参数不确定广义离散时间系统的预见控制器设计

李 丽，张耀峰+,于 晓

(1.湖北经济学院 统计与数学学院，湖北 武汉 430205；2.湖北经济学院 湖北数据与分析中心，湖北 武汉 430205 )；3.山东建筑大学 理学院，山东 济南 250101；

0 引言

从电网和电力系统[1]到机器人系统[2], 再到化学过程系统[3]，广义系统因其良好的实际系统性能描述能力而被广泛关注和应用。 控制学界已对广义系统的稳定性分析和控制综合问题进行了持续、深入的研究，并取得了丰富的研究成果[4-7]。 近年来, 预见控制作为一种利用目标值信号或干扰的未来信息来改善闭环系统瞬态响应的技术，被引入广义系统研究中来[8-9]。

预见控制理论由Sheridan于1966年首次提出[10]， 并由KATAYAMA等[11-12]、 TOMIZUKA等[13]学者奠基开创。 此后, 学者对预见控制进行了大量研究[14-18]， 但这些研究中多数将预见控制器设计问题作为优化问题, 其求解算法基于最优控制理论, 并未考虑未知干扰和模型误差情况下的鲁棒性。 随后, 预见控制的研究转向了对鲁棒控制理论如博弈论和鲁棒LQ/H∞控制理论等, 并取得了一些研究成果[19-23]。 应当指出的是, 文献[8-23]提出的最优预见控制器的存在取决于Riccati方程是否有半正定解。 然而, 基于Riccati方程的方法不适用于参数不确定系统。 为了克服Riccati方程设计方法无法适用于参数不确定系统的困难, 文献[24-27]利用差分方法和线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)技术来研究不确定系统的鲁棒预见控制问题。

目前, 关于广义系统的预见控制的研究主要集中在线性定常广义系统。比如,文献[28-30]研究了线性广义系统的最优预见控制问题；文献[31]考虑了线性广义多智能体系统的协同最优预见跟踪问题。需要指出的是,它们都是通过等价变换将广义系统转化为一个正常系统,并试图基于最优调节理论找到正定矩阵以满足Riccati方程,从而给出预见控制器的增益矩阵。到目前为止,尚无研究考虑参数不确定广义系统的鲁棒预见控制问题。

针对以上不足, 本文考虑不确定广义离散时间系统的输出反馈预见控制器设计问题。 将经典的差分运算方法扩展到不确定广义系统, 构建了包含预见信息的扩大误差系统, 并通过重新改写输出方程式、充分利用了可预见目标值信号, 然后基于相关的引理和LMI技巧，给出鲁棒预见控制器的设计方法。本文创新之处有两点：①与文献[28-31]相比,考虑了更加一般化的广义系统模型,且文中提出预见控制器设计方法也适用于文献[28-31]；②在考虑输出反馈时,本文对系统矩阵没有给出任何的约束条件,允许系统的输出矩阵带有不确定性或者非满秩, 从而得到保守性更低的结果。通过有预见控制和无预见数值仿真结果的对比,以及不同参数θ数值仿真的对比, 验证了具有预见作用的鲁棒输出反馈控制律的优越性。

本文使用记号如下:P<0表示P为对称负定矩阵。符号*表示对称位置中的转置元素；rank(A)表示A的秩; det(A)表示A的行列式, degdet(sE-A)表示多项式;det(sE-A)的次数。 对于秩为r的M∈Rn×m，M⊥∈R(n-r)×n表示满足M⊥M=0和M⊥M⊥T>0的矩阵。AT表示A的矩阵转置,sym(A)意为A+AT。I表示适当维数的单位矩阵。

1 问题表述和基本假设

考虑如下不确定广义离散时间系统:

(1)

式中：x(k)∈Rn为状态向量；u(k)∈Rm为输入向量；A(θ)，B(θ)，C(θ)和D(θ)为适当维数的不确定矩阵；E为奇异矩阵且满足rank(E)

对式(1)作如下假设:

A1: 假定不确定矩阵的形式为:

(2)

(3)

A2(1)A2是关于目标值信号可预见的假设,它是预见控制理论中常用的假设。表明有一段时间的未来信号是已知的,且预见步长内的信息对改善系统性能作用明显。: 设在当前时刻k， 目标值信号r(k)的MR步未来值r(k+1)，r(k+2)， …,r(k+MR)为已知，MR步之后认为它是常数, 即

r(k+j)=r(k+MR),

j=MR+1,MR+2,MR+3,…。

其中MR为预见步长。

本文的目的是设计一个预见控制器，使得:

(1)输出渐近跟踪目标值信号, 即

(4)

