目的。

在课堂教学中落实反馈原则有以下四步法：一是让学生展开讨论，说出困惑，教师做针对性答疑；二是上课观察学生，及时提问，有效调控课堂教学的速度、难度和进度；三是让学生进行板演，暴露存在的问题，对症下药；四是课前做诊断性测试题。

二、教学策略

(一)找准切入点

教师应根据教学内容的特质选择切入点，创设能触景生情的问题情境、生活情境、科学情境，引领学生用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达。例如，在教学“等差数列前n项和公式”时，教师可以采取以下策略。

一是用高斯的故事激发学生的学习兴趣。通过介绍数学家高斯计算1+2+3+…+100的故事，引入等差数列的求和问题，从而激发学生强烈的学习意愿。

二是用杨辉的方法推陈出新。我国数学家杨辉曾提出以下问题：“今有草一垛，顶上一束，底阔八束，问共几束？答：36束。”他的计算方法可以用图表示：设想有另一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼到一起，就得到8×9的草堆，一共72束，因此，原来的草堆共有36束。教师可以利用“本末倒置”图形引导学生探索公式的推导方法——“倒写相加法”，从而架起数学家的思想与学生的思维之间的认知桥梁。

三是用图形的直观强化记忆。教师可以借助图形的特点创设联想情境，引导学生联想到梯形的面积公式和求和公式的相似性。

等差数列前n项和公式的推导方法体现了整体代换、对称、方程等重要的数学思想，准确的切入点可以使学生的认知活动变得生动而富有情趣。

(二)寻求发散点

落实数学学科核心素养，需要找根源，讲述数学的文化背景；找方法，凸显数学的思想方法；找变化，展示数学的多姿多彩。例如，在教学求过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程时，教师可以采取以下策略。

一是推陈出新，从一题多解的视角寻找发散点。二是同性同法，让学生在了解切线性质法、几何法d=r、判别式法的基础上发现向量法和勾股定理法。三是借题发挥，从一题多变的视角寻求点：若点在圆外，过点作圆的两条切线，求过两切点的直线方程；如果点在圆内，过该点作圆的弦，过弦的两端点做圆的切线，相交于一点，求这点的轨迹方程。四是小题大做，从引申推广的视角寻求发散点：如果点在椭圆上、椭圆内、椭圆外，将会得到什么结果？如果点在双曲线、抛物线上，结果又将是什么？

(三)点击兴奋点

要培养学生的数学核心素养，教师需要给学生问的机会，给学生思的方法，给学生悟的空间，给学生做的时间。例如，在“正切和角公式”的教学中，教师可以先带领学生完成公式的推导，然后突出公式的应用方法，凸显转化的思想方法，最后让学生正用、逆用、变形用、联合用公式，具体做法如下。

1.顺水推舟，正用公式

(1)设tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的根，则tan(α+β)=______。

2.逆水行舟，逆用公式

3.扬帆催舟，变用公式

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+β)

(1)已知A+B=45°，则(1+tanA)(1+tanB)的值为________。

(2)化简：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=________。

4.碧波荡舟，活用公式

(1)已知△ABC不是直角三角形，求证：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

(3)A+B+C=nπ,n∈Z，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

(四)提炼整合点

让学生学会数学的抽象概括是数学学科核心素养的内涵之一，也是学习数学的思维方式。因此，教师要引导学生学会对所学内容进行归纳和整理，提炼成知识系统，构建知识网络。数学教学的整合点主要包括知识的盲点、方法的节点、思想的高点、思维的难点和素养的落点。以“导数几何意义的应用”为例，其知识的盲点是“知道求导数，不知道设切点”，其方法的节点是“设切点坐标，列方程组”，其思想的高点是“数形结合，等价转化”，其思维的难点是“列方程组的条件①y0=f(x0)，②k=f＇(x0)③y-y0=f＇(x0)(x-x0)”，其素养的落点是“数学推理，数学运算”。

因此，教学函数时，教师可以给学生总结以下规律：先求函数定义域，再定函数偶与奇，三判增减有成竹，四画图像难变易。这一规律可以让学生做题时从思路找出路，抓细节定成败。

数学是思维的体操，更是思维的艺术。教师需要以数学学科核心素养为基点，精炼、拓展、延伸，把情意原则、序进原则、活动原则和反馈原则贯穿于数学教学之中，运用好找准切入点、寻求发散点、点击兴奋点和提炼整合点等教学策略，让学生提出数学之问、探究数学之谜、体验数学之妙、经历数学之旅、认识数学之功、欣赏数学之美、建构数学之思，形成数学学科核心素养要求的数学精神。