其中e(k)=y(k)-r(k)。

(2)闭环系统是鲁棒稳定的, 对所有θ∈Θ。

对于系统Ex(k+1)=Ax(k)， 给出以下定义。

定义1[32]

(1)若det(zE-A)不全为零, 则(E,A)对是正则的。

(2)若deg(det(zE-A))=rank(E)， 则(E,A)对是因果的。

(3)若|λ(E,A)|<1， ∀λ(E,A)∈{z|det(zE-A)=0}， 则奇异系统是稳定的。

定义2[32]

(1)若(E,A)对是正则的、因果的, 则奇异系统是正则的、因果的。

(2)若奇异系统是正则的、因果的和稳定的, 则奇异系统是可容许的。

引理1[33]对于适当维数的矩阵F，R，S和N以及标量β， 如果式(5)成立, 则F+STRT+RS<0成立:

(5)

引理2若存在正定矩阵P(θ)，S(θ)T=S(θ)，G(θ)和H(θ)满足以下LMI:

(6)

则不考虑输入的式(1)是可容许的。

证明取ε=E，F=G(θ)，G=H(θ)，P=P(θ)， 根据文献[32]的定理1, 可知式(6)能保证广义离散时间系统(1)是鲁棒容许的。

2 扩大误差系统的推导

采用一阶前向差分算子为：

Δx(k)=x(k+1)-x(k)。

(7)

由式(1)和式(7)可得出：

(8)

从A1可以看出, 不确定参数θ与时间变量无关。 因此, 如同文献[30-31], 差分算子Δ对于原系统是线性的, 且预见控制理论中的经典构造方法可以扩展到不确定广义系统。

通过式(4)、式(7)和式(8)可得：

(9)

(10)

(11)

针对式(1), 本文采用一阶前向差分算子(式(7)), 得到误差系统式(9)，是预见控制器设计所需要的系统。 根据式(10)和式(11)可知误差系统中不确定矩阵依然满足式A1, 不确定参数向量依然是s维的。 若采用文献[34-35]的差分方法, 构造出来的式(9)中的不确定参数θ为s2维。

令

(12)

根据A2和式(12), 可得：

xR(k+1)=ARxR(k)。

(13)

其中,

R[(MR+1)q]×[(MR+1)q]。

将式(9)和式(13)结合可得:

(14)

其中:

为了设计静态输出反馈预见控制器, 将式(14)的输出方程式改写为：

(15)

其中

改写后的输出方程带有预见补偿和误差积分项, 可达到提高系统的跟踪性能及消除静态误差的目的。

根据式(10)和式(11)得到：

(16)

(18)

(19)

3 静态输出反馈预见控制器设计

考虑如下形式的输出反馈

Δu(k)=KZ(k),

(20)

其中K为待定的增益矩阵。

式(19)和式(20)的闭环系统表示为：

(21)

注意, 根据引理1和LMI技巧, 定理1给出输出反馈预见控制器设计的方法。 与文献[36-37]相比, 本文对系统的参数矩阵没有任何的约束条件, 且允许输出矩阵带有不确定性, 降低了结果的保守性。

定理1给定参数β， 矩阵W和Q， 如果存在矩阵P(θ)>0，L，G(θ)，H(θ)和S(θ)=S(θ)T，U使得

(22)

其中, Ξ=-βU-βUT， 则式(21)是鲁棒可容许的。

证明:重新改写式(22)如下:

(23)

根据引理1，可知不等式(23)，可以保证

(24)

令K=LU-1， 式(24)等价于

上式等价于

式(22)含有不确定参数θ， 因此无法验证。 下面将其转化为不含不确定参数的LMI。

定理2给定参数β， 矩阵W和Q， 如果存在矩阵Pj>0，L，Gj，Hj，Sj(j∈{1,2,3,…,s})以及可逆矩阵U使得

Πii<0， (i∈{1,2,3,…,s})，

(25)

Πij+Πji<0， (i

(26)

则式(21)为鲁棒可容许的, 增益矩阵为K=LU-1。 控制器为:

Δu(k)=KZ(k)=LU-1Z(k)。

(27)

在式(26)中,

(28)

(29)

若系统参数为已知, 则可以设计如下参数依赖的静态输出反馈

(30)

使式(19)的闭环系统渐近稳定, 这里Ki为待定参数矩阵。

基于式(19)和式(30),有

(31)

推论1给定的参数β、矩阵W和Q， 如果存在矩阵P(θ)>0，L(θ)，G(θ)，H(θ)，S(θ)=S(θ)T， 可逆矩阵U(θ)和标量β， 使得

(32)

其中, Ξ(θ)=-βU(θ)-βU(θ)T， 则式(31)为鲁棒可容许的。

证明证明过程与定理1类似, 将定理1中L和U由L(θ)和U(θ)代替,不再赘述。

推论2给定一个参数β和矩阵Q，W， 如果存在Pj>0，Uj，Lj，Gj，Hj，Sj(j=1,2,3,…,s)， 使得

(33)

(34)

则式(31)为鲁棒渐近稳定的, 并且控制器由下式给出：

(35)

在式(34)中

证明推论2的证明与定理2的证明相似, 不再赘述。

将增益矩阵分割为

(36)

按照式(36)中K的划分得出:

(37)

根据对差分算子的定义, 即式(7), 在假设y(i)=0,u(i)=0,r(i)=0，(i<0)下, 可以得到：

(38)

式中：第1项表示积分作用；第2项表示输出反馈控制作用；第3项表示基于未来目标值信息的预见反馈项。

4 数值仿真

在系统(1)中, 令

A(θ)=

这里s=2，有θ2=1-θ1， 其中θ1∈[0,1]。 因此, 在该示例中, 不确定性可以仅由一个参数θ1表示。

(1)不同θ1参数下, 有、无预见控制的对比

为了考虑当前预见控制器的鲁棒性, 对θ1=0.1， 0.5和0.9进行仿真, 并取β=1， 矩阵Q=CZ1和W=CZ2， 预见步长MR=5。 根据定理2,使用MATLAB的LMI工具箱来确定矩阵变量， 获得反馈增益矩阵。

0.028 54 -0.002 03 0.001 10 0.000 50],

假设目标值信号为：

(39)

系统的输出和目标值信号(39)如图1所示， 图2和图3分别表示跟踪误差和控制输入。 从图1～图3可以看出, 不同的θ1参数下, 在预见控制作用下的闭环系统的输出都可以准确地跟踪目标值信号。

为了将传统的跟踪控制与预见控制进行比较, 在预见步长为零(即MR=0)的情况下, 完成θ1=0.1， 0.5和0.9的数值仿真。 通过使用MATLAB的LMI工具箱, 输出反馈增益矩阵K如下:

图4给出了没有预见作用的闭环系统的输出响应, 图5和图6分别表示跟踪误差和控制输入。 从图1～图6可以看到, 与没有预见的情况相比, 预见控制器能使得调整时间更短, 轨迹跟踪更快且跟踪误差更小。

图1～图6给出了不同参数θ1下, 预见跟踪控制与跟踪控制下的输出响应的对比。可看出, 带有预见作用的跟踪控制明显能改善闭环系统的跟踪性能。

(2)不同预见步长下, 预见控制的对比

取β=0.8，θ1=1， 矩阵Q=CZ1和W=CZ1。 对目标值信号预见步数分别为MR=5、MR=2进行仿真。 根据定理2, 求解出不等式(25)、(26)中的矩阵变量L和U， 求解的预见控制增益矩阵如下:

当MR=5时, 得到

0.125 77 -0.014 73 -0.010 33 -0.001 71]。

当MR=2时, 有

θ1=1时，闭环系统的输出响应如图7所示, 图8和图9分别显示了跟踪误差与控制输入。 从图7～图9可以看出, 增加目标值信号的预见步长可使得系统输出更快地跟踪目标值信号。

对θ1=0进行模拟。 令β=0.7， 矩阵Q=CZ2和W=CZ2；根据定理2, 获得反馈增益矩阵。

当MR=5时,有

0.051 92 -0.010 56 -0.008 17 -0.000 66]。

当MR=2时, 有

图10显示了θ1=0的闭环系统的输出响应, 图11和图12绘制了跟踪误差和控制输入。 与没有预见的情况相比, 本文提出的预见控制器使闭环系统获得了更快的响应速度和更高的跟踪精度。 模拟结果证明了目标值预见补偿的有效性。

5 结束语

本文将文献[9, 11]中的差分方法推广到参数广义系统中, 成功地构造了扩大误差系统。基于引理2和LMI技术, 给出预见控制器存在的条件及设计方法。 利用LMI理论来研究鲁棒预见控制问题的方法完全可以推广到其他定常的或时变的线性系统的预见控制问题中去。 实际上,θ是定常的, 即原系统是线性定常广义系统, 本文中结合扩大误差系统方法及线性矩阵不等式技巧的设计方法也适用于文献[28-31]。 通过比较具有预见作用和无预见的情况下闭环系统的数值仿真结果, 证明了预见控制理论在利用有限的未来信息来改善跟踪性能方面的优势。下一步, 将深入研究广义连续时间系统的预见控制问题。